基于函數隱零點問題的導數處理策略

張 慶

(江蘇省徐州市侯集高級中學 221300)

按導函數零點能否求精確解可以分為兩類：一類是數值上能精確求解的，稱之為“顯零點”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的，稱之為“隱零點”.對于隱零點問題，由于涉及靈活的代數變形、整體代換、構造函數、不等式應用等技巧，對學生綜合能力的要求較高，成為考查的難點.

一、分離函數法

例1 已知函數f(x)=ax+xlnx(a∈R).

(1)若函數f(x)在區間[e，+∞)上為增函數，求a的取值范圍；

(2)當a=1且k∈Z時，不等式k(x-1)

解析(1)∵函數f(x)在區間[e，+∞)上為增函數，

∴f′(x)=a+lnx+1≥0在區間[e，+∞)上恒成立，

∴a≥(-lnx-1)max=-2.

∴a≥-2.

∴a的取值范圍是[-2，+∞).

(2)當a=1時，f(x)=x+xlnx，k∈Z時，不等式k(x-1)

令h(x)=x-lnx-2(x>1).

∴h(x)在(1，+∞)上單調遞增，

∵h(3)=1-ln3<0，h(4)=2-2ln2>0，

存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0，

即當1

當x>x0時，h(x)>0，即g′(x)>0，

g(x)在(1，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.

令h(x0)=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2，

k

∴kmax=3.

點評變量分離是數學中最常見的一類求解方法，本例中除了采用分離變量的方法外，還需要通過函數構造進行求解，這類求解方法的好處在于不需要對問題進行分類討論，從而使得對問題的求解更加的簡便.

二、整體代換法

例2 設函數f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)的零點的個數；

當a>0時，方程g(x)=a有一個根，即f′(x)存在唯一零點；

當a≤0時，方程g(x)=a沒有根，即f′(x)沒有零點.

(2)證明由(1)可設f′(x)在(0，+∞)上的唯一零點為x0，當x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當x∈(x0，+∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增，所以[f(x)]min=f(x0).

三、設而不求法

(1)討論f(x)的單調性；

①若f′(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調遞減.

(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個極值點時，當且僅當a>2.

由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2-ax+1=0，

所以不妨設x11.由于

又g(1)=0，從而當x∈(1，+∞)時，g(x)<0.

點評利用導數解決函數問題常與函數單調性的判斷有關，而函數的單調性與其導函數的零點有著緊密的聯系，設而不求的方法一般在圓錐曲線中經常遇到，其實在函數問題中，若遇到函數極值，零點問題時該方法也是處理該問題的一種常見處理方式.