周期載荷下不可壓超彈性材料的空穴動(dòng)生成

任九生，沈佳鋮，袁學(xué)剛

(1.上海大學(xué) 力學(xué)系 能源工程力學(xué)應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444;2.大連民族學(xué)院 理學(xué)院，大連 116600)

因?yàn)樵诓牧系钠茐倪^(guò)程中起著關(guān)鍵性作用，超彈性材料中空穴生成和預(yù)存空穴的突然增長(zhǎng)問(wèn)題得到大量關(guān)注［1－3］。Gent等［4］在實(shí)驗(yàn)中觀察到超彈性材料中的空穴生成現(xiàn)象，Ball［5］基于非線性彈性理論的框架對(duì)超彈性材料中的空穴突然生成問(wèn)題進(jìn)行了理論分析，將其模擬為一類空穴分岔問(wèn)題。Horgan等［6－7］將預(yù)存空穴的突然增長(zhǎng)問(wèn)題作為對(duì)空穴分岔問(wèn)題的另一種解釋。

在有限變形彈性理論框架下，受外邊界表面拉伸載荷作用的不可壓超彈性球體的平凡解是球體保持其不變形狀態(tài)。對(duì)外加載荷存在一個(gè)極限值，當(dāng)載荷大于這個(gè)極限值時(shí)，球體中心可能有一個(gè)空穴突然生成。現(xiàn)有的關(guān)于空穴分岔問(wèn)題的文獻(xiàn)大多分析空穴的靜生成問(wèn)題［1，3，8－9］。但許多物理問(wèn)題本質(zhì)上是動(dòng)態(tài)的，在有限變形動(dòng)力學(xué)理論框架下分析慣性力的影響就非常重要［10］。當(dāng)突加載荷為常值時(shí)，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是自治的，對(duì)自治系統(tǒng)的研究方法已較為成熟［11－13］。對(duì)受突加常值拉伸載荷作用的不可壓超彈性球體也存在一個(gè)臨界載荷，當(dāng)突加載荷小于這個(gè)臨界值時(shí)，球體保持不變形狀態(tài)，但當(dāng)突加載荷大于這個(gè)臨界值時(shí)，球體中心有空穴突然生成且空穴隨時(shí)間的演化是周期振動(dòng)［14－15］。目前對(duì)外加載荷為周期載荷的情況還研究得較少，Haslach等［10，16］分析了受周期內(nèi)壓作用的超彈性薄膜的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，但周期載荷作用下空穴生成的分岔問(wèn)題尚未得到關(guān)注。

本文的目的是在有限變形動(dòng)力學(xué)的框架下分析受外加表面周期載荷作用的超彈性材料球體中的空穴動(dòng)生成問(wèn)題。首先由基本假設(shè)得到空穴半徑和外加周期載荷之間的微分關(guān)系，然后通過(guò)對(duì)一階微分方程組的Runge-Kutta數(shù)值積分得到空穴變形的時(shí)程曲線、相圖和龐加萊截面圖等，通過(guò)常用的動(dòng)力學(xué)理論分析了球體的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和破壞條件。計(jì)算結(jié)果表明對(duì)周期載荷的平均載荷存在一個(gè)臨界值，當(dāng)平均載荷小于這個(gè)臨界值時(shí)，球體保持不變形狀態(tài);但當(dāng)平均載荷大于這個(gè)臨界值時(shí)，一個(gè)球形空穴可在球體中心突然生成，且空穴隨時(shí)間的演化為擬周期振動(dòng)。而且對(duì)周期載荷的平均載荷存在另一個(gè)臨界值，當(dāng)平均載荷大于這個(gè)臨界值時(shí)，空穴無(wú)限增大，球體最終會(huì)被破壞。另外討論了周期載荷的幅值載荷和頻率對(duì)兩個(gè)臨界值的影響。

1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

考慮一個(gè)半徑為B的不可壓超彈性球體在外加周期載荷作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題。假設(shè)球體在外加表面周期載荷p(t)=p1+p2sin(ωt)作用下于t=0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，并假定在時(shí)刻t占據(jù)(r，θ，φ)的點(diǎn)在未變形前位于點(diǎn)(R，Θ，Φ)，則球體的運(yùn)動(dòng)模式為:

式中，r(R，t)為待定函數(shù)。相應(yīng)的變形梯度張量F為:

式中，λ1=?r(R，t)/?R，λ2=λ3=r(R，t)/R 為變形的主伸長(zhǎng)。由材料變形的不可壓條件可得:

式中，c(t)為待定函數(shù)。于是:

I1=為變形張量的第一不變量，μ為材料的小變形剪切模量。相應(yīng)的非零Cauchy應(yīng)力分量為:

式中:p(r，t)為待定靜水壓力常數(shù)。球體運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:ρ為材料密度。外表面(R=B)邊界條件為:

另外，如果有空穴生成，假設(shè)空穴表面是自由的:

2 求解

對(duì)任意的外加載荷p(t)，問(wèn)題總有一個(gè)平凡解:

該平凡解相應(yīng)于球體的未變形狀態(tài)r(R，t)=R，但此時(shí)球體處于一個(gè)均勻的應(yīng)力狀態(tài)τ1=τ2=τ3=p(t)。為尋求問(wèn)題的分岔解c(t)＞0，將式(3)對(duì)t微分可得:

將式(6)和式(12)代入運(yùn)動(dòng)方程(7)，可得:

將式(13)對(duì)r從c到r積分，可得:

將式(14)代入式(6)有:

將上式代入 式(8)和式(9)，有p(c，t)=0和，

則有:

則方程(16)可改寫為:

相應(yīng)的初始條件為:

3 結(jié)果分析

對(duì)形如p(t)=p1+p2sin(3πt)的周期載荷，利用Runge-Kutta方法對(duì)式(20)、式(21)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可得到空穴變形的時(shí)程曲線、功率譜、相圖和龐加萊截面圖等結(jié)果。其中一條時(shí)程曲線及其功率譜如圖1、圖2所示，三個(gè)相圖如圖3～圖5所示，三個(gè)龐加萊截面圖如圖6～圖8所示。

如通常所示，周期載荷p(t)=p1+p2sin(ωt)的平均載荷為pm=p1+p2。計(jì)算過(guò)程表明，對(duì)給定的幅值載荷p2和載荷頻率ω，平均載荷存在兩個(gè)臨界值和。當(dāng) pm＜時(shí)，問(wèn)題只有一個(gè)平凡解x1(0)=0，即此時(shí)球體保持未變形狀態(tài)并無(wú)空穴生成現(xiàn)象發(fā)生。

表1 平均載荷的臨界值(單位:MPa)Tab.1 Critical values for the mean load

4 結(jié)論

周期載荷作用下超彈性材料球體中的空穴動(dòng)生成問(wèn)題可在有限變形動(dòng)力學(xué)的框架下分析。空穴變形的時(shí)程曲線、相圖和龐加萊截面圖的數(shù)值結(jié)果和通常的動(dòng)力學(xué)理論分析，表明對(duì)周期載荷的平均載荷存在一個(gè)臨界值，當(dāng)平均載荷小于這個(gè)臨界值時(shí)，球體保持不變形狀態(tài);但當(dāng)平均載荷大于這個(gè)臨界值時(shí)，空穴可在球體中突然生成，且空穴隨時(shí)間的演化為擬周期振動(dòng)。且對(duì)平均載荷存在另一個(gè)臨界值，當(dāng)平均載荷大于這個(gè)臨界值時(shí)，空穴無(wú)限增大且球體最終會(huì)被破壞。周期載荷的幅值載荷對(duì)第一個(gè)臨界載荷值有明顯的影響，而載荷頻率的影響可忽略不計(jì)。

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