高中數學辯證思維賞析

武 婷

(四川師范大學附屬中學 610066)

數學與哲學是兩門獨立的學科,同時又是兩門聯系緊密的學科.正如數學家Demollins所指出的那樣：“沒有數學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數學的深度；若沒有二者，人們就什么也看不透.”恩格斯也指出：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數.有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，……”.在《普通高中數學課程標準(2017年版)》修訂的基本原則中也要求：“堅持正確的政治方向……充分體現馬克思主義的指導地位和基本立場……”.課程標準全書的表述中也滲透了辯證法的很多觀點，比如：具體與抽象、一般與特殊、現象與本質以及普遍聯系的觀點等等，所以在高中數學的教學中，教師要結合數學學科的特點潛移默化的給學生滲透辯證法的基本思想，堅持用“辯證觀點分析和解決數學問題”，逐步培養高中學生運用辯證思維解決數學問題的能力.

一、對立統一規律

對立統一規律是唯物辯證法的三大規律之一.根據對立統一規律，矛盾雙方既相互依賴，又相互排斥,并在一定條件下可以相互轉化.在笛卡爾之前的數學，“數”與“形”就是一對矛盾.數學家華羅庚說過：“數缺少形時少直觀，形缺少數時難入微”.數形結合的解題方法就是對立統一的辯證思維在解題中的具體體現.

以形助數，可以充分利用形的直觀性來揭示數學問題的本質屬性；以數輔形，有助于尋找運動規律.數形結合，促成矛盾雙方順利轉化，創造條件使對立雙方達到統一，從而培養學生對立統一觀點.

二、量變質變規律

唯物辯證法認為：量變是質變的必要準備，沒有一定的量變,就不會發生質變.質變是量變的必然結果，單純的量變不會永遠持續下去,量變達到一定的程度必然引起質變.

例2 已知動點P與兩個定點A(0,0),B(3,0)的距離比為k，求動點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

當k=0,P點軌跡退縮為點A；

本題的數學背景就是著名的阿波羅尼斯圓：設A,B是平面內兩個定點，平面內的動點C到點A的距離與到點B的距離比為定值λ(λ>0且λ≠1)，則點C的軌跡為圓.在對k的分析中，我們充分體現了辨證法中由量變到質變的過程.

三、否定之否定規律

否定之否定規律表明事物自身發展的整個過程是由肯定、否定和否定之否定諸環節構成的，揭示了事物發展的全過程和總趨勢.事物都有肯定方面和否定方面，當肯定方面居于主導地位時，事物保持現有的性質、特征和傾向，當事物內部的否定方面戰勝肯定方面時，舊事物就需要轉化為新事物.

高中數學的解題思想中有一種叫“補集思想”，也就是“正難則反”，充分反映了否定之否定的辯證思想.有些問題如果從正面入手，情況復雜，毫無頭緒，若從問題的反面去想，有可能“峰回路轉，柳暗花明”，所以掌握正與反的辯證思想它可以幫助學生從不同的側面去思考問題，進而解決問題.

例3已知直線l過定點P(3,0)且斜率為k，試求k的取值范圍使得曲線C：y=x2的所有弦都不能被直線l垂直平分.

分析要使得曲線C的所有弦都不能被直線l垂直平分，正面考慮就得分三種情況：

l與C沒有交點；

l與C雖然有交點但曲線C的所有弦都與l不垂直；

l與C的弦垂直但中點不在l上.

顯然要找出滿足條件的斜率正面入手相當困難，那我們不妨從反面考慮，問題轉化為曲線C中至少有一條弦能被直線l垂直平分的斜率范圍，然后再取補集得解.解答如下：

四、普遍聯系的觀點

事物的聯系具有普遍性，任何事物或現象之間以及事物的內部要素之間都是相互影響，相互依賴，相互作用的.唯物辯證法要求我們用普遍聯系的觀點看問題.

五、矛盾分析的方法

1.運動與靜止

在辯證唯物主義的自然觀中，運動是絕對的，靜止是相對的.“運動”是一個具有普遍意義的范疇.恩格斯是這樣描述的：“運動”，就一般的意義來說，就它被理解為存在的方式，被理解為物質固有的屬性來說，它包括宇宙中發生的一切變化和過程，從單純的位置移動起直到思維活動.動中有靜、靜中有動.“動”與“靜”在一定條件下可以相互轉化.

在解析幾何的教學中理應積極滲透運動變化的思想，有目的、有計劃地展現數學對象運動的基本過程，揭示數學對象運動變化的本質和規律，以利于培養學生唯物主義世界觀、掌握科學的辯證思維方法，提高分析問題和解決問題的能力.

例4教材上的一道例題：已知圓O:x2+y2=r2，求經過圓O上一點P(x0,y0)的切線方程.

賞析這條切線是確定的、靜止的，如何化靜為動呢？我們會以點P(x0,y0)為圓心作一個半徑為ε的充分小的圓，使它與圓O相交于A,B兩點，則圓P的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=ε2，兩圓方程作差即可求出相交弦AB:2x0x+2y0y=2r2-ε2，現在令ε不斷變小趨近于0時，直線AB就與過點P的切線重合，可得方程：x0x+y0y=r2.

本題運用割線逼近思想求切線，化靜為動，把某些靜態問題轉化為動態研究，達到化靜為動，動中求靜的目的.

2.共性與個性

3.整體與局部

整體與局部既相互區別又相互聯系.整體居于主導地位，統率著局部，二者不可分割又相互影響.解決高中數學問題時我們既要立足整體，統籌全局，又要把握好局部，通過對用局部的研究去推動對的整體的研究.此所謂“滴水反映出太陽的光輝！”

顯然上述第二個方法通過對漸近線方程的整體把握，大大降低了運算量，教師在教學當中應向學生滲透整體與局部的辯證思想，讓學生樹立整體觀念、全局思想，從整體出發，在整體上選擇最佳方案，實現最優目標但同時也要搞好局部，使整體功能得到最大發揮.

4.現象與本質

本質與現象是揭示事物內部聯系和外部表現相互關系的一對辯證法的基本范疇.本質是事物的內部聯系，是決定事物性質和發展趨向的東西；現象是事物的外部聯系，是本質在各方面的外部表現.本質與現象是對立統一的關系.在高中數學解題中我們一定要善于透過現象看清本質.

例6已知圓M:x2+(y-3)2=1，直線l:x-2y=0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.求證：經過A,P,M三點的圓必過定點.

圖4

我們發現通過對圓上定點的分析，我們挖掘了圓與直線的位置關系以及圓中直徑所對的圓周角為直角的本質快速的找到了定點，透過現象看動圓過定點問題的本質，理解就更深入了.

唯物辯證法是辯證思想發展的高級形態，在高中數學的教學實踐中，教師如果能夠充分挖掘其中的辯證思維素材，有效的指導學生進行辯證思維，必將大大促進學生對數學知識的理解，提升學生看待問題的觀點和分析問題、處理問題的能力，也必將提高他們的思維品質和科學素養！