圓錐曲線綜合題的解題分析與優(yōu)化運(yùn)算

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

圓錐曲線綜合題涉及知識點(diǎn)多，對邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高，許多學(xué)生對含參代數(shù)式的運(yùn)算缺乏預(yù)判，盲目機(jī)械地運(yùn)算，算理存在理解上的偏差.如何從題目中的一些已知條件突破，將結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，尋找到最簡便的解題思路和技巧呢？

一、強(qiáng)化邏輯推理

充分理解圓錐曲線圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從揭示幾何規(guī)律入手，以幾何推理為基礎(chǔ)，借助幾何直觀，建立條件與結(jié)論之間可操作的算法，形成解題的思維路線圖，通過數(shù)值的合理運(yùn)算探尋到量的關(guān)系，從而突破求解.

1.從結(jié)論著手，執(zhí)果索因

探索結(jié)論成立所滿足的條件，即結(jié)論成立意味著什么，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，還可以得出什么，結(jié)論與條件之間又有怎樣的聯(lián)系，轉(zhuǎn)變?yōu)閷で笞兞恐g的關(guān)系，通過邏輯推理找到問題的切入點(diǎn)，把結(jié)論和已知條件逐步接近.

(1)求m的值；

分析(1)m=8；

圖1

2.從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?/p>

準(zhǔn)確把握條件中的信息，即條件意味著什么，這些條件通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，還可以得出什么，幾個(gè)條件之間又有怎樣的聯(lián)系，多角度地用代數(shù)運(yùn)算刻畫幾何關(guān)系，通過邏輯推理有效提煉整合解題信息.

圓錐曲線綜合題解題思路的構(gòu)建，一定要引導(dǎo)學(xué)生分析不同表征形式的特點(diǎn)和它們之間的聯(lián)系，將條件或結(jié)論中的幾何特征(線段長度、面積、角、斜率)轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式，而轉(zhuǎn)化需要全方位、多角度地理解相關(guān)知識，更需要強(qiáng)化邏輯推理，提高一類問題的可辨別性和穩(wěn)定性.

幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，具體來說轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，直線AB與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，等價(jià)于OA⊥OB，坐標(biāo)表示為x1x2+y1y2=0；遇到A，B，M三點(diǎn)共線，等價(jià)于kMA=kMB；共線線段比例問題，通過向量坐標(biāo)表示出共線成比例的關(guān)系，找到參量的關(guān)系式；共線線段乘積問題，利用弦長公式或直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義；遇到三角形面積的計(jì)算，高用點(diǎn)到直線的距離公式表示，底用弦長公式表示，盡量將底選在坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的直線上；四邊形面積的計(jì)算，可分割成兩個(gè)三角形,特殊的四邊形，如對角線互相垂直或菱形，可以轉(zhuǎn)化成對角線乘積的一半，再用弦長公式.積累常見幾何特征代數(shù)化方法，無疑可化解入手難的障礙.

二、優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

學(xué)生對運(yùn)算能力的重要性認(rèn)識不夠，遇到計(jì)算復(fù)雜的問題，心理脆弱，不敢算、也不愿意去算，選取的方法不得當(dāng)，會導(dǎo)致計(jì)算過程復(fù)雜，數(shù)學(xué)運(yùn)算一定要明確算什么，怎么算，掌握一些計(jì)算技巧，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力.

1.數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問題，但是解析幾何歸根結(jié)底解決的是幾何問題，借助形的幾何直觀來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，不但可以拓寬解題思路，而且還能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡化解題過程.

圖2

圓錐曲線的定義不僅是推導(dǎo)圓錐曲線方程及性質(zhì)的基礎(chǔ),而且也是解題的重要工具,可以使復(fù)雜的問題簡單化，提高解題效率.

3.二級結(jié)論，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

總之，“一帶一路”沿線涉及的相關(guān)國際標(biāo)準(zhǔn)組織、區(qū)域標(biāo)準(zhǔn)組織和國家相關(guān)部門越來越重視標(biāo)準(zhǔn)化工作，近年來開展的標(biāo)準(zhǔn)化工作逐漸增多，標(biāo)準(zhǔn)更新越來越頻繁，標(biāo)準(zhǔn)機(jī)構(gòu)越來越多且他們之間的分工也越來越明確，合作越來越深入，標(biāo)準(zhǔn)涉益方遍及各個(gè)相關(guān)領(lǐng)域，標(biāo)準(zhǔn)已成為沿線國家和地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的根本支撐。

圓錐曲線的二級結(jié)論很多，靈活運(yùn)用一些簡單的結(jié)論，如圓錐曲線中的垂徑定理，拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)等，一方面可以提高分析推理能力, 另一方面可以減少運(yùn)算步驟，使解題思路簡明，更加合理化.

例5 (2014年全國新課標(biāo)Ⅱ卷理)設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ΔOAB的面積為( ).

4.平面幾何，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

解析幾何的本質(zhì)特性是“幾何性”，要善于捕捉曲線的幾何特征，靈活應(yīng)用平面幾何的性質(zhì),如三角形的中位線性質(zhì)、內(nèi)角平分線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)定理等，不僅能簡化運(yùn)算，還能充分感受到平面幾何的魅力，收到事半功倍的效果.

圖3

圖4

5.點(diǎn)乘雙根，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

所以直線AB的方程為y=x+7.

許多學(xué)生解決圓錐曲線綜合問題信心不足，其中很重要的原因是對問題無從著手，對繁雜的計(jì)算恐懼，幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，是坐標(biāo)法實(shí)施的關(guān)鍵，應(yīng)成為圓錐曲線學(xué)習(xí)必備的解題經(jīng)驗(yàn).課堂教學(xué)中普遍重視解題策略的尋找，輕視計(jì)算的做法要改變，計(jì)算的重要環(huán)節(jié)必須得到充分訓(xùn)練，讓學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到相應(yīng)提升，實(shí)現(xiàn)圓錐曲線綜合問題的有效突破.