三相不平衡高頻振蕩的相量測量方法

陳 壘，謝小榮，于光遠，尹愛輝

（1. 清華大學電機工程與應用電子技術系，北京市 100084；2. 國網山東省電力公司濟南供電公司，山東省濟南市 250000）

0 引言

近年來，中國電力系統發生了多次高頻振蕩事件。例如：2017 年魯西背靠背柔性直流輸電工程出現了1 270 Hz 左右的高頻振蕩現象，導致換流器跳閘［1］；2018 年渝鄂柔性直流輸電工程在調試期間分別出現了700 Hz 和1 810 Hz 的振蕩［2］。這種高頻振蕩一旦發生，將會嚴重危害電力系統安全穩定運行。目前，中國海上風電多采用柔性直流輸電系統送出，因此，高頻振蕩風險不可避免。

為了讓系統調度員實時了解振蕩的頻率和幅值信息，并針對性地采取振蕩抑制措施，需要實現高頻振蕩相量和頻率的實時準確測量。基于巨磁阻效應的電流傳感器在大量程、寬頻帶范圍內均有良好的性能［3-4］，且相應的測量方法可依托相量測量單元（phasor measurement unit，PMU）實現。這些均為在柔性直流輸電系統中準確測量高頻振蕩相量提供了基礎。

通過分析現場數據發現，柔性直流系統中發生的高頻振蕩一般具有三相不平衡特征。這主要是由于系統在振蕩頻率處正負序均存在不穩定模式，系統擾動后同時引發正序振蕩和負序振蕩，造成三相不平衡［5］。

由文獻［6］可知，負序振蕩分量會對正序相量測量造成干擾，從而導致高頻振蕩相量測量存在誤差。因此，在測量正序相量時，測量方法應具備負序分量干擾的抑制能力。而目前已有的振蕩相量測量方法主要關注三相平衡下正序振蕩相量的測量問題，少有關注振蕩三相不平衡下負序分量干擾的抑制問題。

文獻［7-8］提出了基于Prony 和Adaline 等現代譜估計理論的低頻振蕩參數測量方法。針對電力系統次同步振蕩參數測量，文獻［9］對目前已有的方法進行了綜述。目前文獻中的次同步振蕩檢測方法主要包括2 類。一類是基于PMU 同步基波相量測量數據的檢測方法［9-10］，其一般假設PMU 采用的相量測量方法為離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT），然后推導次同步振蕩參數與基波相量測量結果之間的關系。這一類方法并不適用高頻振蕩相量測量。這主要是由于PMU 最高數據上傳速率僅為100 幀/s。根據香農采樣定理，如此低頻率的數據不包含高頻振蕩信息，因此不能從PMU測量得到的基波相量數據中恢復高頻振蕩相量等信息。另一類是基于電網電壓電流采樣信號的測量方法［11-13］。例如，文獻［12］提出先用平均濾波方法濾除基波和諧波分量，再采用DFT 計算次同步振蕩幅值和相位等參數。基于該方法計算正序振蕩相量時，須首先計算各相的振蕩相量，然后采用對稱分量法計算正序相量。然而，當三相振蕩分量不平衡時，鏡像振蕩頻率分量對各相振蕩相量測量結果的影響不同，也就導致計算得到的正序振蕩相量中含有負序分量干擾，因此存在誤差。文獻［13-14］中的方法也存在該問題。另外，文獻［15］提出的基于子空間的電力系統振蕩相量測量算法考慮了不超過300 Hz 的中頻振蕩參數測量問題。文獻［16］討論了寬頻帶相量測量框架，并提出用DFT 測量寬頻帶相量。但這些方法都未考慮三相振蕩信號不平衡情況下的高頻振蕩相量測量問題。

本文針對上述問題，提出基于sinc 插值函數的正序高頻振蕩相量測量方法，能有效抑制負序振蕩分量的干擾，并通過仿真實驗和實測數據驗證了所提方法的有效性。

1 高頻振蕩相量測量方法

1.1 高頻振蕩三相電流信號

含有基波和振蕩間諧波分量的三相電流信號sp(n)（p=A，B，C）可以表示為：

式中：f0、fih、fs分別為額定頻率、間諧波頻率和信號采樣頻率；a0，p和θ0，p分別為p相基波有效值和相位；aih，p和θih，p分別為p相間諧波初始有效值和相位；σp為p相間諧波幅值的衰減因子；n為采樣點編號。

根據上文所述，三相高頻振蕩分量可以是不平衡的，即三相的幅值aih，p、衰減因子σp和相位θih，p可以不相等。圖1 給出了國內發生的某高頻振蕩事件中三相電壓電流波形，可以發現上述波形中有明顯的三相不平衡特征。

圖1 某高頻振蕩事件中三相電壓、電流波形Fig.1 Three-phase voltage and current waveforms in a high-frequency oscillation event

1.2 三相信號的Clark 變換

對式（1）所示三相信號進行Clark 變換，并進行推導后得到變換后的信號波形Cα，β(n)。

式中：下標α和β分別表示正序和負序分量；bih，α(n)和bih，β(n)分別為信號變換后的正序和負序振蕩分量有效值。從式（2）可以看到，當三相高頻振蕩信號不平衡時，bih，β(n) ≠0，而這部分負序分量會給正序振蕩相量的測量帶來干擾。

為了抑制負序分量干擾，本文的思路是在信號模型中加入負序分量，即可在實現正序振蕩相量測量的同時實現負序分量的陷波處理。但振蕩幅值是一個時變量，因此，還需要用參數化模型對正負序分量進行建模，從而描述振蕩信號的時變特征。

1.3 振蕩相量建模

正負序振蕩相量一般可視作一個基帶帶限信號。那么，在很窄的時間窗n∈[-N2 +1，N2 ]內，該帶限信號可以近似地表示為若干個sinc 插值函數的線性疊加［16-17］，其中N為時間窗長度。以正序振蕩相量建模為例，可以將其表示為：

式中：pih，α(n) =bih，α(n)ejθih，α為高頻振蕩正序相量，即為待測量的相量值；B為一個不小于基帶信號pih，α(n)最高頻率的頻率值（B≠0），2B為該帶限信號的采樣頻率；pk，α=pih，α(k2B)為pih，α(n)在n=kfs/(2B)時刻的采樣值；k為采樣點編號；2K為用于重構振蕩相量信號的采樣點數，因此，2K可以被視為模型階數。另外，時間窗長度Tw一般應滿足Tw＜k/B。需要說明的是，傳統的信號建模方式一般針對穩態信號，而本文建模方式可準確描述頻譜在一定范圍內分布的時變信號［16-17］。

1.4 振蕩頻率和正序相量測算

在實現振蕩相量建模后，就可以實現式（2）中信號的近似表示。對該近似表示的電網信號進行DFT 計算可以得到頻譜分析結果S(c)：

式中：pα=a0，αejθ0，α和pβ=a0，βejθ0，β分別為正、負序基波相量；pk，β=pih，β(k/2B)為pih，β(n)在n=kfs/(2B)時刻的采樣值；fc=cfs/N為DFT 計算的頻率，其中c為DFT 計算的譜線序號。可用振蕩頻率附近幅值最大的若干根譜線信息進行pk，α的測算，fc即為這些譜線對應的頻率。N取每周期采樣點數的整數倍。如此，基波和可能存在的低次諧波在高頻振蕩頻率附近的若干根譜線對應DFT 的變換值為0，從而可有效避免基波和可能存在的諧波對振蕩頻率附近的頻譜值產生影響。為了減小計算負荷，同時提高正序振蕩相量測量的響應速度，本文將N取為一個基波周期長。因此，在忽略式（4）中基波分量的DFT值后，其可表示為如下矩陣形式。

式中：Sα和Sβ分別為包含2K+1 個電網電流信號DFT 計算值的正、負序列向量，用于計算它們的DFT 頻率fc分別為振蕩頻率和負振蕩頻率附近幅值最大的譜線對應的頻率；z為每一行包含了2K+1個sinc 插值函數DFT 的變換值；上標*表示共軛算子；pα和pβ分別為包含了pk，α和pk，β的列向量；V為包含了z和z*的矩陣；X為包含了Sα和Sβ的列向量；R為包含了pα和pβ的列向量。

為了抑制負序分量對正序振蕩相量測量帶來的影響，式（5）中包含了負序分量部分的計算結果，如此，負序分量也包含在信號模型中。因此，在通過式（5）計算正序振蕩相量時，負序分量的影響得到了抑制，即從濾波器的角度考慮，可認為實現了負序分量的陷波處理［18］。列向量R可通過式（6）進行測算。

在對式（2）所示信號進行近似表示時，fih是未知的。本文基于插值DFT 初步估計fih，記為f^ih。其計算原理和方法較為成熟，本文不再贅述，具體可參考文獻［14］。因此，根據式（3），正序振蕩相量在0 時刻的m階導數可以基于pk，α的估計值p^k，α進行測算，即

式中：Im {·}表示相量虛部算子。

2 計算流程和計算量分析對比

本文方法通過如下步驟完成：①基于式（2）計算三相信號的Clark 變換信號；②基于插值DFT 粗略估計高頻振蕩頻率；③基于式（4）計算Sα和Sβ；④基于式（6）測算pk，α和pk，β；⑤基于式（8）和式（9）計算高頻振蕩相量和頻率。

由于計算相量導數和頻率僅需幾次加減和乘除，因此第⑤步的計算量基本可忽略不計。第①步中需要3(N-1)次加法和4N次乘法；第②步和第③步共需要進行4K+2+N次DFT 計算（這里的DFT 計算是指計算每個頻譜值所需的計算量）；第④步中需要對4K+2 階方陣進行求逆運算。由于本文K取1，因此待求逆方陣的階數僅為6 階。另外，由于時間窗長度僅為20 ms，因此即使當PMU采樣率為12.8 kHz 時，以上計算量總和也不超過10 000 次浮點運算。

采用目前最常用的插值DFT 算法［16］計算正序振蕩相量時，首先需要對三相信號進行Clark 變換，然后對變換后的信號進行加窗DFT 運算，最后通過插值估計高頻振蕩頻率和高頻振蕩相量。相對于本文所提算法，插值DFT 方法不需要進行上述步驟③至⑤中的計算，計算負荷明顯減小。

一般而言，為進一步提高準確度，須將上述插值DFT 算法估計得到的高頻振蕩頻率作為式（3）信號模型中的初始頻率值，并進一步在頻域將信號模型與實際信號進行比較，估計得到高頻相量和頻率值。具體原理與本文方法類似，唯一的區別是式（5）中不包括負序高頻振蕩分量對應的計算值，即Sβ，而計算步驟與本文方法相同。與本文方法相比，該算法在第②步和第③步中僅需進行2K+1+N次DFT 計算；第④步中需要對2K+1 階方陣進行求逆運算。因此，該算法的總計算量也小于本文算法。

然而，由于每次執行本文算法所需的浮點運算數不超過10 000 次，而目前常用的數字信號處理器每秒能進行上億次浮點運算。因此，完全能夠完成本文算法計算。

3 算法性能測試

本章通過仿真實驗分析所提高頻振蕩相量測量方法的性能。首先，采用數值仿真信號評價振蕩頻率取值和電流存在諧波對所提振蕩檢測方法性能的影響；然后，采用典型柔性直流輸電系統中出現的高頻振蕩PSCAD 仿真信號驗證所提振蕩相量測量方法的性能；最后，采用國內發生的高頻振蕩錄波數據測試所提出方法的性能。

為了展示本文方法對負序分量干擾的抑制性能，與未考慮負序分量干擾的振蕩相量測量方法進行比較。插值DFT 算法是一種常用的高頻振蕩相量測量方法［16］，但由于該方法不存在迭代環節，因此準確度比本文方法低。為了公平地進行比較，在插值DFT 算法的基礎上增加類似本文的迭代環節，區別在于式（5）中不包含負序分量部分，下文將該方法稱為傳統方法。實驗中電網信號的采樣率為10 kHz，正/負序振蕩相量建模參數B取2.5 Hz，采用振蕩頻率和負振蕩頻率附近3 根幅值最大的譜線信息進行振蕩相量測算，并用IEEE/IEC 標準［19］中定義的綜合矢量誤差（total vector error，TVE）和頻率誤差評價2 種方法的性能。

3.1 振蕩頻率的影響

不同振蕩模式下振蕩頻率可能不同，本節考察振蕩頻率對所提出方法性能的影響。采用式（10）中的信號sp(t)進行分析。在各個子實驗中，fih以20 Hz的步長從500 Hz 遞增到2 500 Hz。衰減因子σ為1，A 相初始振蕩幅值a為0.2，基波頻率f為50 Hz。

附錄A 圖A1 展示了高頻振蕩頻率為540 Hz 時本文方法的中間結果，包括Clark 變換信號的頻譜分析結果（見圖A1（a））及插值DFT 估計得到的高頻振蕩頻率值（見圖A1（b））。從圖A1（a）可以看出，三相不平衡信號中含有明顯的負序分量。從圖A1（b）可以看出，插值DFT 估計得到的頻率誤差較大，需進一步通過迭代運算提高準確度。

圖2 和圖3 分別展示了不同振蕩頻率下本文方法和傳統方法對應的TVE 和頻率誤差。可以發現，即使振蕩頻率不同，本文所提出的方法的TVE 和頻率誤差均很小，如TVE 總小于0.002%，頻率誤差總小于0.002 Hz。而且，本文所提出的方法的準確度要明顯高于傳統方法。對振蕩頻率測算而言，本文方法將傳統方法近0.22 Hz 的誤差減小為0.002 Hz。這說明本文方法對負序分量干擾起到了很好的抑制作用。

圖2 不同振蕩頻率下2 種方法對應的TVEFig.2 TVE corresponding to two methods with different oscillation frequencies

圖3 不同振蕩頻率下2 種方法對應的頻率誤差Fig.3 Frequency errors corresponding to two methods with different oscillation frequencies

3.2 不平衡程度的影響

不同振蕩事件中，三相振蕩分量的不平衡程度可能不同。本節通過不斷調節式（10）中A 相信號的振蕩幅值來改變不平衡程度，以測試本文方法和傳統方法的性能。具體而言，在10 次測試中，參數a的值以0.1 的步長逐漸從0.1 變化到1，而A 相的初相位總是0°，振蕩頻率為520 Hz。

附錄A 圖A2 和圖A3 分別展示了不同不平衡程度下本文方法和傳統方法對應的TVE 和頻率誤差。可以看到，當a值為0.1、相位為0°，即三相振蕩分量平衡時，本文方法與傳統方法的TVE 及頻率誤差均相同。而隨著不平衡程度的增加，傳統方法的TVE 及頻率誤差快速增加。相較而言，本文方法的TVE 及頻率誤差基本維持不變。這主要是由于本文方法有效抑制了負序分量干擾。

3.3 次同步間諧波干擾的影響

在高頻振蕩發生過程中，由于干擾影響，信號中還可能存在次同步間諧波分量。本節分析該分量對高頻振蕩相量測量的影響。在9 次測試中，次同步間諧波的頻率以5 Hz 的步長逐漸從5 Hz 變化到45 Hz，幅值為基波幅值的1%，相位與基波相位相同，高頻振蕩頻率為520 Hz。

附錄A 圖A4 和圖A5 分別展示了次同步間諧波頻率不同時本文方法和傳統方法對應的TVE 和頻率誤差。可以看到，當信號中存在次同步間諧波分量時，本文方法的TVE 和頻率誤差均增大。TVE 值最高約達0.8%，頻率誤差最高約達0.08 Hz。然而，即使在次同步間諧波干擾的情況下，本文方法的準確度仍要高于傳統方法。

3.4 諧波干擾的影響

電網信號中不可避免地會存在諧波分量。本節根據IEEE/IEC 標準［19］測試諧波對所提方法性能的影響。一般而言，電網中較低次諧波含量更為豐富。本節主要測試信號中含有第2 至7 次諧波分量時方法的性能。具體地，在式（10）中增加一個諧波水平為1%的諧波分量。為了測試所提出方法可能受到的最大影響，振蕩頻率應盡量靠近諧波，為此將振蕩頻率設定為520 Hz。

附錄A 圖A6 和圖A7 分別展示了不同次數諧波干擾下2 種方法對應的TVE 和頻率誤差。可以看到，即使受到諧波干擾，2 種方法的準確度基本不變。這主要是由于本文采用基于DFT 的頻域插值的方法測算振蕩相量值，而DFT 能很好地抑制諧波分量對振蕩頻率附近頻譜的干擾，因此諧波干擾基本不影響高頻振蕩相量的測量準確度。

3.5 振蕩頻率時變的影響

由于系統拓撲或其他參數變化，高頻振蕩頻率也可能是時變的。為了測試這種情況的影響，本節考慮振蕩頻率在520～521 Hz 范圍內線性變化。其他參數與式（10）一致，即振蕩幅值也存在時變。

附錄A 圖A8 和圖A9 分別給出了振蕩頻率線性變化下2 種方法對應的TVE 和頻率誤差。可以看到，本文方法對應的最大TVE 及頻率誤差分別為0.002%、0.01 Hz；而傳統方法對應的最大TVE及頻率誤差分別為0.74%、0.24 Hz。因此，本文方法仍明顯比傳統方法準確。

3.6 典型柔性直流輸電系統高頻振蕩仿真信號

本節以典型柔性直流輸電系統為例，通過PSCAD 時域仿真獲取高頻振蕩電流信號驗證所提出方法的性能。本文所考慮的典型柔性直流輸電系統的拓撲結構如附錄A 圖A10 所示［5］。由圖A10 可見，當變電站間的輸電線由于檢修或其他原因斷開后，系統中出現了高頻振蕩線性。

附錄A 圖A11 展示了振蕩發生前后測量點處的三相電流波形及振蕩發生后的電流信號頻譜（時間窗長度為1 s）。從三相電流波形圖可以看出，該高頻振蕩具有明顯的三相不平衡特征。從頻譜圖可以看出，系統發生了約1 272 Hz 的振蕩。

圖4 和附錄A 圖A12 分別展示了本文方法和傳統方法測算得到的振蕩頻率和正序振蕩幅值。可以發現測量結果與附錄A 圖A11 中的頻譜分析結果相近。由于實際振蕩頻率和正序振蕩相量未知，所以無法計算振蕩頻率誤差和TVE。但由于高頻振蕩發生后系統參數并未發生改變，因此可認為振蕩頻率一直不變。如此，可以通過分析頻率值的波動程度判斷測量方法的精度。通過計算得到，傳統方法距離平均值的最大偏差為0.50 Hz，而本文方法僅為0.38 Hz。在如附錄A 圖A12 所示的2.5～2.6 s 范圍內，可認為二次擬合后得到的振蕩幅值曲線為振蕩幅值真實值。本文方法與真實值之間的最大偏差為0.47 A，而傳統方法為0.57 A。根據上述分析，可知本文方法比傳統方法有更高的精度。

圖4 2 種方法的振蕩頻率測算值Fig.4 Measured values of oscillation frequency for two methods

4 高頻振蕩事件實測數據

分別對圖1 所示的國內某高頻振蕩事件實測電壓、電流數據進行分析處理，得到了如圖5 所示的振蕩頻率的測算值。通過比較本文方法和傳統方法測量結果發現，本文方法最大偏離平均值為0.4 Hz，而傳統方法最大偏離平均值為0.65 Hz。因此，可以得出本文方法比傳統方法精度更高的結論。

圖5 基于電壓實測數據計算的振蕩頻率Fig.5 Calculated oscillation frequencies based on voltage measured data

5 結語

本文針對高頻振蕩三相信號不平衡問題，提出了一種基于sinc 插值函數的高頻振蕩相量測量方法。首先，對三相信號進行Clark 變換；然后，基于sinc 插值函數對正序和負序分量進行參數化建模；最后，通過求逆運算得到模型參數，并進一步計算得到正序振蕩相量和振蕩頻率。本文通過sinc 插值函數對負序分量進行建模，實現了負序分量干擾的有效抑制。通過數值仿真實驗、PSCAD 仿真數據實驗和實測數據實驗發現，本文方法的頻率誤差總小于0.08 Hz，TVE 總小于0.8%；而且本文方法比傳統方法更能抑制因三相不平衡引入的負序分量干擾，具有更高的振蕩相量測量準確度。另外，本文方法還具有計算量低的特點，工程應用潛力大。

但是，本文尚未在實際工程中驗證所提方法的性能。下一步將考慮研制高頻振蕩相量測量裝置，并將其應用于工程實踐中。

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