適應三相不平衡主動配電網無功優化的二階錐松弛模型

徐添銳，丁 濤，李 立，王 康，遲方德，高虎成

（1. 西安交通大學電氣工程學院，陜西省西安市 710049；2. 國網陜西省電力公司，陜西省西安市 710048）

0 引言

在全球能源低碳轉型的背景下，中國宣布的國家自主貢獻目標及碳中和愿景對電力工業高比例消納新能源提出了新的要求［1］。含分布式電源（distributed generator，DG）的主動配電網能夠有效提升新能源的利用率，降低碳排放量。同時，DG 在主動配電網中的靈活配置、與大電網互為備用的運行方式也使得供電可靠性得到改善［2］，受到國內外學界重視。目前，主要研究領域集中在配電網規劃［3-7］、運行策略優化［8-9］、故障恢復和故障重構［10-14］等。

配電網有很多特征與輸電系統不同，例如阻抗比（R/X）較大、支路電阻不可忽略［15］、拓撲結構一般為輻射形［16］、電壓等級較低、三相負載及線路不平衡程度較嚴重［17］等。而主動配電網的無功優化還需綜合考慮分布式能源接入，由此帶來的雙向潮流問題［18］及三相不平衡問題大幅提高了無功優化策略的求解難度。因此，研究精確、高效的三相配電網無功優化方法具有一定的意義和價值，能夠對整個配電系統的經濟安全運行提供有力支撐。目前，有一種主動配電網無功優化方法是假定配電網三相平衡，但僅考慮主動配電網的等值單相潮流模型［19-22］。文獻［22］將原始非凸、非線性、NP-hard 的潮流優化模型進行二階錐松弛變換，得到了基于等值單相配電網的無功優化方法。然而，以單相潮流模型進行無功優化可能會忽略實際配電網中由于三相不平衡所引發的大范圍潮流不平衡現象。為解決三相不平衡的配電網無功優化問題，國內外學者提出了為主動配電網建立三相形式的無功優化模型［23-27］，針對配電網無功優化中各相潮流分布不均的情況進行了建模。但文獻［23-25］所述方法對配電網的三相結構作出了簡化，即將三相配電網的無功優化模型視為3 個獨立的相，各相之間沒有相互影響。文獻［25］所建立的主動配電網無功優化二階錐凸松弛模型忽略了各相潮流間的電磁耦合關系，如果考慮三相負荷、網絡拓撲等不平衡因素，則其全局最優解存在一定誤差。文獻［26-27］考慮到配電網三相間的耦合作用，并由此建立了完整的三相耦合支路潮流模型。然而，文獻［26］在求解非凸非線性的無功優化問題時采用了線性化近似的潮流方程，其結果同樣不可避免地與全局最優解存在誤差。文獻［27］采用了改進后的退火魚群融合算法求解無功優化問題，但是所采用的啟發式算法本身具有一些難以忽略的缺陷，例如難以獲得全局最優解、對經驗參數具有強依賴性導致魯棒性較差，且目前對此類方法尚無嚴格數學證明。綜上所述，目前亟須一種既能夠考慮到配電網完整三相潮流模型，又能夠確保算法誤差較小的無功優化方法。

本文的主要貢獻是提出了一種基于二階錐松弛的三相不平衡主動配電網無功優化方法。該方法通過對線路各相之間的互耦以及三相負載、線路參數的不平衡的綜合考慮，建立了完整的配電網三相模型。此外，該方法對主動配電網三相不平衡狀態下的支路潮流模型進行了二階錐松弛的精確凸化，確保了解的全局最優性。

1 主動配電網三相無功優化的數學模型

1.1 主動配電網無功優化的目標函數

主動配電網無功優化旨在控制網絡中各節點無功補償設備的無功出力，達到降低網損的目標，同時，使網絡電壓處于安全運行所允許的范圍內?？紤]運行的綜合經濟性，本文將網絡運行中所有支路的有功損耗之和最小作為目標函數，即

式中：φ取a、b、c，表示a、b、c 相；e為支路編號；nl為配電網中支路數量；Re，φ為第e條支路φ相的電阻值；Ie，φ為第e條支路φ相的電流幅值。

1.2 主動配電網運行約束條件

1）功率平衡約束

功率平衡等式約束保證了由支路流入/流出節點的功率與節點注入功率始終相等，并且表征了支路電壓降落與支路潮流的關系。潮流方程一般基于節點電壓法，以節點注入的形式對潮流進行建模，其中包含了節點電壓和節點注入功率。而在輻射狀的配電網中，以支路功率形式建立的潮流模型更加直觀簡潔，該模型中包含支路電流、支路功率、節點電壓等變量。主動配電網模型如圖1 所示，其支路潮流模型為：

圖1 配電網支路潮流模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of branch flow model of distribution network

式中：E為所有支路的集合；（m，n）表示支路的起點和終點分別為第m個節點和第n個節點；Smn為支路mn傳輸的三相功率矩陣；Zkm為支路km的三相阻抗矩陣；Lkm為支路km的三相電流向量與自身共軛轉置相乘所得的矩陣；Vm為第m個節點的三相電壓向量；Ze為第e條支路的三相阻抗矩陣；Ie為第e條支路的三相電流向量；Se為第e條支路傳輸的三相功率矩陣；IHe為列向量Ie的共軛轉置；Snet，m為第m個節點的三相注入功率矩陣；s˙net，m，a、s˙net，m，b和s˙net，m，c分別為第m個節點的a、b 和c 相注入功率相量。

2）節點電壓與支路潮流的安全約束

式中：Vn，min和Vn，max分別為第n個節點的節點電壓幅值Vn，φ的最小和最大值；Ie，max為第e條支路過載臨界電流幅值。

3）變電站節點電壓約束

式中：Vset為一給定的三相電壓向量。該約束保證變電站節點（節點編號為0）處三相電壓向量V0的幅值和相角為固定值。

4）變電站出口功率約束

式中：P0和Q0為從變電站流入配電網的有功功率和無功功率；P0，max和P0，min分別為變電站出口所能提供的有功功率上、下界；Q0，max和Q0，min分別為變電站出口所能提供的無功功率上、下界。

5）DG 運行約束

本文將DG 的運行模式設置為最大電源點追蹤模式，DG 的有功輸出功率與無功輸出功率可分別進行調節，為使有功負荷能夠充分利用清潔能源，DG 的有功功率為固定預測值，無功功率為可調變量。

需要說明的是，本文方法中無功調節設備僅考慮了DG 的連續無功出力。當然，本文方法同樣適用于考慮離散無功調節設備的無功優化，其主要區別在于考慮離散無功調節設備會在模型中引入整數，而本文僅考慮連續無功調節設備的模型無須引入整數變量。為了驗證本文提出方法的正確性并與文獻［25］的方法進行對比，進行2 種方法的開發時僅考慮連續無功調節。

最終，式（1）—式（9）構成三相主動配電網無功優化模型，其優化決策變量包括控制變量和狀態變量，其中，控制變量為QDG，n中的元素；狀態變量為Vn、Ie和Se中的元素。

2 三相無功優化模型的二階錐松弛方法

文獻［25］在三相平衡條件下，忽略三相之間耦合，采用Distflow 模型的配電網潮流方程形式將三相潮流進行解耦，其具體內容見附錄A。

由附錄A 可知，文獻［25］所建立的三相配電網模型并未考慮三相之間的互相耦合形式，將三相潮流模型直接解耦成3 個單相潮流方程，每相僅包含本相自身的參數?？紤]到文獻［25］所述方法對線路相間互阻抗的忽略，在三相不平衡的場景（如負荷三相不平衡、線路參數三相不對稱）下，采用這個模型所得出的結果將與實際最優解間存在誤差。

為此，本文對三相不平衡主動配電網的原始支路潮流模型作二階錐松弛。定義矩陣Wm=VmVHm，其中，VHm為Vm的共軛轉置。式（3）經共軛相乘變換為：

式中：Le=Lmn=Ie IHe為第e條支路的三相電流與自身共軛轉置IHe相乘所得的矩陣；ZHe和SHe分別為Ze和Se的共軛轉置。

良渚文化遺址出土的器物上的圖案，較多的還是鳥紋。在良渚被命名為獸面紋的圖案，其實也是可以歸入龍首紋的。從漢代《說文》《淮南子》等文獻對龍鳳的描繪來看，良渚的龍首紋、獸面紋還不夠像龍，鳥紋也還不夠像鳳，但它們是龍鳳的雛形。龍尚變化，龍尚進取，集中體現中華民族的陽剛精神。鳳則尚和美，尚吉祥，它集中體現中華民族的陰柔精神。龍騰鳳翥成為中華民族幸福的象征。而這，正是中華美學的靈魂。良渚文化紋飾中雖然有龍的雛形，但不很突出，良渚文化的靈物崇拜主要是鳥崇拜，鳥崇拜可以看作是鳳凰文化的源頭。

同時，網絡中節點電壓、支路電流及支路傳輸功率之間的關系可表示為：

由原始支路潮流模型可知，對向量Vm和Ie分別右乘其各自的共軛轉置向量后變為Wm和Le，相當于將原始網絡擴展為虛擬等效網絡，如圖2 所示。圖中：a、b 和c 相結構分別用藍、綠和紅色表示；ma、mb和mc分別為第m個節點的a、b 和c 相；na、nb和nc分別為第n個節點的a、b 和c 相；ea、eb和ec分別為第e條支路的a、b 和c 相。擴展前，第m個節點和第n個節點的顯式結構三相間并無聯系。其特點表現在Vm和Vn均為只包含3 個元素的向量，而第m個節點和第n個節點之間的聯系僅存于兩節點對應相之間的聯系，其特點表現在Ie同樣為只包含3 個元素的向量，該連接關系分別如圖2 中的ea、eb和ec所示。經擴展即分別右乘共軛轉置向量后所得到的矩陣Wm和Le，其所包含元素均擴展為3×3 個，在Wm中引入了之前并不存在的第ma、mb和mc個節點之間的聯系即虛擬聯系關系，例如矩陣Wm的元素(1，2)=()*；在中則引入了第m個節點的φ相與第n個節點的φ′相（φ′≠φ）間的聯系，例如矩陣Le的元素l˙e(1，2)=i˙l，a(i˙l，b)*。通過以上擴展，將之前三相間耦合的隱式關系顯現出來。

圖2 原始網絡及經擴展后等效網絡示意圖Fig.2 Schematic diagram of original network andextended equivalent network

式（11）中包含非線性等式。由于其強非凸形式，求解式（11）屬于NP-hard 問題，難以獲得全局最優解，但可等效為式（12）中的2 個約束［28］。式（12）中的不等式約束為半正定（semidefinite programming，SDP）的凸約束，秩約束為非凸約束。若將式（12）中的秩約束松弛，僅剩的半正定約束為凸約束，可實現凸化。由于半正定約束求解算法復雜度要比二階錐約束高一個數量級，因此，本文根據Sylvester 準則［29］，將式（12）的半正定約束精確轉化為二階錐約束，如式（13）所示，轉化過程的推導詳見附錄B。

為衡量該二階錐松弛的準確性，定義松弛偏差度函數如式（14）—式（16）所示。

于是，原支路潮流模型式（2）—式（5）變為：

綜上，原始的主動配電網三相不平衡的無功優化問題變形為：

二階錐優化模型式（18）的決策變量為矩陣[QDG，n，Wn，Se，Le]中的元素。求解該優化模型可得到決策變量的最優解。第n個節點的三相電壓幅值為矩陣Wn主對角元素的開方值；第e條支路的三相電流幅值為矩陣Le主對角元素的開方值。

3 算例分析

3.1 算例1：IEEE 33 節點算例

本節以IEEE 33 節點配電系統作為算例進行計算分析，其拓撲如附錄C 圖C1 所示。該算例電壓等級為12.66 kV，功率基準值為100 MVA，總有功負荷為3.6 MW，總無功負荷為2.295 Mvar，其中，第6、14、29 個節點各連一臺DG，每臺DG 的三相裝機容量總和為300 kVA，輸出無功可調范圍為［0，60］kvar，并且三相輸出無功獨立可調，正常運行的節點電壓幅值安全約束為［0.9，1.1］p.u.（電壓在本文中均采用標幺值表示）。

本算例在初始算例基礎上，首先將三相負載及線路作平衡處理，使初始算例變為三相對稱系統，以此為基礎分別改變負載和線路參數的三相不平衡度。為考慮三相負載不平衡，將a 相負載分別減少10%和30%，b 相負載不變，c 相負載分別增加10%和30%；為考慮三相線路參數不平衡，將a 相線路自阻抗分別減少10%和30%，b 相線路自阻抗不變，c 相線路自阻抗分別增加10%和30%。為說明本文所采用的線路參數三相不平衡度定義，取配電網中任一條饋線為例，由于線路參數受外界環境影響較大，因此，相間互阻抗的取值存在較大不確定性，在配電網供電過程中可能時刻發生變化，但線路的各相自阻抗在正常運行條件下維持穩定。為此，引入互阻抗與自阻抗之比δ來確定互阻抗的取值。

改變配電網三相不平衡度，同時改變δ∈{0.01，0.1，0.2，0.3}，方法1 松弛偏差度函數的取值如表1 所示。表中：max（DW）、max（DL）和max（DS）分別為對本情況中不同δ取值所計算出的DW、DL和DS的最大值。由表1 可知，本算例中松弛偏差度均在10-3以下，因此，可以證明方法1 采用的二階錐松弛模型在本算例中是精確的。

表1 算例1 中各不平衡公況下方法1 的松弛偏差度函數的計算結果Table 1 Calculation results of relaxation deviation degree function of method 1 in different unbalanced situations in case 1

進一步地，原始無功優化問題的非凸可行域在方法1 和方法2 中均被松弛為凸二階錐可行域。但是，根據二者的潮流模型可知，方法1 和方法2 的可行域并不相同，在各自的可行域內所取得的最優解亦不同。由二者模型可知，無論采用方法1 還是方法2，得到的優化解均滿足原始優化問題的約束條件式（5）—式（8），而造成誤差就是潮流方程式（2）和式（3）。分別采用方法1 和方法2 求解無功優化模型，然后統計二者所得解與潮流等式方程的擬合程度，該擬合程度采用相對于0 的誤差來衡量。定義2 個誤差分別如式（20）和式（21）所示。

在三相負荷平衡條件下，僅改變δ的值（即線路三相不對稱程度），方法1 和方法2 計算所得節點電壓分布情況如圖3（a）和（b）所示。圖3（a）中，方法1在δ發生改變后也會引起節點電壓分布的變化，且δ越大，整體電壓幅值水平越高。這是由于相間互阻抗實質上是等效的并聯電容，從而造成線路無功功率增大，末端節點電壓幅值上升。圖3（b）中，δ發生改變后的節點電壓幅值曲線一致重合。這一結果驗證了方法2 并未引入互阻抗，從而在互阻抗發生顯著變化時，節點電壓分布情況始終不改變。而在互阻抗固定時，改變三相負荷不平衡度將對方法1 和方法2 的計算結果同時產生影響，如圖3（c）和（d）所示。

圖3 算例1 中方法1 與方法2 的計算節點電壓對比Fig.3 Comparison of calculated bus voltages between method 1 and method 2 in case 1

分別通過方法1 與方法2 進行無功優化計算，二者所得節點電壓幅值存在差值，該差值ΔV的表達式為：

式中：VM1和VM2分別為方法1 和方法2 進行無功優化計算后所得的節點電壓幅值。

2 種方法間的電壓幅值差值表達式的具體取值如附錄C 表C2 所示。隨著網架不對稱程度的增加或者負荷不平衡程度的增加，方法2 的計算誤差隨之增加。在較大的互阻抗和三相負荷不平衡的情況下，兩者之間的電壓差值達到1.52%，計算結果存在較大差異。

由于方法1 與方法2 的目標函數均為網絡中所有支路有功損耗之和，因此，取其二者最后所得目標函數進行對比，以方法1 所得出的目標函數值為基準，具體數據如附錄C 表C3 所示。在δ=0.3 的情況下，方法1 所得目標函數即支路有功損耗之和較方法2 所得目標函數小2%左右，兩者所取得的無功優化結果差異明顯，進一步說明了采用方法1 進行無功優化的合理性和必要性。

3.2 算例2：IEEE 123 節點算例

3.3 計算效率分析

本節討論方法1 與方法2 的計算效率，即尋找最優解所耗費時間。為進一步檢驗方法1 與方法2在大規模配電網中的求解性能，本文將上述IEEE 33 節點算例、IEEE 123 節點算例及某地配電網擴展而來的906 節點算例的求解時間進行對比，結果如表2 所示。

表2 求解時間對比Table 2 Comparison of solving time

方法1 與方法2 在較小規模的配電網中求解時間均為1 s 以下，二者求解效率差距偏??；而在大規模復雜配電網絡，如906 節點算例中，方法2 求解用時0.38 s，方法1 求解用時達到了2.52 s。盡管如此，方法1 的求解時間完全能夠滿足每5 min 滾動進行無功優化一次的要求，計算速度在工程應用時不存在明顯劣勢。

4 結語

本文通過升維映射和秩松弛，利用Sylvester 準則提出一種適應三相不平衡主動配電網無功優化的二階錐松弛模型，模型綜合考慮了三相間的耦合關系，增加了相間電壓、電流和功率之間的二階錐約束，提高了松弛模型的計算精度。通過算例分析可知，傳統方法會在三相不平衡運行下產生松弛誤差，并且隨著網架不對稱程度的增加或者負荷不平衡程度的增加，計算誤差隨之增加。本文所提方法相比傳統方法提高了計算精度，同時將求解時間控制在可接受范圍之內。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。