由一道2021年高考模考壓軸題引發的研究
——關于雙曲線的一類離心率問題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

一、題目呈現

二、總體分析

本題是新高考一模試卷中多選題的壓軸題，著重考查雙曲線的幾何性質和離心率.該試題新穎而又有創造性，解法更是多樣化.教師在平時的課堂教學中，要引導學生理解由離心率的變化帶來的雙曲線的變化，在解題過程中選擇正確的方法，這樣才能夠快速準確地求出雙曲線的離心率.

王尚志教授曾提出開展主題教學的主張——教師應以“章”或數學中的重要主題或選擇通性通法作為學習主題，防止學習內容的“碎片化”，使學習過程具有全局觀念下的連貫性，在主題學習活動中提高學生的數學核心素養.

筆者試著遵循以上的求解思路和學習主張，由具體推及一般，找到解決此類問題的通性通法，以期達到拋磚引玉之功效.

三、試題解答

解法1 利用平面解析幾何知識結合雙曲線的性質推理求解.

設∠AOF2=α，則∠AOB=2α.

解法2利用向量條件中所含的幾何關系和代數關系，借助直線的方程推理運算求解.

設∠AOF2=α，則∠AOB=π-2α.

綜合以上兩種情況，本題正確選項為AB.

評析解法1本質上是幾何法，以垂直為切入點，又因為兩條漸近線關于x軸對稱，所以存在二倍角關系，將這些要素結合起來，建立雙曲線中基本量之間的關系式，從而順利求解；而解法2則是聯立直線方程，求出A，B兩點的橫坐標，再結合兩向量間的關系求解，思路自然，解題過程并不復雜.在平時的解題教學中，教師要有意識地啟發、引導學生從不同的角度進行思考，同時鼓勵大家嘗試不同的解題思路和方法，逐步提高學生的思維能力和運算能力.

四、一般推廣

解析此處不明確點F2是內比分點還是外比分點，因此需要分兩種情況討論.

以下重點結合解法1求解，得出一般結論.

設∠AOF2=α，則∠AOB=2α.

五、解題反思

本文是專門探討一類求解雙曲線的離心率的經典題型，即經過雙曲線的一個焦點的直線與其中一條漸近線垂直，與另一條漸近線相交，在明確長度關系的條件下，求離心率的問題.求解方案通常有兩類：一類是綜合幾何法，以直觀想象為基礎，以曲線的定義及幾何性質為抓手推理運算求解；另一類是解析幾何法，以數學運算為基礎，依托曲線的方程為切入點，通過運算推理求解.直觀想象素養為第一方案的思路產生提供了保障，而數學運算素養為第二類方案的思路產生提供了支撐.同時邏輯推理素養是兩種方案中不可缺少的共同基礎.

通過研究近幾年的考題，發現題目中基本沒有給出圖形，因此這就需要解題者結合題意，快速準確地畫出圖形，并從中找出幾何關系，再轉化為數量關系求解.有時也可以借助幾何直觀助力思考，從而不斷提高解題者的直觀想象能力和邏輯推理能力.同時還可以借助向量、三角函數等知識簡化運算，培養學生的解題能力和思維能力.基于新課程改革的要求，如何在解題教學中落實學生的核心素養，是每一位教育工作者需要深入思考的問題.在教學中注重數形結合的思想，方程的思想，在對圓錐曲線等解析幾何問題的解答過程中，需要將幾何問題代數化，培養學生的數學應用意識，切實將數學抽象、數學運算、直觀想象等核心素養落到實處.