弧形閘門重心和重力矩計算方法

蘭 欽，段東旭，廖玉海，程 忠

(中國電建集團中南勘測設計研究院有限公司，湖南 長沙 410014)

弧形閘門重力矩是影響啟閉力的重要因素[1]。與平面閘門不同，弧形閘門結構復雜，其重心不易準確獲取。SL 74—2013《水利水電工程鋼閘門設計規范》[2]和NB 35055—2015《水電工程鋼閘門設計規范》[3]均只簡單地給出了弧門啟閉力計算的表達式，其中重力矩采用自重與力臂之積表示，但并沒有給出弧門自重及不同開度下的力臂計算式[3-4]。長期以來，弧門各構件自重均簡化成規則的矩形板計算，重力力臂通常采用經驗公式，即近似認為重心位于弧門全關時總水壓力作用線上距支鉸中心0.80或0.85倍半徑處，弧門任意開度下的重力力臂則通過角度換算得到[5-6]。該經驗公式綜合考慮了弧門實際外荷載和主框架合理剛度比，依據等安全度水平設計理念，并結合大量工程經驗得到，概念清楚、計算簡便，在工程界得到了普遍的應用。但是該公式未考慮弧門設計時實際重量分布，特別是對于有局部加重或者異型結構弧門，必然存在一定的誤差。

隨著計算機三維輔助設計平臺的開發和普遍應用，設計人員只需要建立弧門的三維模型，便可以獲取弧門自重及重心的精確值。許多學者已直接采用數值模擬的方法直接計算出較高精度的內力和啟閉力[7-9]。但是目前這種方法模型建立過程較復雜[10]。設計人員往往需要將采用平面體系法設計的弧形閘門在三維輔助設計平臺上建立模型，得到重心后再進行啟閉力計算和布置優化，計算和優化效率不高，不易得到弧門結構和啟閉機布置的全局最優結果。此外，三維輔助設計平臺需要耗費較大計算機容量，計算時間也較長。如何通過較簡單的方法獲取弧門重心，并將弧門結構計算與啟閉機布置優化結合，以便得到全局最優結果，具有重要的研究價值。

本文試圖從理論上推導弧門重力、重心和重力矩的解析公式，分析弧門重心的2個參數(半徑rG、傾角θG)對弧門啟閉力的影響，在此基礎上提出計算弧門重心的簡易法，結合工程實例編制相應的計算程序，將計算結果與經驗公式、三維模型的結果進行比較，驗證計算方法的合理性和優越性，為類似弧門設計提供參考。

1 弧門重量及重力矩

弧門任意開度下主要構件自重及重力矩可采用積分[11]計算，下面具體說明。圖1中，在柱坐標下與豎直方向成θ角度處取弧門某構件體積微元dV,其外半徑為Ri，徑向高度為δi，環向包角為dθ，垂直于紙面方向即Z向寬度為Bi，鋼材的密度為ρ，重力加速度為g。

圖1 弧門重心及重力矩計算

由于δi

(1)

(2)

mi=ρδiBiAi

(3)

Mi=ρgδiBiAirGi

(4)

則弧門重量及該開度下的重力矩為：

m=∑mi=ρ∑δiBiAi

(5)

M=∑Mi=ρg∑δiBiAirGi

(6)

式(5)、(6)為弧門自重、重力矩的計算通式。設計人員可以根據弧門開閉的角度變化利用式(6)計算出弧門不同開度下的重力矩。但是每一種開度下的重力矩均需采用這個復雜的公式分別計算，計算過程復雜、計算量較大。而且得不到弧門的重心，使弧門及其啟閉機系統優化過程仍存在盲目性，優化效率低下。如果能夠通過某種較簡單的方法得到弧門的重心，則可結合式(5)直接計算出不同開度時的重力矩。此時，弧門任意開度Δθ時重力矩可表示為：

MΔθ=mgrGsin(θG+Δθ)

(7)

式中rG——弧門重心到支鉸中心的距離；θG——弧門全關狀態下重心-支鉸中心連線與豎直方向的夾角。

式(6)、(7)實際上是2種不同的計算重力矩的方法，其計算流程列于表1。

表1 弧門重力矩計算流程

2 弧門重心計算方法

2.1 組合法

圖1中，當閘門處于全關狀態時，首先計算出各構件對其主慣性軸的重心值x0Ci，然后通過坐標變換計算出在直角坐標系xoy下的重心(xCi,yCi)，最后計算出弧門重心(xC,yC)，則極坐標表示的重心坐標為[12]：

(8)

(9)

(10)

2.2 旋轉法

弧門任意2種不同開度j、k時弧門的重力力臂rj、rk為：

(11)

(12)

開度j、k時重心-支鉸中心連線與豎直方向的夾角分別為θGj、θGk，則開度j、k時弧門的重力力臂rj、rk亦可表示為：

rj=rGsinθGj

(13)

rk=rGsin(θGj+Δθ)

(14)

聯立式(7)—(10)得：

sin(θGj+Δθ)/sinθGj=f

(15)

式中，f為常系數，f=Mk/Mj。顯然，式(15)中除θGj為未知量外，其他均為已知量。若能證明函數f(x)=sin(x+Δθ)/sinx在本文所述問題邊界條件下是單調的，就能通過式(15)求出唯一的θGj，進一步代入式(13)，就可以求出rG。至此，弧門的重心就確定了。

2.3 簡易法

從以上的分析可知，弧門重心由半徑rG和傾角θG2個參數確定，本節將分析2個參數對弧門啟閉力的敏感性，進而提出只考慮較敏感因素的弧門重心簡易計算公式。定義參數a的相對誤差為：

(16)

式中，a0為參數a的真實值，a1為參數a的計算值。則在半徑rG和傾角θG同等相對誤差δ條件下，弧門任意啟閉狀態下半徑rG計算誤差所引起的啟閉力相對誤差δFr與傾角θG計算誤差所引起的啟閉力相對誤差δFθ的比值K可表示為：

(17)

由式(17)可知，啟閉力相對誤差比值K的大小與相對誤差δ、傾角θG、開度Δθ有關，與半徑rG無關。對于露頂式弧門，圖2為弧門零開度(Δθ=0)時啟閉力相對誤差比值K與傾角θG關系曲線，從圖中可以看出，對于不同的相對誤差δ，K值總體上大于1；當θG在87°左右，K總體上達最大，最大值高達500左右；只有當θG>110°時，K才略小于1；對于傾角θG和開度Δθ取可能值，K值總體上大于1。

事實上，對于按等安全度水平設計且無局部加重塊的弧門，夾角θG的真實值與θw(θw為弧門總水壓力作用線與豎直方向的夾角)相差不大，可進一步地取θG∈[θ1+θB/4,θ1+θB/2]，代入易得出θG∈[57°,97°]。此時，K總大于1.5，即半徑rG總體上比傾角θG更敏感。另外，實際設計時半徑rG的相

圖2 啟閉力相對誤差比值K與傾角θG關系曲線

對誤差往往遠大于傾角θG的相對誤差或者兩者的相對誤差均很小。在不同的相對誤差δ1、δ2(δ1<<δ2)時，啟閉力相對誤差的比值K將遠大于1。綜合以上因素，露頂式弧門啟閉力相對誤差比值K將遠大于1，即半徑rG對弧門啟閉力的影響比傾角θG大得多；對潛孔式弧門和水閘露頂式弧門，也可得出類似的結論。從以上分析來看，對于按等安全度水平設計且無局部加重塊的弧門可取θG≈θw，代入式(13)便可以計算出半徑rG，該計算方法為簡易法。

2.4 幾種計算方法的比較

除三維模型外，共有4種求解弧門重心的方法，其中組合法和旋轉法均是通過理論推導而來，只是計算思路不同，合稱為解析法。各計算方法流程及其比較列于表2。

3 算例驗證

3.1 典型弧門模型及參數

算例①：潘口溢洪道露頂式弧門孔口寬度20.0 m，孔口高度為18.327 m，下游無水，面板曲率半徑為23.0 m，轉動鉸高度為10.327 m，門葉高度為18.8 m，閘門重力為3 000 kN。轉動鉸摩阻力力臂為0.425 m，水封摩阻力力臂為23.0 m，水封上托力的力臂為20.55 m。已知閘門能依靠自重下門，采用經驗公式計算時擋水狀態時啟門力最大，此時啟閉力力臂10.946 m。

表2 弧門重心及重力矩各種計算方法流程及比較

算例②：潘口泄洪洞潛孔式弧門孔口寬度8.0 m，孔口高度為10.0 m，面板曲率半徑為16.0 m，轉動鉸高度為13.10 m，門葉高度為10.15 m，閘門重力為2 334.5 kN。轉動鉸摩阻力力臂為0.35 m，水封摩阻力力臂為16.0 m，頂、底水封上托力的力臂分別為16.0、9.2 m。已知閘門能依靠自重下門，采用經驗公式計算時全開狀態時啟門力最大，此時啟閉力力臂11.05 m。

相關參數：鋼材密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.31；鉸軸滑動摩擦系數為0.1，側水封壓縮量為4 mm，水封線壓力為p=58 N/cm，摩擦系數為0.5；底水封長度為110 mm，厚度為15 mm，閘門擋水狀態時的壓縮量為5 mm，彈性模量為6 MPa。

3.2 重心解析計算法合理性驗證

分別采用經驗公式、三維模型、組合法、旋轉法對實例中弧門重心做了計算。其中，三維有限元模型中利用APDL程序[16-20]獲取重心，組合法、旋轉法采用MATLAB編程[21-23]實現。考慮到結構的特殊性，弧門有限元模型鋼結構構件均采用殼單元，止水部分采用摩擦單元[19-20]。其中，案例①模型共有節點71 609個，單元35 125個(圖3)；案例②模型節點53 609個，單元30 095個(圖4)。4種方法的計算結果及比較見表4、5，計算中將三維模型的計算結果作為真實值。

圖3 算例①有限元模型

圖4 算例②有限元模型

表3 弧門各構件單元類型

表4 算例①4種方法計算結果及比較

表5 算例②4種方法計算結果及比較

從表4、5可以看出：采用經驗公式計算時，傾角θG的最大相對誤差為3.78%，半徑rG的最大相對誤差為25.18%，傾角θG的誤差均遠小于半徑rG的誤差，兩者最小相差約1倍；采用組合法、旋轉法計算的結果相當，最大相對誤差為7.58%，總體上比經驗公式的小很多。與占據大容量內存和模型建立復雜的三維平臺相比，組合法、旋轉法只需編制1個小程序就可以實現，更方便設計者掌握和使用。此外，依據組合法、旋轉法編制的計算程序，能夠與閘門結構和啟閉機系統布置優化程序結合，從而實現對弧門的全局優化[10]設計。相比較而言，旋轉法不需要分別計算各構件的重心，亦無須坐標轉換，比組合法更簡便。

綜上，經驗公式可以用于弧門啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規律分析；解析法兼具精度高和通用性強突出優點，與組合法相比較，旋轉法計算過程較簡單，是弧門重心較優的計算方法。

3.3 2個參數對啟閉力影響分析

采用3種方法計算的3.1節2個算例弧門最大啟門力及由θG、rG相對誤差所引起的啟門力相對誤差見表6、7。從表中可以看出，采用經驗公式計算時，啟閉力最大相對誤差為23.52%；采用旋轉法計算時，啟閉力最大相對誤差為6.05%，比經驗公式的結果精度高很多，這與第3.2節重心計算時的結論是一致的；采用這2種方法計算時，由傾角θG所引起的啟閉力最大相對誤差為0.81%，由半徑rG所引起的啟閉力最大相對誤差為23.66%，2種方法啟閉力相對誤差結果呈現相同的規律，即由半徑rG引起的啟門力相對誤差遠大于由傾角θG引起的啟門力相對誤差，最小相差約1個數量級。這表明，對于弧門啟門力而言，半徑rG為敏感因素，傾角θG為非敏感因素；采用經驗公式對弧門啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規律分析是可行的。

表6 算例①2個參數誤差對啟閉力影響

表7 算例②2個參數誤差對啟閉力影響

3.4 重心簡易計算法適用性分析

從2.3節的計算分析來看，采用簡易法計算弧門重心從理論上是可行的。表8列出了采用簡易法計算時弧門半徑rG的計算結果，從表8可以看出，當采用簡易法對兩弧門重心進行計算時，半徑rG最大相對誤差僅為10.15%；與經驗公式的計算結果相比精度提高約1倍；與旋轉法的計算結果相比，半徑rG相對誤差相差不大，但計算量卻減少很多。這表明，當弧門無加重時，采用簡易法計算重心是簡易可行的，這與2.3節的理論分析是一致的。

表8 簡易法半徑rG計算結果

4 結論

通過弧形閘門重量、重心、重力矩計算公式的推導及其適用性分析，得出如下結論。

a)從理論上推導出了計算弧門重心及重力矩的組合法和旋轉法，與經驗公式和三維模型的計算結果相比，結合算例分析得出組合法和旋轉法兼具精度高和通用性強突出優點。其中旋轉法計算更簡便，是弧門重心較優的計算方法。

b)分析了重心的2個參數(半徑rG、傾角θG)對弧門啟閉力的影響，總體上半徑rG為敏感因素，對弧門啟閉力影響較大；傾角θG為非敏感因素，對弧門啟閉力影響較小。在此基礎上提出了適用于計算無局部加重塊弧門重心的簡易法，從理論和實例2個角度分析了簡易法的優越性和適用性。

c)設計中，可以先采用經驗公式進行啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規律計算分析，然后根據弧門有無局部加重塊分別選用旋轉法或簡易法計算出高精度的弧門最大啟閉力，以達到高精度高效率的雙重目的。