基于Copula函數的深圳市雨潮遭遇風險分析

石赟赟，姚航斌,2，萬東輝，鄭新乾

(1.珠江水利委員會珠江水利科學研究院，廣東 廣州 510630；2.河海大學水文水資源學院，江蘇 南京 210098；3.珠江水利委員會水文局，廣東 廣州 510611)

在快速城市化和全球氣候變化的共同影響下，中國城市極端洪澇事件頻發，嚴重影響城市的建設與發展。內陸城市洪澇主要受降水、地形、防洪排澇系統等因素的影響，濱海城市則需綜合考慮潮位變化對內河洪水和城市澇水的頂托[1-2]。降雨與潮水遭遇將導致城市積水難以排除，加劇城市洪澇災害，嚴重影響城市生活生產[3-4]。為了進一步提高濱海城市防洪排澇能力，加強韌性城市建設，綜合考慮暴雨與潮位雙變量遭遇的工況具有重要的現實意義[5]。

雨潮遭遇問題，本質上是雙水文變量的遭遇問題，其常見的研究方法是基于Copula函數建立雙水文變量的聯合分布模型，計算雙水文變量遭遇的同現概率、條件概率等。Copula函數能客觀地描述水文事件間的相關性，準確分析水文頻率，提高多變量水文事件設計精度[6]。目前，Copula函數在洪水遭遇、水文預報不確定性、豐枯遭遇和洪潮遭遇等問題上已有大量的應用實例[7-8]。在雨潮遭遇的研究方面，Lian等[9]通過Copula函數建立暴雨與潮位聯合風險概率，優化了福州市防洪排澇設計。武傳號等[6]基于Copula函數構建廣州市年最大1 h降雨量與年最大潮位、年最大潮位與相應1 h降雨量以及年最大1 h降雨量與相應潮位3種聯合分布概率模型，計算分析了廣州市雨潮遭遇的風險。黃國如等[10]應用Copula函數構建了歷史與未來廣州市雨潮遭遇風險概率分布模型，分析了在不同排放情景下，廣州市雨潮遭遇概率的變化趨勢。張衛國等[11]采用G-H Copula函數構建甬江流域暴雨和河口相應潮位的聯合分布，計算了同現、條件概率，并根據條件最可能組合原理，推求了給定某一設計暴雨情景下，潮位的最可能值和置信區間。楊帆等[12]基于采用Copula函數，構建了佛山市年最大 1 h 降雨量與相應潮位以及年最高潮位與相應1 h降雨量的聯合分布，定量評估了佛山市城區多種雨潮組合下遭遇概率。

綜合雨潮遭遇近年來的研究成果，雨潮遭遇主要分為年最大降雨遭遇相應潮位、年最大潮位遭遇相應降雨和年最大降雨遭遇年最大潮位。年最大降雨遭遇相應潮位的聯合分布貼合實際，但在防潮標準制定時一般使用年最大潮位為設計依據；而年最大潮位發生時，相應降雨可能為0 mm；年最大降雨遭遇年最大潮位的情況過于極端，與實際工況不符。為了更好地模擬雨潮遭遇，本文基于深圳市1967—2018年年最大1 d降雨量及其赤灣站相應潮位資料，采用Copula函數分別構建最大1 d降雨與相應潮位聯合分布模型，將相應潮位轉換成對應的年最高潮位，分析深圳市的雨潮遭遇的風險，為防洪潮工程設計提供更合理的依據。

1 研究方法

本文基于Copula函數構建深圳市赤灣站最大1 d降雨與相應潮位的聯合分布模型，計算分析深圳市雨潮遭遇的風險，主要步驟包括降雨及其相應潮位的相關性，降雨與潮位各自邊緣分布的確定，基于Copula函數的降雨及其相應潮位聯合分布構建，最優擬合Copula函數的選定以及雨潮遭遇風險計算與分析。

1.1 Copula函數定義與分類

Copula能將多個不同變量的邊緣分布連接成一個聯合概率分布函數[13]。根據Sklar定理，Copula函數具有唯一性[14]。以二維Copula為例，對于一個具有連續邊緣分布函數u和v的二維聯合分布函數H(x,y)，則存在唯一的一個二維Copula函數C，使得H(x,y)=C(u,v)[15]。

Copula函數通過構建多水文變量的聯合分布，能夠有效簡化多個水文變量間相關關系分析的復雜度，因此，其在水文領域得到充分運用[16]。其中Archimedean Copula函數由于構造方法簡單，模擬效果較好，在實際應用中最為廣泛。Archimedean Copula中最常見為G-H Copula、Clayton Copula和Frank Copula 3種，其函數形式見表1。

表1 常見的Archimedean Copula函數形式及參數范圍

1.2 相關性分析和邊緣分布確定

在采用Copula函數構建水文變量聯合分布前，需對水文變量進行相關性分析，并確定邊緣分布[17]。水文變量間的相關性分析常用方法有Pearson線性相關系數、Kendall相關系數和Spearman相關系數，其中Pearson線性相關系數衡量的是線性相關關系，相關系數越接近于1或-1，線性相關度越強；Kendall和Spearman相關系數均為秩相關系數，其檢驗變量無需服從某種特定分布，適用范圍相較于Pearson線性相關關系更為廣泛，相關系數越接近于1或-1，表明變量間相關度越強。

確定邊緣分布主要是基于假設檢驗，該方法通過對某種分布的擬合結果進行假設檢驗，從而確定邊緣分布，其應用過程繁瑣，步驟較多。因此，本文擬采用核分布估計法確定邊緣分布。核分布估計法是常見的非參數估計方法之一[18]，省去了假定變量服從某種特定分布模型的環節，直接使用實測樣本資料來研究多變量之間的相關結構，且估計結果更貼近于實際情況。

1.3 Copula函數擬合優度檢驗

不同的Copula函數擬合同一多變量水文事件時存在明顯的擬合差異，為了選擇出擬合效果最佳的Copula函數，必須對擬合結果進行擬合優度評估。常用的評估方法有均方根誤差和信息準則[19]，和值越小，表明擬合結果越好。其原理如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

1.4 雨潮遭遇風險計算

本文采用同現風險概率、條件風險概率、組合風險概率以及防澇風險概率[6,11,20-21]綜合表征區域的雨潮遭遇風險。其中同現風險概率是表征雨潮同時超過某一設計值的概率；條件風險概率是描述在降雨量達到某一設計值的條件下，遭遇大于某一設計值潮位的概率；組合風險概率是在不超過某一設計值的降雨量發生的條件下，遭遇超過某一設計值潮位的概率；防澇風險概率是分析降雨量或潮位超過某一設計值發生的概率。其計算公式如下。

同現風險概率：

P(X>x,Y>y)=1-u-v+C(u,v)

(5)

條件風險概率：

(6)

組合風險概率：

(7)

防澇風險概率：

P(X>x或Y>y)=1-F(X,Y)=1-C(u,v)

(8)

式中X——降雨量，mm；x——降雨設計值，mm；Y——潮位，m；y——潮位設計值，m；u——降雨量的邊緣分布；v——潮位的邊緣分布。

2 實例分析

2.1 研究區域

深圳市地處珠三角的西南角，北連惠州、東莞，南隔深圳河與香港九龍新界毗鄰，東依大鵬灣、大亞灣，西瀕伶仃洋與珠海市相望。深圳市系以丘陵為主，低山、臺地、階地、平原相結合的綜合地貌區，具有典型的三角洲河口濱海城市特征。整體上深圳市呈東西寬、南北窄的條帶狀分布(圖1)，總面積為1 997.47 km2，其中建成區面積927.96 km2。

深圳市屬亞熱帶海洋性氣候，雨量充沛。根據《2019深圳市水資源公報》，深圳市多年平均降雨量1 830 mm，降雨時間、空間上分布不均，降雨量東南地區多、西北少，且主要集中在4—10月的汛期。

圖1 深圳市赤灣站位置

2.2 聯合分布模型建立

2.2.1相關性分析和邊緣分布確定

基于SPSS軟件，采用Pearson線性相關系數、Kendall相關系數和Spearman相關系數對深圳市赤灣站最大1 d降水量與其相應潮位進行相關性分析，得到赤灣站最大1 d降水量與其相應潮位的Pearson線性相關系數、Kendall相關系數和Spearman相關系數分別為0.343、0.228、0.341，表明深圳市赤灣站年最大1 d降雨與其相應潮位具有一定的相關性，可以依托Copula函數構建聯合分布模型。

在構建聯合分布前，需確定年最大1 d降雨量和其相應潮位各自的邊緣分布。本文采用核分布估計法，以Matlab軟件作為計算工具確定最大1 d降水量及其相應潮位各自的邊緣分布，得降雨及潮位的分布見圖2、3。

圖2 赤灣站年最大1 d降雨量的經驗分布與理論分布擬合

圖3 赤灣站年最大1 d降雨量相應潮位經驗分布與理論分布擬合

2.2.2Copula函數優選

基于G-H Copula、Clayton Copula和Frank Copula函數構建最大1 d降水量及其相應潮位聯合分布模型，采用極大似然估計法估計3種Copula函數的參數，并計算了3種Copula函數的均方根誤差和值，結果見表2。

表2 Copula函數的參數、RMSE和AIC

根據表2的定義，G-H Copula函數的和值均為最小，說明G-H Copula函數的擬合結果較好。因此，本文采用G-H Copula函數構建深圳市赤灣站年最大1 d降水量及其相應潮位的聯合分布，見圖4。

圖4 深圳市赤灣站年最大1 d降雨量與其相應潮位的G-H Copula函數分布

2.3 雨潮遭遇風險

參考深圳市相關防洪防潮規劃，深圳市的內澇防治標準為100年一遇，赤灣附近的現狀海堤防潮工程設計標準大多為200年一遇。因此，選取年最大1 d降雨的設計重現期為10、20、50、100、200 a，選取最高潮位的設計重現期為100、200、500 a。根據式(5)—(8)，分別計算不同重現期組合的雨潮遭遇風險概率，計算成果見表3。

由表3可知，同現風險概率和防澇風險概率均隨著年最大1 d降雨或相應潮位的重現期減小而增大，呈負相關關系，如10年一遇的年最大1 d降雨(272.7 mm)遭遇256.51年一遇的相應潮位(3.237 m)時，同現風險概率和防澇風險概率均為最大，分別為0.31%、10.08%；條件風險概率和組合風險概率均為條件概率，某一重現期的年最大1 d降雨發生的條件下，遭遇重現期越小的潮位條件風險概率和組合風險概率越大，如重現期為200年的年最大1 d降雨(521.5 mm)發生的條件下，遭遇重現期為256.51 a的相應潮位(3.237 m)的條件風險概率和組合風險概率最大，分別為29.48%、0.24%；同時，重現期發生越大降雨的條件下，遭遇某一重現期的相應潮位的條件風險概率和組合風險概率越大，如降雨重現期從10年一遇上升至200年一遇(即降雨從272.7 mm上升至521.5 mm)，遭遇到256.51年一遇相應潮位(3.237 m)的條件風險概率從3.10%上升至29.48%，組合風險概率從0.08%上升至0.24%。

表3 不同重現期組合下的最大降雨量遭遇相應潮位的風險概率

根據深圳市現狀內澇標準與堤岸防潮能力，深圳市超標準(100年一遇)年最大1 d降雨(501.7 mm)與超標準(200年一遇)的最高潮位(3.279 m)同現風險概率為0.12%，表明深圳市超標準的降雨與潮位同時發生的重現期接近千年一遇；在未發生超標準降雨情況下，發生超標準潮位的風險概率僅為0.09%，這意味著未發生超標準降雨時，防治內澇的重心在于城市的排水和排澇河道行洪；超標準降雨或潮位任意一個發生的概率為1.09%，小于100年一遇，且在超標準降雨發生的條件下，遭遇超標準潮位的條件風險概率為12.33%，同時，隨著降雨增大，遭遇超標準潮位概率隨之增大，因此，在深圳市實際防洪潮工作中，應重點關注超標準降雨發生后的潮水頂托風險。

3 結論

本文基于Copula函數計算分析了深圳市雨潮遭遇風險。主要結論如下。

a)對比基于核分布估計的年最大1 d降雨及其相應潮位的邊緣分布構建的G-H Copula、Clayton Copula和Frank Copula函數的聯合分布擬合結果，G-H Copula函數對于深圳市赤灣站的降雨及其相應潮位的擬合精度最優，結果更為可靠。

b)深圳市超標準降雨與潮位同現的風險概率較小；未發生超標準(100年一遇，即501.7 mm)降雨時，遭遇超標準潮位(200年一遇，即3.279 m)的組合風險概率較小，因此，在未發生超標準降雨時，防治內澇的重心應在于城市內部的排水排澇；但在發生超標準降雨后，遭遇超標準潮位的概率較大，且隨著降雨量級的增大，遭遇超標準潮位概率也隨之增大，因此深圳市在遭遇超標準降雨時，應及時做好防潮工作。