端點效應解題舉隅

蔣滿林

(福建省古田縣第一中學 352200)

導數含參數恒成立問題的常用方法是字母討論、分離參數等，但對于分類討論往往比較繁雜而半途而廢，分離參數對于分離函數的導數很難把握.利用端點函數值的特殊性，先得到必要條件，再證充分性，因其思路簡潔方法實效，我們把它稱為端點效應，下面以例示之，與大家交流.

一、端點效應

1.連續型端點效應

例1(2017全國Ⅱ文21)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)略；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析(2)令g(x)=(1-x2)ex-ax-1(x≥0)，g′(x)=(1-x2-x)ex-a，由于g(0)=0，

所以必有g′(0)=1-a≤0，可得a≥1(必要條件)，下面去證明a≥1滿足題意(充分性證明).

當a≥1時，g′(x)=(1-x2-x)ex-a≤(1-x2-x)ex-1，記h(x)=(1-x2-x)ex-1(x≥0)，h′(x)=(-x2-4x-1)ex<0，所以g′(x)≤0，g(x)在[0,+∞)上單調遞減，g(x)≤g(0)=0.

綜上所述，a的取值范圍為[1,+∞).

評注所求參數為連續實數的端點效應我們稱之為連續型端點效應，連續型端點效應的解題步驟.

(1)取端點或特殊點的函數值；

(2)求出滿足參數的必要條件；

(3)證明參數范圍滿足充分條件.

2016年全國Ⅱ文20題等，也可以用此法解答.

2.離散型端點效應

下面去證k=3 滿足題意(充分性證明).

當k=3時，g(x)=(x+1)[ln(x+1)-3x+1](x>0)，g′(x)=ln(x+1)-1(x>0)，令g′(x)=0，得x=e-1，g(x)在(0,e-1)上單調遞減，在(e-1,+∞)上單調遞增，g(x)≥g(e-1)=2e-3(e-1)=3-e>0.

綜上所述，k=3滿足題意.

評注所求參數為整數的端點效應我們稱之為離散型端點效應，離散型端點效應的解題步驟.

(1)取端點或端點附近的特殊點如f(1),f(2),f(e)等；

(2)求出滿足參數最值整數的必要條件；

(3)證明參數的最值整數滿足充分條件.

其中離散型端點效應，端點選點不唯一，只要便于計算又能確定參數整數的必要條件均可.

3.二階型端點效應

例3已知a∈R，函數f(x)=ex-ex-a(xlnx-x+1)的導函數為g(x).

(1)略；(2)略；

(3)若x≥1時，f(x)≥0恒成立，求a的最大值.

評注原函數與一階導函數均應用端點效應，我們稱之為二階型端點效應，二階型端點效應的解題步驟.

(1)原函數端點函數值為0；

(2)一階導函數端點函數值為0；

(3)取二階導函數端點或特殊點的函數值，求出滿足參數的必要條件；

(4)證明參數范圍滿足充分條件.

二、變式訓練

例1 (2020年3月廈門市質檢理21題)已知函數f(x)=aex+2e-x+(a-2)x(a∈R，e是自然對數的底數).

(1)略；

(2)當x≥0時，求f(x)≥(a+2)cosx，求a的取值范圍.

解析(連續型端點效應)記g(x)=f(x)-(a+2)cosx=aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx(x≥0)，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx(x≥0)，由g(0)=a+2-(a+2)=0,g′(0)=a-2+a-2≥0，得a≥2(必要性)，下證，a≥2成立(充分性).當a≥2時，x∈[0,π]時，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(ex-e-x)+(a-2)+(a+2)sinx≥0，g(x)≥g(0)=0，成立；當a≥2時，x∈[π,+∞)時，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(eπ-e-π)+(a-2)-(a+2)=2eπ-2e-π-4>0.

綜上所述，a≥2成立.

注：導函數中含有三角函數sinx，對x∈[0,π]與x∈[π,+∞)進行分段討論，這種對三角函數取值進行討論是近年考試的熱點，要引起大家的關注.

(1)略；

(2)若關于x的不等式F(x)≤mx-1 恒成立，求整數m的最小值.

注：離散型端點效應，端點選點不唯一，如選h(e)≤0也可以.

例3 若關于x的不等式ax2ex+xex+1≥ex在區間[0,+∞)上恒成立,求實數a的取值范圍.

注對所證不等式ax2ex+xex+1≥ex進行適度變形，轉化為等價的不等式，便于求導與計算，也是對導數證明試題的一種常用技能，平時應加強導數不等式等價變形的訓練.