高中數學導數的解題應用

黃龍孫

(江蘇省常州高級中學 213003)

一、利用導數求極值問題

極值問題一般在考察時就是對導數知識進行考核，如果不利用導數進行求解，那么極值問題就會變得十分困難，學生在解題時也會很浪費時間.在導數的應用下，學生可以輕松地判斷出函數圖像的變化趨勢，然后根據一些特殊的點來判斷出極值點，最后解決極值問題.

(1)若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)求函數f(x)的極值.

①當a≤0 時，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函數，所以函數f(x)無極值.

②當a>0時，令f′(x)=0,

得ex=a,即x=lna.

所以當x∈(-∞,lna)時,f′(x)<0

當x∈(lna,+∞)時，f′(x)>0

所以f(x)在(-∞,lna)上單調遞減，在(lna,+∞)上單調遞增，

故f(x)在x=lna處取得極小值，且極小值為f(lna)=lna，無極大值.

綜上所述：

當a≤0 時，函數無極值;

當a>0時，f(x)在x=lna處取得極小值lna，無極大值.

二、利用導數推導函數圖像

圖像是函數學習的難點，它也是學生學習時抽象性最大的問題，很多學生都無法理解圖像的意義，尤其是在推導函數圖像時，像一些高次冪的函數學生根本無法畫出圖像，在導數的幫助下，學生可以計算出圖像的變化規律，從而能夠根據間斷點來大致的區分函數圖像.

例2 設函數f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖像如圖1所示，則導函數y′=f′(x)的圖像可能為( ).

圖1

解析觀察原函數圖像可以得到：當x∈(-∞,0)時，函數f(x)單調遞增,所以能夠判斷出在x∈(-∞,0)時，f′(x)>0,故選項A和C排除，在選項B和D中選擇；根據原函數圖像在(0,+∞)中的單調區間，可以分析出：函數圖像先遞增后遞減，最后又呈遞增趨勢，根據導數幾何意義，可以推導出f′(x)的圖形趨勢為：f′(x)圖像先處于x軸上方，在處于x軸下方，最后又處于x軸上方,根據選項內容可以分析出：選項B錯誤，選項D正確.

三、導數綜合應用題

導數的綜合應用題一般難度都會比較大，但是在如果學生對函數的基本知識有著較高的熟練度，那么這種類型的第一題學生都可以輕松地計算出.對于第二題來說，它就需要學生能夠熟練的應用導數知識點來進行分析，可以正確的進行求導，然后根據題意找到正確的解題思路，從而能夠逐漸的計算出正確的答案，促進學生的正確率.

(1)求年銷售利潤y關于售價x的函數關系式；

(2)求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤.

所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6

(2)先對函數y求導，得：

y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).

令y′=0,得x=2或x=9，根據x的定義域，x=2舍去，顯然，當x∈(6,9)時，y′>0:當x∈(9,11)時，y′<0.

所以函數y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上單調遞增，在(9,11)上單調遞減.

所以當x=9時，y取最大值，且ymax=135,

故當售價為9元時，年利潤最大，并且最大年利潤為135萬元.

總之，導數知識點在高中數學中是非常重要的，教師必須要重視這方面的教學，能夠聯系實際的例題來引導學生進行思考，從而可以讓學生更好的理解導數的知識點，提高在學習時的學習效率.