數形結合思想在初中數學教學中的應用

紀華香

（山東省威海市環翠區第十中學 山東威海 264200）

素質教育的出發點是讓學生更全面、和諧、持續的發展，這要求教師在教學時更注重方法和策略。隨著素質教育的推行，我國也逐漸把教育重點從應試教育轉變成為素質教育，在這期間考試的重點也不再考學生基礎知識，而是變成了基本能力，合理的利用數形結合，也能夠更好地體現這一根本思想。

一、數形結合的內涵

“數”和“形”都是數學中經常出現的兩個概念，他們既是對立的又是統一的。數形結合可以讓復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。在教學過程當中，人們越來越發現數形結合可以培養和發展學生的空間觀念和數感，不僅可以培養形象思維，還可以培養抽象思維，這兩種思維的交叉使用和多種思維的相互促進可以讓學生學得更加清楚。數形結合完美地將代數和幾何的形象直接相互結合，相互利用，這也是解決數學難點的一個很重要方法。數形結合在其他的領域也發揮著非常突出的作用，數學知識是枯燥抽象的數形結合，可以生動形象地將數學的抽象轉變成為形象，讓學生學得更清楚，只要掌握好數形結合的方法，那么教學就會實現質的飛躍，讓學生學起來更省力[1]。

在教學過程當中，該怎么樣讓學生利用數形結合方式來解決問題呢？方法有以下幾點：第一，讓學生在解不等式及一些關于代數模型時使用數形結合。第二，出現關于方程式和函數時，讓學生用函數圖像的方式解決。第三，出現與函數相關的代數和幾何問題時。第四，運用圖像的形式處理信息的應用性問題。數形結合在初中數學里面有著很重要的作用，要想讓數形結合發揮最大的問題，解決數學問題，就必須找出數與形之間的關鍵，讓數和形相輔相成，相互配合合二為一。在數學學科如果能夠利用數形結合的話，那數學學科里面所有的科目都會變得非常簡單，這樣一來也會激發學生學習的興趣，促進學生更加主動地學習知識。

二、數形結合思想的重要性

（一）讓代數與幾何問題更加形象

幾何本身是立體的，而代數又是抽象的，如果把兩者結合起來揚長避短更能打破局限，促進數學的發展。數和形都是數學里面最基本的東西，數是指數字，形是指圖像，如果能將這兩者結合在一起，那就能化抽象為形象揭示很多數學的本質。[2]直角坐標系的建立可以將代數和幾何圖形連接在一起，為解決很多事情都提供了思路，也有事半功倍的效果，所以數形結合的重點就是“以形助數”。

（二）使復雜問題簡單化

數形結合的本質就是將抽象的數字變為直觀的圖形，讓抽象變得具體起來，在解決數學問題時，想到它的形狀，從而刺激思維找到解決的思路。或者在看圖形時，將它轉換為數的性質解決幾何上的難題，實現抽象和具體的相互轉化讓困難變得容易，讓抽象變得更加直觀。在初中的學習階段，數比較常見的是實數、代數式、函數和不等式，而形比較常見的是直角形、三角形、四邊形、多邊形、勾股定理等。函數的使用是初中數學的重點內容。在函數與平面圖形的對應，建立一次函數y=kx+b（k≠0）中k、b的值與圖像的相互對應關系，即k＞0、b＞0或k＞0、b0或k0的解集是x＞-3。

三、數形結合思想在初中數學教學中的應用策略

（一）在代數中應用數形結合

在數學的學習過程里面，代數的部分是比較枯燥無味的，如果能用數形結合的方式會加強學生學習的記憶，數形結合重視滲透和揭示基本數學思想的方法，加強數學和圖形之間的聯系。代數方法的一般性解題過程機械化，可操作性強，便于掌握，因此數形結合的思想是數學中的重要方法，運用好數形結合，能夠激發學生學習的興趣，促進學生的全面發展，也有利于推廣數學知識的應用。在數與代數的教學過程中，應該抓住數和數軸上相對應點的關系，有序實數和平面坐標點上相對應的關系，從數形結合的角度去想，借助數軸處理好數和代數之間的關系以及分類。教師要將這些知識有系統地進行區分，采用符合新課標理念的教法，在把課堂素材準備充分的情況下，讓學生們親自實驗探索體驗解決問題的樂趣，養成學生們主動運用數學知識的習慣，從而激發他們學習的動力[3]。

例如，在學習《一元二次方程的解》時，ax2+bx+c=0（a≠0）。先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c，將二次項系數化為1：x2+b/ax=-c/a，方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方，方程左邊成為一個完全平方式。這是一元二次方程求解的基本過程，過程較為繁瑣，且容易出現失誤。如果利用數形結合的方式會更為直觀。教師可以先讓學生自己好好思考，讓學生們認真思考、分類、對比、提出疑問，然后用數形結合的方式幫助同學們解答疑惑，讓學生們在觀察過程當中發現規律，讓學生們知道兩個代數之間還可能有幾何的背景，感受到數學的魅力。在數與代數的教學當中，教師應該更加注重引入數形結合的方式，讓學生們看到數字就想到圖形，再由圖形轉換為數字的思路，這樣可以讓學生對數和代數理解得更深刻。可以做到有問題時，由數轉換為形，或者從形轉變為數，這種數形相結合的方式可以讓同學們積極動腦。

（二）在幾何圖形中應用數形結合

新課本當中對幾何內容作出了很大的調整，減少了以演繹推理為主的定理證明，降低了論證過程當中的證明難度。教師應該調整自身掌握好數學方法，在整個教學過程當中起到重要地位。對于數形結合，教師也要善于利用身邊的素材，從數字到形態，揭示其中的本質。

例如，在學習《等腰三角形的軸對稱性》的有關定理時，教師可以讓學生自己畫一個等腰三角形ABC中畫出角A的角平分線AD，將三角形ABC剪下，沿著AD對折，這樣學生就可以清晰地認識到兩邊重合，讓學生體會兩個三角形全等的性質，從而真正做到靈活運用。

（三）在有理數中應用數形結合

有理數也是初中學習數學中非常重要的內容，我們只要知道任意一個有理數，都可以在數軸上將它表示出來，所以我們在教學有理數時可以利用數軸和數字進行轉換，利用數形結合的思想去解決問題，通過數軸顯示，快速進行大小的比較，更能直觀地讓學生們觀察到有理數的絕對值和相反值等概念[4]。假設c大于0，d小于0，并且 d的絕對值小于c的絕對值，請比較c、-c、d、-d的大小，這種比較大小的題目，僅憑推測是很難得得到結果的，如果我們在做這道題的時候實現數形相結合，在數軸上將這些數標注出來，凡是在數軸右邊的數都大于左邊的數，然后再逐一進行對比，答案就出來了。在學習和生活當中，我們可以經常利用數形結合的方法解決有理數的加減以及應用題等問題。

比如有一個小女孩，她先是沿著數軸的方向開始往前走，一開始她的位置正好是數軸中心0的位置，緊接著他向右邊走了5米，又向左邊走了7米，請問現在這個小女孩現在在什么位置？這道題通過數形結合的方式能夠快速地得出答案，所以只要我們合理的利用數形結合，就能讓復雜的問題變得簡單。

（四）在應用題中應用數形結合

應用題不光能夠驗證學生對于基本知識了解的多少，更是讓學生學會綜合運用解決問題的重要部分。從考試的方向來看，應用題所占的分數是比較重的，所以怎樣學好應用題也是初中教學一直以來的重點。我們在做應用題時，一般都會采用數形結合的方式。回憶之前我們學習的過程當中很容易發現，其實我們在學習關于走路問題的時候，通常會在紙上不自覺地畫出相應的圖形來幫助我們得到答案，其實這就是最初數形結合的原型。當學生們開始進入初中學習應用題之后，就會發現初中的應用題其實跟小學的應用題還是不一樣的，已經變得復雜了，所以在初中好好利用數形結合的方式來解決應用題，已經是一個非常重要的環節了。

例如，甲、乙兩人相距300千米，現在甲乙兩人開車同時出發，如果他們現在都是用一樣的速度前進，那么甲一小時行駛了60公里，乙一小時行駛了70公里，那他們需要多長時間才能相遇？這樣的題目只要將路線畫出來，題目就非常容易了。在數學的教學過程當中，一定要注意數形結合的方式，在很多題目上，這種方式真的很有必要，有些時候我們可以給數字賦予一些新的含義，也可以給圖形賦予一些新的含義，這樣可以讓數字輔助于形狀，形狀又輔助數字，有效地解決學習上的困難。

三、結束語

由此可見，數形結合在教學當中還是有著非常重要的意義，它可以將抽象的文字變得具體化，利用圖形結合的方式，也能夠幫助同學發散思維，激發學習的興趣，同學們經過長期的訓練，也可以在實際解題的過程當中主動去利用數形結合的方法，那在教學方面肯定也會引起質的提高，提升教學質量的同時，也提高了學生自我的滿足感。這對于教學來說也是非常重要的一點，教師也可以利用這種思想完成教學計劃，在實行數形結合的過程當中，教師一定要充分充當引導者的角色，讓同學們更好地利用數形結合打開他們學習的新方法。