指對(duì)跨階“同構(gòu)法”求解不等式恒成立問題

楊瑞強(qiáng)

(湖北省黃石市第一中學(xué) 435000)

把一個(gè)等式或不等式通過變形，使左右兩邊結(jié)構(gòu)形式完全相同，可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行處理，找這個(gè)函數(shù)模型的方法就是同構(gòu)法.例如若F(x)≥0能等價(jià)變形為能等價(jià)變形為能等價(jià)變形為f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的單調(diào)性(如遞增)，再轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x).在遇到“指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)”同時(shí)出現(xiàn)的試題時(shí)，我們可考慮采用“同構(gòu)”的方法變形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，從而達(dá)到化難為易，刪繁就簡(jiǎn)的功效.

一、積型aea≤blnb同構(gòu)

三種同構(gòu)途徑：①同左aea≤(lnb)elnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex；②同右ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx；③取對(duì)數(shù)a+lna≤lnb+ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx.

解法1(構(gòu)造同左aea≤(lnb)elnb形式)(kx)ekx≥xlnx?(kx)ekx≥(lnx)elnx.

解法2(構(gòu)造同右ealnea≤blnb形式)(kx)ekx≥xlnx?ekxlnekx≥xlnx.

解法3(取對(duì)數(shù)a+lna≤lnb+ln(lnb)形式)(kx)ekx≥xlnx?kx+ln(kx)≥lnx+ln(lnx).

解析由已知可得a>0.

當(dāng)a≥1時(shí)，不等式左邊小于0，右邊大于0，不等式顯然成立.

三、和差型ea±a≤b±lnb同構(gòu)

兩種同構(gòu)途徑：①同左ea±a≤elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x；②同右ea±lnea≤b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

例3已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析將f(x)≥1按照左右結(jié)構(gòu)相同、變量移至一邊的原則進(jìn)行變形：

由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1，移項(xiàng)得aex-1+lna≥lnx+1，即elna+x-1+lna≥lnx+1，兩邊同時(shí)加(x-1)得elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x，即elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx.

設(shè)g(x)=x+ex，則g′(x)=1+ex>0，所以g(x)單調(diào)遞增，所以lna+x-1≥lnx，即x-lnx+lna-1≥0.

評(píng)析本題先把已知不等式變形為elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx，從而具備ea±a≥elnb±lnb的同構(gòu)形式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+ex，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解結(jié)果，而此處難點(diǎn)在于將原不等式同解變形成左右兩邊具有相同“結(jié)構(gòu)”的不等式.對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，有時(shí)也需要對(duì)兩邊同時(shí)加、乘某式等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子，再根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).

練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=aeax+1-lnx+1，且對(duì)任意x>1，f(x)>0恒成立，則a的取值范圍是( ).

2.若關(guān)于x的不等式ex-alnx≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____.

3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>0，不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.