一道橢圓方程題的求解思考

曹曉琰

(江蘇省南京市中華中學 210019)

一、問題呈現

圖1

二、問題分析

三、破解方向

點評根據條件可知PO為線段F1F2的中線，而與中線密切聯系的就是平面向量知識，借助平面向量的線性運算、數量積等，就可以非常有效地構建起與中線有關的關系式，從而得以巧妙破解.

點評根據條件可知PO為線段F1F2的中線，把問題放在△PF1F2中來處理，其實質就是解三角形問題，借助三角形的性質，通過三邊以及中線PO的條件，可以利用在兩個不同三角形中同角的余弦值相等，或是兩個不同三角形中互補角的余弦值互為相反數來建立有關的關系式，從而得以巧妙破解.

圖2

①

②

③

點評根據條件可知PO為線段F1F2的中線，又由|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，涉及|PF1|與|PF2|的長度問題，可以考慮利用橢圓的幾何性質，結合焦半徑公式(|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0)加以轉化，再結合題目相關條件建立有關的關系式，從而得以巧妙破解.

其實，在實際求解橢圓的標準方程中，一定要充分抓住橢圓的幾何性質，根據具體情況選取比較合適的求解方法加以處理，有時也結合橢圓的幾何性質、平面幾何性質、平面向量、三角函數、解三角形、直線與圓等相關知識加以融合與交匯，利用相交知識的轉化與應用來綜合處理相應的方程問題.