動點軌跡方程問題的解法探討

趙 林

(江蘇省句容中等專業學校 212400)

動點的軌跡方程是解析幾何的重要知識點，也是高考數學中的常見題型，求動點的軌跡方程需要運用代數、幾何、三角等有關數學知識，本人結合自己的教學實踐，將動點軌跡方程的一般解法歸納如下.

一、直接法

根據題目中的已知條件直接找到動點所滿足的等量關系，從而寫出含有變量x,y的等式，這種求軌跡方程的方法叫做直接法.

例1已知動點P到直線x=4的距離是它到點Q(1,0)的距離的2倍，求動點P的軌跡方程.

變式1已知動點P與平面上兩定點A(-2,0),B(2,0)連線的斜率的積為4.求動點P的軌跡方程.

圖1

變式2在△ABC中，已知點B(-3,0)和C(3,0)，動點A滿足∠ACB=2∠ABC，求動點A的軌跡方程.

點評這一類題目比較簡單，可以直接根據題目中的等量關系寫出含有x,y的等式，然后兩邊再進行化簡，就能得到所求動點的軌跡方程.

二、定義法

若動點的軌跡符合我們所學過某種已知曲線的定義，則可以利用曲線的定義寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法.

例2已知圓P經過點N(2,0)，且與圓M：(x+2)2+y2=36相內切，求圓心P的軌跡方程.

圖2

變式1若點M到點F(2,0)的距離比它到直線x=-3的距離小1，求點M的軌跡方程.

點評有些軌跡方程用直接法來做計算比較繁瑣，可根據條件推導出動點的軌跡是所學過的已知曲線，這樣就可以把軌跡問題轉化為求曲線方程的問題.

三、幾何法

根據平面幾何的有關定理和性質推出動點所滿足的等量關系，然后寫出其軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做幾何法.

例3已知圓C：x2+y2+4x-12y+24=0，過點P(0,5)的直線與圓C交于M、N兩點，求弦MN中點D的軌跡方程.

圖3

圖4

變式2已知圓O：x2+y2=16與x軸的正半軸交于P點，過點P作圓O的切線l，在l上任取一點A，AB切圓O于點B，求ΔPAB的垂心的軌跡方程.

解設OA交PB于點Q，作BC⊥PA于點C，交OA于點G，則點G為△PAB的垂心.由切線長定理得：AB=AP，且OA垂直平分PB，由此得到GB=GP，∵OP∥BC，∴∠OPB=∠GBP=∠GPB，可以證明：Rt△OPQ≌Rt△GPQ，∴GP=OP=4，∵點P的坐標是(4,0)，所以△PAB的垂心的軌跡方程是(x-4)2+y2=16(與x軸交點除外).

點評用幾何法來求動點的軌跡方程需要畫圖來進行觀察和思考，經過推理和證明找到題目中動點所隱藏的等量關系，這樣就可以避免一些復雜的計算.

四、代入法

若動點P與已知曲線上的動點Q存在著某種關系，則可以把點Q的坐標用點P的坐標來表示，然后代入曲線的方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法.

例4已知點A在圓x2+y2=9上，點B的坐標是(6,0)，點P分AB之比為2∶1，求點P的軌跡方程.

圖5

變式2過雙曲線x2-y2=4上一點A作直線l：x+y=4的垂線，垂足為點B，求線段AB的中點M的軌跡方程.

點評若動點P所滿足的條件難以表達或求出，但卻隨著已知曲線上另一動點Q作有規律的運動，這時可以利用點P和點Q坐標之間的關系，求出動點P的軌跡方程.

五、參數法

有些題目可以借助參數，找到動點坐標x,y之間的等量關系，再從得到的等式中消去參數，就能得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數法.

變式1已知圓C：x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-m-3=0，求圓心C的軌跡方程

圖5

點評有些動點坐標x,y之間的關系不太容易發現，也很難判斷動點符合某種已知曲線的定義，這時就可以引入參數，建立x,y之間的等式，從而使問題得到解決.