考慮主平面夾角的行星滾柱絲杠副接觸特性

陳 中，鄭繼貴，侍 威，張兆晶，何理論

（北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京，100076）

0 引 言

行星滾柱絲杠副（Planetary Roller Screw Mechanism，PRSM）作為將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線運(yùn)動(dòng)的重要傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有高承載、高精度、高壽命的優(yōu)異性能，已經(jīng)在精密數(shù)控設(shè)備、光學(xué)測(cè)量?jī)x器、航空航天、武器裝備等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1,2]。PRSM在傳動(dòng)過程中通過螺紋曲面相互接觸來傳遞載荷，特別對(duì)于滾柱和絲杠接觸側(cè)，由于絲杠的螺旋升角和滾柱不一致，使得兩者之間的接觸更為復(fù)雜，而接觸區(qū)域的精確求解對(duì)于后續(xù)接觸特性分析具有重要意義。

目前，一些學(xué)者針對(duì)PRSM的接觸特性開展研究，Wang Shuiming等[3]通過建立接觸匹配方程對(duì)接觸點(diǎn)的位置進(jìn)行精確求解，并研究了零件的輪廓誤差對(duì)接觸特性的影響規(guī)律。關(guān)于PRSM接觸區(qū)域的求解多采用等效球法來計(jì)算主曲率，劉艷強(qiáng)等[4]基于等效球法求解了PRSM的接觸參數(shù)，并研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)接觸變形及應(yīng)力分布的影響規(guī)律。然而，等效球法計(jì)算主曲率存在較大偏差，因而部分學(xué)者引入微分幾何原理來計(jì)算主曲率。Jones等[5]通過建立Frenet坐標(biāo)系推導(dǎo)出PRSM各零件螺紋曲面方程，求解了接觸點(diǎn)的位置以及主曲率。Sebastian Sandu等[6,7]建立了螺紋法截面輪廓的螺旋曲面方程，并基于微分幾何原理對(duì)主曲率以及接觸橢圓的位置和形狀展開了研究。喬冠等[8]基于螺紋滾道法截面輪廓，建立了PRSM各零件螺紋曲面統(tǒng)一方程，求解了接觸點(diǎn)處的主曲率，同時(shí)引入主曲率和與主曲率差對(duì)接觸特性進(jìn)行分析。綜上所述，利用微分幾何原理的方法可以更準(zhǔn)確計(jì)算出主曲率，但現(xiàn)有研究在求解時(shí)都有所簡(jiǎn)化，認(rèn)為接觸體之間的主平面相互重合，這在簡(jiǎn)化計(jì)算的同時(shí)也會(huì)帶來偏差。

本文以標(biāo)準(zhǔn)式PRSM為研究對(duì)象，結(jié)構(gòu)如圖1所示。針對(duì)PRSM的傳動(dòng)特點(diǎn)，基于微分幾何原理計(jì)算出主平面夾角，進(jìn)而精確求解接觸橢圓的形狀，并與現(xiàn)有研究的簡(jiǎn)化方法進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)研究了主平面夾角對(duì)接觸特性的影響規(guī)律。

圖1 PRSM結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure Drawing of PRSM

1 主曲率及主方向

滾柱絲杠側(cè)和滾柱螺母?jìng)?cè)的接觸可看做兩空間曲面之間的彈性接觸，而主曲率以及主方向的求解是PRSM接觸特性分析的基礎(chǔ)。以絲杠、滾柱和螺母的軸線為zi軸，xi軸經(jīng)過螺紋起始點(diǎn)，分別建立各零件的坐標(biāo)系，螺紋曲面上任意點(diǎn)空間坐標(biāo)可表示為(rpi,θpi,zi)，下標(biāo)i=s,r,n，分別表示絲杠、滾柱和螺母，如圖2所示。

圖2 零件坐標(biāo)系Fig.2 Part Coordinate System

依據(jù)螺紋法截面輪廓可建立PRSM零件螺旋曲面統(tǒng)一方程[8]：

式中ξ可取-1和1，分別表示上曲面和下曲面；h(rpi)為各零件在法截面的輪廓方程；li和λi分別為零件的導(dǎo)程和螺旋升角。

螺旋曲面參數(shù)方程可表示為

零件輪廓曲面的單位法向量可表示為

基于微分幾何理論[9]，可依據(jù)零件曲面的參數(shù)方程求得曲面在任意一點(diǎn)的主曲率及主方向。螺旋曲面的第1類基本量E、F、G和第2類基本量L、M、N的計(jì)算公式如下：

式中fr和fθ為一階導(dǎo)數(shù)；frr，frθ和fθθ為二階導(dǎo)數(shù)。

曲面上任意一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率可用κ1和κ2表示。

式中H為平均曲率；K為高斯曲率。

主方向用dr:dθ表示，滿足下列等式：

這是關(guān)于dr:dθ的二次方程，可解得主方向：

將主方向轉(zhuǎn)化為零件的笛卡爾坐標(biāo)系中的矢量為

2 主平面夾角

主方向與接觸點(diǎn)處的法向量相互垂直，兩者共同組成主平面。由式（12）計(jì)算可得到各零件坐標(biāo)系下接觸點(diǎn)處的主方向，通過建立全局坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)變換關(guān)系可求得兩主平面夾角。由于主平面夾角不受主方向矢量的位置影響，因此只需對(duì)各零件在接觸點(diǎn)處的主方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換即可。本文選取全局坐標(biāo)系和絲杠坐標(biāo)系重合，為確保螺紋能夠正確接觸，建立如圖3所示的坐標(biāo)系。

圖3 正確接觸時(shí)坐標(biāo)系示意（xOy平面）Fig.3 Schematic Diagram of Coordinate System in Correct Contact (xOy Plane)

以5頭螺紋的絲杠為例，其他頭數(shù)推導(dǎo)過程類似。假設(shè)絲杠側(cè)接觸點(diǎn)在理論中徑所在螺旋線上，選取絲杠和螺母的某一頭螺紋，當(dāng)絲杠在角度為αs位置上與某一滾柱接觸時(shí)（αi為接觸點(diǎn)角度，即接觸點(diǎn)相對(duì)xi軸轉(zhuǎn)過的角度，用弧度制表示，i=s,rs,rn,n ，分別表示絲杠、滾柱在絲杠側(cè)、滾柱在螺母?jìng)?cè)以及螺母處的接觸點(diǎn)），絲杠側(cè)接觸點(diǎn)相對(duì)螺紋起始點(diǎn)高度：

式中p為螺距。

為保證滾柱與絲杠的準(zhǔn)確接觸，滾柱與絲杠在該點(diǎn)處的高度應(yīng)該相等，即：

αrs=5αs，此時(shí)滾柱在滾柱螺母?jìng)?cè)的接觸點(diǎn)角度為

同理，滾柱螺母?jìng)?cè)接觸點(diǎn)處應(yīng)滿足：

計(jì)算得到螺母接觸點(diǎn)角度為

上述每個(gè)零件的曲面方程所建立的曲面坐標(biāo)系是相互獨(dú)立的，且都是基于全局坐標(biāo)系xyz（見圖4）。

圖4 曲面方程確定的零件坐標(biāo)系（xOy平面）Fig.4 Part Coordinate System Determined by Surface Equation (xOy Plane)

因此，為達(dá)到圖3所示的接觸狀態(tài)，需要對(duì)此時(shí)的零件坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)變換。由圖2可知，全局坐標(biāo)系變換到滾柱坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度為

則滾柱的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

全局坐標(biāo)系變換到螺母坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度為

因此，螺母的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

對(duì)于滾柱絲杠側(cè)，由式（12），可以得到絲杠和滾柱的主方向，設(shè)為ts1、ts2、trs1和trs2，對(duì)應(yīng)的單位法向量為ns和nrs，則全局坐標(biāo)系下絲杠兩主平面可表示為[ts1;ns]和[ts2;ns]，滾柱兩主平面為[kr?trs1;kr?nrs]和[kr?ts2;kr?nrs]，利用matlab軟件，即可求得絲杠側(cè)兩接觸零件之間主平面的夾角ωs，同理可計(jì)算得到螺母?jìng)?cè)主平面夾角ωn。

3 Hertz接觸特性分析

依據(jù)Hertz接觸理論，兩點(diǎn)接觸的彈性體在受到外加載荷的情況下，接觸點(diǎn)處發(fā)生彈性變形變?yōu)闄E圓區(qū)域。兩接觸體點(diǎn)接觸一般情況如圖5所示，其中R11表示物體1在主平面1內(nèi)的曲率半徑，第1個(gè)下標(biāo)表示接觸體代號(hào)，第2個(gè)下標(biāo)表示主平面代號(hào)[10]。

圖5 兩接觸體點(diǎn)接觸一般情況Fig.5 General Situation of Point Contact between Two ContactBodies

接觸橢圓長短半軸計(jì)算公式分別為

式中Q為法向接觸載荷；E，μ分別為材料的彈性模量和泊松比；ma，mb分別為橢圓長短軸系數(shù)；為主曲率和。計(jì)算公式如下：

式中e為橢圓偏心率。

主曲率函數(shù)滿足下列等式：

式中k為橢圓短半軸和長半軸之比；K(e)，L(e)分別表示第1類和第2類完全橢圓積分。

依據(jù)式（22）~（26）即可求得橢圓偏心率e。

4 算 例

本文采用PRSM的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 PRSM基本參數(shù)Tab.1 Basic Parameters of PMSM

依據(jù)表1中的基本參數(shù)，利用Matlab軟件繪制螺旋曲面如圖6所示。由圖6可看出在滾柱絲杠接觸側(cè)存在明顯干涉，導(dǎo)致在名義中徑處主平面[ts1;ns]和[kr?trs1;kr?nrs]的夾角與主平面[ts2;ns]和[kr?ts2;kr?nrs]的夾角不一致，因此取兩夾角的均值來近似表示滾柱絲杠側(cè)的主平面夾角。

ω=0的簡(jiǎn)化計(jì)算與本文的計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表2所示。利用matlab軟件，計(jì)算出接觸點(diǎn)角度αs?[0,2π]時(shí)滾柱絲杠側(cè)與滾柱螺母?jìng)?cè)主平面之間的夾角ωs和ωn，變化曲線如圖7所示，可以看出，滾柱在任意接觸位置絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)主平面之間的夾角保持不變。

圖6 各零件曲面Fig.6 Contact Surface Diagram of Each Part

表2 兩種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of Calculation Results of Two Methods

圖7 不同接觸位置主平面夾角Fig.7 The Principal Plane Angel at Different Contact Positions

螺距和牙型半角對(duì)絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)主平面夾角的影響如圖8所示，星號(hào)標(biāo)出數(shù)據(jù)為絲杠直徑ds=30 mm情況下Rollvis行星滾柱絲杠副RV系列產(chǎn)品所使用螺距的計(jì)算結(jié)果。可以看出，絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)主平面夾角隨螺距的增大而增大，呈現(xiàn)出近似線性關(guān)系。并且在螺距較大時(shí)，絲杠側(cè)夾角增速放緩，使得兩者夾角的偏差增大。而隨螺紋牙型半角的增大，主平面夾角減小，且螺母?jìng)?cè)減小的速度更快。

橢圓偏心率e的取值范圍為[0,1]，e越大，橢圓越扁。圖9和圖10分別為絲杠側(cè)、螺母?jìng)?cè)螺距和牙型半角對(duì)偏心率的影響曲線。在考慮主平面夾角的情況下，接觸橢圓的偏心率并不是隨螺距和牙型半角線性變化的，而是波動(dòng)改變的，但絲杠側(cè)橢圓偏心率相較于ω=0時(shí)普遍偏大，而螺母?jìng)?cè)則呈現(xiàn)出普遍偏小的趨勢(shì)，且兩種方法螺距隨偏心率的最大計(jì)算偏差能達(dá)到8.7%，牙型半角隨偏心率的最大計(jì)算偏差能達(dá)到7.2%。

圖8 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)主平面夾角的影響Fig.8 Influence of Structural Parameters on Angle between Principal Planes

圖9 螺距對(duì)偏心率的影響Fig.9 Influence of Pitch on Eccentricity

圖10 牙型半角對(duì)偏心率的影響Fig.10 Influence of Half Angle of Tooth Profile on Eccentricity

圖11為是否考慮主平面夾角影響兩種情況下滾柱絲杠側(cè)和滾柱螺母?jìng)?cè)接觸橢圓面積隨接觸載荷的變化規(guī)律。可以看出，隨接觸載荷的增大，接觸橢圓面積將會(huì)增大，但增大的速度會(huì)逐漸變小，同時(shí)可以看出是否考慮主平面夾角對(duì)接觸橢圓面積的影響較小。

圖11 接觸載荷對(duì)橢圓面積的影響Fig.11 Influence of Contact Load on Ellipse Area

5 結(jié) 論

本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)式PRSM，基于微分幾何原理，計(jì)算出接觸點(diǎn)處主平面夾角，比較分析了是否考慮主平面夾角兩種方法計(jì)算結(jié)果，研究了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)主平面夾角以及接觸特性的影響規(guī)律，結(jié)論如下：

a）絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)主平面夾角與滾柱所在位置無關(guān)，在整個(gè)接觸過程中接觸側(cè)主平面夾角保持不變；

b）在考慮主平面夾角的情況下，螺紋螺距和牙型半角對(duì)橢圓偏心率的影響并不是線性關(guān)系，而是波動(dòng)變化的，且絲杠側(cè)計(jì)算值整體比忽略夾角情況下偏大，而螺母?jìng)?cè)整體偏小；

c）在加載條件下，考慮主平面夾角時(shí)絲杠側(cè)接觸面積變大，螺母?jìng)?cè)接觸面積變小，但影響程度較小。