2011年泰州中考數學第28題解析

張美娟 焦建林

(江蘇省泰興市洋思中學 225400)

一、原題呈現

2011年泰州中考第28題：在平面直角坐標系xOy中，邊長為a(a為大于0的常數)的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O)，頂點C、D都在第一象限.

(1)當∠BAO=45°時，求點P的坐標；

(2)求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；

(3)設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由.

二、試題分析

這試題來源于蘇科版教材八年級(下)第95頁的第22題：如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉，在這個過程中，這兩個正方形的重疊部分的面積會發生變化嗎？

該試題保留了原來的正方形ABCD，并把正方形ABCD放置到平面直角坐標系中，然后讓正方形ABCD的頂點A和頂點B分別在坐標軸上運動，保持邊長不變．

重點考查點的坐標、勾股定理、全等三角形、三角形的中位線、角平分線定理的逆定理、等弧所對的圓心角相等、不等式組、三角函數等知識點．

這種命題方式是從教材出發，充分挖掘教材的命題價值，一方面關注了學生的應試心理，另一方面，引導教師教學要追本溯源，發揮教材的教學價值．

三、解法探索

(2)本小題我們可以從多個角度、用多種方法解決．

方法1要證明點P在∠AOB的平分線上，其實就是要說明點P到∠AOB的兩邊距離相等，因此就可以考慮經過點P分別作OA、OB的垂線段，垂足分別為點F、點E，如圖2.因為∠AOB=90°，∠EPF=90°.由(1)可知，∠BPA=90°，所以∠EPB=∠FPA.由(1)可知，PB=PA，所以△EPB≌△FPA(AAS)，所以PE=PF，即點P到∠AOB的兩邊距離相等.所以無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上.

方法3要證明點P在∠AOB的平分線上，其實就是要說明點∠AOP(或∠BOP)=45°，那原來圖形中有

(3)過點P作PG⊥x軸于點G，因為點P到x軸的距離為h，所以PG=h.

好的中考試題不僅考查數學知識和數學素養，還應該具有充分的發展性，讓學生有回味無窮的感覺．

總之，本題的本質就是 “由特殊及一般”，通過減少或弱化條件實行一般化，利用數形結合由數量關系和圖形關數形結合，以及對現象提出質疑、猜想結論并驗證結論，建構模型解決問題等等都是創新的方法，這些方法是聯結數學知識與遷移創新之間的橋梁.