考慮發電機閥點效應的改進拉格朗日松弛有功調度策略

陳建華，丁 冬，于希娟，丁 紅，忻 煜

（1. 國網冀北電力有限公司，北京市 100053；2. 國網北京市電力公司，北京市 100031；3. 國網北京市電力公司電力科學研究院，北京市 100075）

0 引言

經濟調度問題是電力系統運行中最重要的優化問題之一［1-2］，其目的是在保證電力系統安全運行的前提下，通過優化調整機組出力實現系統運行經濟性最優的目的［3-4］。目前，經濟調度運行中，一般認為機組運行成本與機組出力之間為簡單的二次多項式關系。但實際上，對大型發電機組來說，其進氣閥突然開啟時出現的拔絲現象會在機組耗量曲線上疊加一個脈動效果，產生閥點效應，從而導致經濟調度問題呈現非光滑和非凸特性，增加了模型的復雜度，給優化求解帶來較大難度［5］。

以往對于考慮閥點效應的有功調度問題的研究主要以啟發式算法為主，包括粒子群優化算法［6-7］、自組織遷移算法、人工蜂群算法、人工免疫算法、共生生物搜索算法、和聲搜索算法［8-14］等。部分研究將2 種或多種算法進行混合求解［15-19］，其中先由一種方法進行初步搜索，以縮小搜索范圍，然后用另外一種方法進行精細搜索，以達到最優。啟發式算法的優點在于對優化問題的形狀要求較少，對于非凸非光滑優化問題也能獲得優化解。但啟發式算法每一次優化結果均不相同，存在前后兩次結果差別較大的情況，且結果不能復現，因此，目前尚難以在實際現場應用。

在數學優化領域，對于此類非凸非光滑優化問題，一般采用分段線性化方法進行求解，但由此會產生2 個問題：一是優化模型中引入了整數變量，從而變為混合整數規劃問題，降低了求解效率；二是對于存在多個局部最優點的優化問題，可能會出現最優解來回跳變，從而導致優化過程不收斂問題。

本文提出一種改進的拉格朗日松弛有功調度算法，以考慮發電機閥點效應影響。提出一種二次多項式分段擬合算法及基于近端梯度法的增廣求解策略，能夠在確保結果最優性的基礎上加快收斂速度。

1 考慮閥點效應的有功經濟調度問題模型

有功經濟調度問題模型的目標函數和約束條件分析如下。

1）目標函數

一般以火電機組煤耗最小作為有功經濟調度問題的優化目標函數，如式（1）所示。

式中：f(pi)為火電機組i的煤耗成本，pi為機組i的有功出力；ai，bi，ci為機組i的煤耗成本系數。

當考慮閥點效應時，式（1）將轉變為式（2）。

式中：n為系統中所有火電機組數量；ei和fi為常數；為第i臺機組的有功出力下限。

2）約束條件

發電負荷平衡約束為：

式中：D為系統負荷需求預測值。

發電機出力限值約束為：

輸電斷面容量約束為：

可以看出，當考慮常規機組閥點效應時，優化目標將由傳統的凸優化問題轉變為非凸非光滑優化問題。由于目前未有針對這一問題的有效求解策略，使得經濟調度問題優化求解困難。

2 改進拉格朗日松弛法求解算法

2.1 整體求解流程

對第1 章中的有功經濟調度模型，采用拉格朗日松弛法進行求解，對應的拉格朗日對偶問題如式（6）所示。

式中：C為常數項。

可以看出，式（7）可以看成是多個單機約束的優化子問題之和。因此，原優化問題可以表示為多個并行的單機優化子問題，每個子問題中的變量及約束僅與一臺機組相關，而與其他機組無關。子問題的表達式如式（8）所示。

對于傳統有功調度問題而言，f(pi)為二次多項式函數，因此，子問題為二次規劃問題，最優解可以較容易獲得。

在子問題獲得最優解后，通過次梯度法更新主問題的拉格朗日乘子，并不斷對主問題、子問題進行迭代，即可逐漸逼近最優解。

2.2 考慮閥點效應的改進拉格朗日松弛算法

當考慮閥點效應時，f(pi)轉變為式（2）的非凸非光滑函數形式，如圖1 所示，導致傳統的數值優化算法不再適用。

圖1 考慮閥點效應的機組煤耗成本與有功出力關系Fig.1 Relationship between coal consumption cost and active power output of generator considering valve-point effect

式中：αi，k、βi，k、γi，k為第i臺機組第k分段二次擬合多項式系數。

以圖1 所示的發電機有功出力曲線為例，二次多項式擬合的誤差曲線如圖2 所示。其中，擬合誤差=|擬合值- 真實值|/機組額定出力下的煤耗成本。

圖2 擬合誤差曲線Fig.2 Fitting error curve

由圖2 可知，二次擬合最大誤差為0.25%左右，能夠滿足實際應用需要。

將擬合后的二次多項式（9）代入式（2）可以得到火電機組煤耗成本為：

將式（14）代入式（8），可以得到此時拉格朗日子問題的表達式為：

式（15）為分段函數形式，其中，對第k分段來說，其優化目標函數為二次函數，開口方向取決于二次項系數大小，對應的二次項系數為：

因此，當ai＞4ei f2i/π2時，最優輸出功率為：

當ai＜4ei f2i/π2時，最優輸出功率為：

實際上，對絕大多數火電機組來說，ai取值一般在10-4～10-3之間，而ei的取值一般為102量級、fi的取值一般為10-2量級，因此，ai＜4ei f2i/π2總是成立，優化過程中一般只需要考慮式（18）一種情況即可。式（18）表明，對于開口向下的二次函數，其最小值將在某一邊界處取得。因此，優化問題簡化為只考慮每臺機組少數幾個閥點即可，此時需要松弛發電負荷平衡約束（v≥0），確保問題能夠收斂。

2.3 基于近端梯度法的改進子問題求解策略

拉格朗日松弛法對原問題進行對偶求解做法的一個主要缺點是要求原問題具有凸結構，否則對偶問題的最優解與原問題之間不僅存在對偶間隙，而且導致對偶問題收斂性較差，容易出現振蕩不收斂情況。

針對子問題的非連續可微特性，本文提出一種基于近端梯度法的改進子問題求解方法。近端梯度法是一種特殊的梯度下降算法，主要用于求解目標函數不可微的最優化問題。如果目標函數在某些點是不可微的，那么該點的梯度無法求解，傳統的梯度下降法也就無法使用。

近端梯度法的核心思想是通過proximal 映射，將不可微函數轉化為易求解的proximal 映射函數，從而實現近似求解。假設約束函數f（x）的定義域為U，則自變量x的proximal 映射為：

本文在上式基礎上，通過在目標函數中引入懲罰因子?，在不影響原優化問題的優化結果的基礎上，加快問題收斂速度。

式中：?為懲罰項系數；y為輔助變量。為加快收斂速度，在第λ次迭代時，本文令y取為第λ-1 次迭代時對應的有功出力。

可以看出，式（20）優化問題的最優解p*i與式（15）優化問題最優解相同，且在最優解處，有y=p*i。因此，二次懲罰項的加入不影響原優化問題的優化結果。

對于式（20）的優化問題，其目標函數的Hessian矩陣為：

當?取值過小時，將導致優化問題Hesssian 矩陣條件數過大，從而導致優化問題病態；而當?取值過大時，優化問題凸性不足，將導致優化問題難以收斂。因此，合適的懲罰項系數選取對于保證優化問題的最優性及高效性具有重要意義。一般來說，為保證問題的收斂性，一般要求Hessian 矩陣為正定矩陣，即：

由式（22）、式（23）可知，?的取值區間建議為：

以2.2 節中發電負荷平衡約束松弛后獲得的解作為優化初值，用式（20）替換式（15），通過對每一分段分別求解并比較各分段區間優化解的經濟性即可得到最優煤耗及對應的發電機組出力。

3 算例分析

3.1 40 機測試系統仿真結果

選取文獻［20］中的40 機測試系統作為研究對象，系統負荷需求為10 500 MW，懲罰項系數?取0.01。

不考慮閥點效應時，有功調度問題轉化為傳統的二次規劃問題，可以采用傳統的拉格朗日松弛法快速求解，得到最小運行成本為118 660.2 美元。

考慮閥點效應時，采用本文方法及與其他方法優化結果比較如表1 所示。

表1 幾種方法優化結果比較（40 機測試系統）Table 1 Comparison of optimization results of several methods（40-machine test system）

由表1 可見，當考慮閥點效應時，系統運行成本由118 660.2 美元至少增加到121 412.5 美元，升高了2.32%，可見發電機閥點效應特性對系統調度運行的經濟性具有明顯影響。

同時，本文方法計算結果為121 459.6 美元，僅比全局最優解（121 412.5 美元）高0.03%左右，但計算時間僅為1.34 s，計算效率明顯高于混合整數規劃法。同時，本文方法計算結果也明顯優于其他6 種計算方法，且計算所需時間最短、效率最高。本文方法的收斂特性曲線如圖3 所示，經過200 次左右迭代，本文方法能夠快速逼近最優點。

圖3 所提算法收斂特性Fig.3 Convergence characteristic of proposed algorithm

3.2 48 機測試系統仿真結果

以文獻［24］中的48 機測試系統為研究對象，系統包括26 臺傳統火力發電機組、12 臺熱電聯產機組及10 臺供熱機組。系統負荷需求為4 700 MW，供熱需求為2 500 MWth，懲罰項系數?取值為0.9。

采用本文方法與其他方法的優化結果比較如表2 所示，每一臺機組的優化結果比較如附錄A 表A1所示。

表2 幾種方法優化結果比較（48 機測試系統）Table 2 Comparison of optimization results of several methods（48-machine test system）

由表2 可見，受優化模型目標函數、約束條件均存在強非凸性的影響，傳統拉格朗日松弛法無法收斂，采用混合整數規劃法可以得到最優的優化結果，但算法運行時間較長，為84.82 s，效率較低。本文方法煤耗成本僅為115 806.55 美元，僅高于全局最優解0.12%。與其他幾種方法相比，本文方法煤耗成本也最低。同時，本文方法運行時間僅為6.29 s，遠小于其他幾種方法，計算效率高。同時，對于現場實際應用來說，本文方法具有可重復性，且只需要運行一次即可獲得最優解，而啟發式算法需要反復運行多次，且一般不能復現結果。

本文方法的收斂特性曲線如附錄B 圖B1和圖B2所示。可見，經過600 次左右迭代，本文方法能夠逐漸逼近最優點。根據式（23）可知，要保證結果的收斂性，懲罰項系數?的取值范圍應為[0，1.749]。對不同?取值下的優化結果進行分析，如表3 所示。

表3 不同懲罰項系數時的優化結果比較Table 3 Comparison of optimization results with different penalty term coefficients

由表3 可見，當?在允許區間范圍內取值時，優化結果及計算效率差別不大；當?取值超出允許區間時，優化過程不收斂。特別的，當?取為∞時，優化模型轉變為傳統的拉格朗日松弛算法，此時，優化過程不收斂。

進一步，考慮不同負荷需求水平及供熱需求水平，本文方法的收斂性如附錄B 圖B3 所示。由圖B3 可見，在不同負荷需求及供熱需求水平下，本文方法均能夠快速收斂，證明了本文方法的魯棒性。同時可以看出，負荷水平變化時的收斂曲線具有一定的振蕩性，與不同供熱需求水平下的收斂曲線具有較大差異，這是由于考慮常規機組閥點效應時優化目標函數的非凸非光滑特性導致的。

4 結語

考慮閥點效應的有功調度問題，以往的研究主要集中于啟發式算法。本文提出一種基于數學規劃方法的求解策略，通過對拉格朗日松弛法進行改進，并結合近端梯度算法，消除了發電機閥點效應導致的非凸非光滑特性的影響。同時，提出一種二次多項式分段擬合及基于近端梯度法的增廣優化求解策略。40 機及48 機兩個測試系統上的優化結果表明：本文方法收斂性好、運行效率較高，較為適合在現場實際應用。

同時，需要指出的是，考慮閥點效應的有功調度問題為非凸優化問題，由于對偶間隙的存在，拉格朗日松弛法在求解此類問題時，只能得到局部最優解。下一步需要對此進行改進，結合其他數學規劃算法的優點，尋求能夠快速獲得全局最優解的高效算法。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。