例談解析幾何中的非對稱問題

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

解析幾何問題主要考查學生的轉化與化歸思想、推理論證能力、運算求解能力，體現了數學運算、邏輯推理等核心素養，其中尤其對于運算求解能力要求較高，因此怎樣計算以及怎樣優化解析幾何的運算是一個很重要的問題，下面我們談談解析幾何中非對稱問題的處理策略.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點M(0,1)的直線l與橢圓C交于不同兩點P,Q(異于頂點)，記橢圓與y軸的兩個交點分別為A1,A2，若直線A1P與A2Q交于點S，證明：點S恒在直線y=4上.

結合目標，消去x得：(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)，此表達式中左右結構不對稱，想要直接運用韋達定理比較困難.對此問題，我們有以下求解策略：

一、利用韋達定理進行齊次化

進一步將(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)整理得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，結合韋達定理知2kx1x2=3(x1+x2)，代入前式可得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2=6(x1+x2)+6x1-2x2=4(3x1+x2)，依題意：3x1+x2≠0，否則此時A1P∥A2Q，故得y=4，即點S恒在直線y=4上.

評注本題的目標很明確，就是要證明交點S的縱坐標為定值，因此首先聯立直線A1P和A2Q的方程，消去x，得到(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，但是此式中的x1,x2不對稱，無法直接運用韋達定理.這里的想法是利用韋達定理得到2kx1x2=3(x1+x2)，其本質是將二次表達式x1x2化為一次表達式x1+x2，從而實現齊次化的目的.

二、利用韋達定理進行消元

三、利用橢圓方程實現對稱化

下面我們給出這類問題的幾個變式題.

(1)求橢圓的方程；

(2)當|AP|=2|PB|，如圖1，求直線l的方程.

圖1