核心素養視角下一道橢圓試題的探究

羅文軍

(甘肅省秦安縣第二中學 741600)

以直線與圓錐曲線的位置關系為背景考查三角形面積問題和定值問題是近幾年高考和各類模考試題中的熱點題型，這類試題可以很好地考查數形結合思想、分類討論思想和函數與方程思想，可以很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力等關鍵能力，可以很好地考查數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學學科核心素養.下面選取了一道關于橢圓內接三角形面積和定值問題的模考試題進行解法探究和拓展探究.

一、題目呈現

(1)求橢圓方程；

這道試題第(1)問考查了橢圓的幾何性質，第(2)問考查了橢圓的內接三角形面積和向量的綜合應用.

二、題目解析

1.第(1)問解析

評注根據橢圓的長軸長和離心率的定義，將已知條件代入解出長半軸長和半焦距的值，再根據b2=a2-c2解出b2值，從而得出橢圓標準方程.

2.第(2)問解析

評注根據中點坐標公式和向量的坐標運算表示出點C的坐標，把AB看成△ABC的底邊，再分直線AB斜率不存在和存在兩種情況計算△ABC的面積，特別地，當直線AB斜率存在時，聯立直線AB和橢圓方程，表示出兩根之和與兩根之積，表示出弦長|AB|和點C的坐標，再運用整體代換的思想可求出△ABC的面積.

三、題目拓展

本文從多視角對例題進行多解探究，在習題教學實踐中這樣做有利于啟發學生運用發散思維思考問題，為學生學會解題方法提供多樣化選擇，也有利于培育學生的創新意識和科學探索精神，有利于促進學生深度學習，有利于發揮模考題的最大功效，激發學生的學習興趣，打破題海戰術形成的思維定勢.通過對這道圓錐曲線的多解探究，也提升了學生的數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學學科核心素養.