直流分布式系統源荷對等型阻抗比判據研究

朱正斌，徐航捷，潘本仁，胡斯登

（1.浙江大學電氣工程學院，杭州 310027；2.寧波市江北九方和榮電氣有限公司，寧波 315033；3.國網江西省電力有限公司電力科學研究院，南昌 330096）

隨著儲能成本的降低與新型功率變換技術的發展，分布式儲能在接納分布式清潔能源、功率易于控制等方面的優勢逐漸體現。為了適應未來能源管理系統中智能化直流配電網絡的要求，如何實現柔性、即插即用和自組織等特點的先進分布式儲能及其變換技術成為研究的熱點[1-2]。

直流配網系統的穩定運行是分布式儲能與直流配電網絡其他子系統進行組合的基礎，準確且在寬范圍區域內適用的穩定判據是構建含儲能的綜合直流配網的首要問題。在穩定性判據未出現前，學術界為了分析系統的穩定性多采用源自控制理論的特征值法，其核心是通過小信號建模與線性化求解獲得傳遞函數極點的分布[3]。由于特征值法的前提是獲取變換器內部和外部的詳細參數，受到了工程實踐中的諸多限制[4]，因此常作為理想情況下的分析工具。為解決這一問題，Middlebrook 教授提出了直流系統組網的阻抗比判據，其核心是將系統分成電源子系統和負載子系統，利用前后的阻抗比Zout/Zin來判斷穩定性。由于判斷直觀且無需繁瑣的建模，該方法的工程實現性強。為了由判據指導實際設計，Middle-brook 判據中要求阻抗比幅值在全頻域小于1，即認為以原點為中心的單位圓外均為“阻抗比判據禁區”，只有奈奎斯特曲線不與“禁區”交疊才能認定系統穩定[5]，其目的是劃定參數設計的邊界，但該條件非常苛刻，難以滿足實際工程需求。為了減少該判據的保守程度，其他學者對其進行了拓展，相繼提出了GMPM（gain margin and phase margin）、Opposing Ar-gument 和ESAC（energy source analysis consortium）等阻抗比判據[6-8]，這些判據同樣基于源荷之間的阻抗比，通過改變s 域禁區范圍減小了判據的保守性。上述研究內容均基于Zout/Zin的傳統阻抗比，為分析不同類型的分布式電源系統，學者們構造了結構迥異的阻抗比判據。文獻[9]構造了Z1+Z2型阻抗比，用以判斷級聯系統的穩定性；在變流器并網系統中，文獻[10]認為應構造Zin/Zout型阻抗比以指導電流源型變流器的設計；文獻[11]以線纜阻抗ZL和變流器阻抗Z 等參數為基礎構造了一種新阻抗比判據，用以分析含并聯變流器的孤島微網；針對包含功率外環及下垂控制的孤島微網，文獻[12]通過輸出阻抗Zodq和環路特性Gωi等變流器的外特性參數重構阻抗比判據，在能夠界定孤島微網的穩定裕度的同時，拓展了判據的適用范圍。構造具有廣泛適用性，能夠判斷不同類型系統穩定性的阻抗比是判據研究的重點與方向。

值得注意的是，不存在右極點是構造阻抗比的重要前提條件[13]，在直流系統阻抗比判據的研究中，學者通常默認系統由單一電源與多個負載構成[14]，此時阻抗比Zo/Zi并不存在右極點。然而，在含有多個源變換器的多源系統中，由于多源組合及源荷地位不對等，阻抗比的傳遞函數可能出現新的右極點，此時使用傳統阻抗比判據會產生誤判。即使各電源與負載變換器自身均穩定，仍會存在隱藏而難以被發現的穩定性問題。針對此問題，文獻[15]給出了適用于多源系統的阻抗比判據。但該判據需要對所有的源變換器各應用一次阻抗比判據，較為繁瑣。

綜上所述，傳統判穩方法面臨分布式儲能與直流配網組合帶來的挑戰，在全域運行范圍內存在判斷失準的風險。本文在建立多源系統穩定性模型的基礎上，從奈奎斯特判據的基本原理出發，對傳統阻抗比判據的適用邊界進行溯源，。而源荷變換器不對等的地位是導致傳統判據在多源系統中失效的根本原因。針對此問題，構造出源荷對等型阻抗比判據，并闡述了詳細的應用方法與案例。最后，參照本文判據與特征值法，描繪出了傳統判據判斷失準的不穩定區域。通過實驗和建模，從時域、奈奎斯特曲線和零極點分布3 個角度驗證了本文所提判據的優勢。以上表明，本文提出的源荷對等型阻抗比判據對分析含儲能的分布式系統的穩定性具有重要意義。

1 直流分布式系統穩定性分析

1.1 系統建模

在直流分布式系統中，發電裝置、儲能裝置以及用電負荷經由電力電子變換器接入直流電網，各變換器主要通過級聯和并聯的方式進行連接，共直流母線的分布式系統如圖1 所示。根據功率流動的方向，可將系統劃分為電源子系統和負載子系統兩部分。結構如圖1（a）所示，其中共存在n 個源變換器和m 個負載變換器。

圖1 共直流母線的分布式系統Fig.1 Distributed system with common DC bus

對圖1（a）所示的分布式系統進行數學建模。首先，通過小信號建模求解各變換器的線性等效電路。然后，對源變換器進行戴維南等效，同時對負載變換器進行諾頓等效，可得到系統的小信號電路，如圖1（b）所示。最后，列出圖1（b）中的基爾霍夫電流關系，即

式中：Ubus（s）為母線電壓擾動量；Ux（s）為第x 個源變換器等效電壓擾動量；Ix（s）為第x 個負載變換器等效電流擾動量；Zin_x（s）為第x 個負載變換器的輸入阻抗傳遞函數；Zout_x（s）為第x 個源變換器的輸出阻抗傳遞函數；Iout（s）為注入源變換器的擾動電流和；Iin（s）為注入負載變換器的擾動電流和。對式（1）進一步推導，可得擾動量之間的關系為

式中：Zout（s）為所有源變換器并聯輸出阻抗的總和；Zin（s）為所有負載變換器并聯輸入阻抗的總和。當各變換器自身穩定時，Zout_x（s）滿足系統穩定條件，即不存在右半平面零點與極點[9]，因此式（2）括號中的部分不影響系統穩定。系統穩定性主要與系統的并聯阻抗Zbus（s）即式（2）括號外的第1 項有關，即

以式（3）為基礎，可以通過特征值法或阻抗比判據的方法，判斷系統穩定性。由于分布式系統參數多，其模型階數高，直接采用特征值法較為繁瑣。而如果使用阻抗比判據的方法，利用奈奎斯特判據將抽象的傳遞函數表達式轉換為形象的奈奎斯特曲線，可簡化分布式系統穩定性的判斷與分析。為此，本文分析基于奈奎斯特的傳統阻抗比判據在不同類型系統穩定性分析中的應用。

1.2 傳統阻抗比判據在單源單負載系統分析中的應用

傳統阻抗比判據以奈奎斯特判據為基礎，對式（3）進一步推導與變形。將式（3）等效為系統閉環傳遞函數，構造阻抗比Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s）作為等效開環傳遞函數，表示為

奈奎斯特穩定性判據的特點是根據開環傳遞函數，繪出對應的奈奎斯特曲線從而判斷閉環系統的穩定性，根據曲線包圍復平面點（-1，j0）的圈數w和開環傳遞函數的右極點數目q，即可判斷系統的穩定性。在只含單個源變換器和單個負載變換器的分布式系統中，其傳統阻抗比表達式為

式中，Nin（s）、Nout（s）、Din（s）、Dout（s）均為s 的多項式。由于各變換器自身穩定，其輸入輸出阻抗均不存在右極點和右零點[11]，這表明以上4 個多項式均不存在實部為正的根。觀察式（5）可知，其分母為2 個多項式的乘積，因此也不存在實部為正的根，表明傳統阻抗比判據的阻抗比Ttra（s）不存在右極點。

在只含單個源變換器和單個負載變換器的系統中，傳統阻抗比的形式與變換器的特性決定了等效開環傳遞函數Ttra（s）一定不存在右極點，因此不再需要應用特征值法獲取右極點的數目，利用頻域的阻抗信息作出奈奎斯特曲線即可判斷系統穩定性。

奈奎斯特曲線是指當s 沿D 形圍線變化時，開環傳遞函數在復平面的軌跡。D 形圍線由虛軸上的直線和右半平面的半圓弧線構成，如圖2 所示。能否畫出開環傳遞函數的軌跡與其階數有關，當開環傳遞函數階數大于0 且s 沿D 形圍線的半圓弧線變化時，其軌跡位于無窮遠的未知處而無法被畫出，因此開環傳遞函數的階數必須小于或等于0[16]。在傳統阻抗比判據中，阻抗比Ttra（s）等于電源子系統輸出阻抗傳遞函數Zout（s）除以負載子系統輸入阻抗傳遞函數Zin（s），負載變換器的輸入阻抗階數一般均大于等于源變換器的輸出阻抗階數，這表明傳統阻抗比判據滿足奈奎斯特判據的階數條件，可以畫出其阻抗比Ttra（s）的軌跡，典型軌跡如圖2（b）中的奈奎斯特曲線所示。

圖2 滿足階數條件時D 形圍線與奈奎斯特曲線的對應關系Fig.2 Relation between D-shaped contour and Nyquist curve when the order condition is satisfied

因此，在只含單一源和單一負載的系統中可以使用傳統阻抗比判據進行穩定性判斷，這是因為系統中不存在右極點，從而滿足開環傳遞函數Ttra（s）右極點數目已知的條件；同時，阻抗比的結構確保其階數小于等于0。

1.3 傳統阻抗比判據在組合系統中局限性的數學推導

由式（4）可見，阻抗比為Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s）；而多源與多負載系統中，Zin（s）與Zout（s）可以分別寫為

式 中，Nin1（s）、Nout1（s）、Din1（s）、Dout1（s）以 及Nin2（s）、Nout2（s）、Din2（s）、Dout2（s）均為s 的多項式，均不存在實部為正的根。式（6）與式（7）共同描述了由多源與多負載子系統并聯而成的組合系統的輸入輸出阻抗的傳遞函數，可以看到，對于單獨子系統，盡管分母中不包含右極點即其自身穩定，但組合后會出現新的變化。該變化包含兩方面，以式（7）為例，首先，分子項為Nout1（s）Nout2（s），表明組合前后的系統零點保持一致，因此由零點決定的特性不變；其次，分母項為Nout1（s）Dout2（s）+Nout2（s）Dout1（s），該項說明組合系統中可能會出現新的極點，甚至是新增右極點。一旦右極點數目不為0，將導致傳統阻抗比判據失效。由于Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s），分別對應負載變換器總輸入阻抗為Zin（s）與源變換器總輸出阻抗Zout（s），因此多源組合后給系統帶來的變化與負載變換器及源變換器的關聯并不相同。

對于式（6）描述的多負載變換器，其總輸入阻抗為Zin（s），由于Zin1（s）與Zin2（s）不包含右零點，組合后的Zin（s）也不包含右零點。因此，1/Zin（s）不會為Ttra（s）中帶來新增的右極點。對于式（7）描述的多源變換器，即使Zout1（s）和Zout2（s）無右極點和右零點，組合后的分母中仍可能出現新增的右極點。因此，Zout（s）可能會為Ttra（s）中帶來新增的右極點。

由以上分析可以看出，由于Ttra（s）中Zout（s）和Zin（s）分別處于分子與分母的位置，導致位于分子中的源變換器會在組合后引入新的右極點。該問題有兩方面特點，第一，只含單一源的系統中不存在，而是出現在包含多個源變換器的組合系統中；第二，組合后的電源與負載子系統在Ttra（s）中的地位不對等導致了該問題的出現。

多負載變換器的組合會導致傳統阻抗比出現右零點，但對穩定性分析不存在影響，這表明傳統阻抗比判據適用于存在單一源和多負載的系統。而多個源變換器組合后，傳統阻抗比中源荷地位不對等會導致阻抗比出現右極點，此時必須使用特征值法推導出阻抗比Ttra（s）的右極點數目q，才能借助奈奎斯特曲線包圍點（-1，j0）的圈數w 判斷系統的穩定性。因此這也是傳統阻抗比判據不適用于多源系統穩定性分析的直接原因。

總之，傳統阻抗比判據適用于存在單一源的系統，其具體實現方法為，當傳統阻抗比Ttra的奈奎斯特曲線不包圍點（-1，j0）時，系統穩定，反之則系統失穩。

2 源荷地位對等的阻抗比判據

針對前面分析的傳統阻抗比判據不適用于多源系統的原因，本文提出了一種不區分電源與負載子系統的判斷方法，其目的是基于無需區分源荷變換器的系統并聯阻抗Zbus（s）的公式來構造阻抗比，使其能夠判斷多源系統的穩定性。為了確保源荷子系統的對等性，將共母線的直流系統寫為

式中：Yx（s）為各個變換器的導納；Zc（s）為母線電容的阻抗；Ync（s）為不包含母線電容的所有變換器導納的和，

為了能重構與Ttra（s）=Zout（s）/Zin（s）類似的阻抗比形式，將電容阻抗單獨提取出來，形成式（8）的最右端。提取電容阻抗是因為在無源器件中，電容阻抗傳遞函數的階數最低，使用電容阻抗作為阻抗比的分子項，易滿足奈奎斯特判據的階數條件。在直流分布式系統中，各變換器共用同一直流母線，且均存在輸出濾波電容，如圖3 所示，因此可以將各個變換器的輸出電容拆分出來，組合成一個母線電容C，以母線電容的阻抗作為阻抗比的分子。

圖3 電容重組后的系統等效電路Fig.3 Equivalent circuit of system after restructuring capacitor

觀察式（8）可知，電容阻抗的傳遞函數只存在一個虛軸上的極點，不影響系統的穩定性，因此Zbus（s）的穩定性由式（8）中的分數項決定。與傳統阻抗比中采用奈奎斯特判據類似，將該項等效為閉環系統傳遞函數，其前向通道傳遞函數等于1，反饋通道和開環傳遞函數等于Tnew（s）。在式（8）的基礎上進一步變形，構造新的阻抗比Tnew（s）=Zc（s）/Znc（s），表示為

可以看到，式（9）中不存在源變換器與負載變換器，而是統一包含在Znc（s）中，從而確保了各變換器的地位相同。最終構造出的新阻抗比Tnew=Zc/Znc作為等效開環傳遞函數用于后續分析。

與傳統阻抗比判據不同，即使存在多個源變換器，源荷對等型阻抗比判據的阻抗比也不存在右極點。在分布式系統中，各變換器自身穩定，其導納Yx（s）及電容導納sC 均不存在右極點。且由式（11）觀察可知，Ync（s）等于變換器導納與電容導納的差，亦不存在右極點，這表明阻抗比Tnew（s）右極點的數目為0。因此，傳統阻抗比判據中可能出現新增右極點的問題被解決。

源荷對等后，直流系統中增加的源和荷均不會在阻抗比中引入右極點。源荷對等型阻抗比判據可以表達為：當阻抗比Tnew的奈奎斯特曲線不包圍點（-1，j0）時，系統穩定；反之，則系統失穩。

傳統阻抗比判據和源荷對等型阻抗比判據，本質上都是使用奈奎斯特判據，在傳遞函數穩定性和頻域阻抗之間建立聯系，以簡單的阻抗法代替復雜的、需要建模的特征值法，來判斷和分析系統穩定性。這兩種方法都需要提取系統中變換器的阻抗，其阻抗測量方法本質上是相同的。

系統阻抗測量的原理如圖4 所示[17]，通過在母線上并聯擾動源，向系統中注入不同頻率的電流擾動。首先，測量擾動源輸出電壓擾動u?s，再根據變換器直流電流流動的方向劃分源荷子系統，測量流入電源子系統的電流擾動和與流入負載子系統的電流擾動和，即可計算出Zout和Zin，再通過阻抗比公式作出奈奎斯特曲線。

圖4 系統阻抗測量的原理Fig.4 Schematic of system impedance measurement

源荷對等型阻抗比判據的阻抗測量與之類似，但由于變換器地位對等，因此只需要測量擾動源輸出的2 個擾動量電壓擾動和電流擾動，即可計算得到系統阻抗Zbus=，再借助式（10）即可作出奈奎斯特曲線。

傳統的阻抗比判據應用于含儲能的分布式系統中時需要根據變換器的功率流向實時劃分源荷，以調整測量阻抗時的測量對象。而源荷對等型阻抗比判據中變換器地位對等，只需測量擾動源的電壓電流擾動量即可，具有更好的靈活性和簡便性。

綜上所述，在含儲能的直流分布式系統中，使用電容阻抗作為分子構造了源荷地位對等的阻抗比判據，在符合奈奎斯特判據階數條件的基礎上，解決了傳統阻抗比判據中潛藏右極點的問題。源荷對等型阻抗比判據具備數學原理可證明的正確性和工程實際應用方面的簡易性。

3 實驗驗證

3.1 組合系統阻抗比判據的算例

為驗證上述分析結論及源荷對等型阻抗比判據的有效性，搭建了圖5 所示的直流分布式系統。實驗的思路是，分布式系統含有儲能單元，系統運行在多源的狀態，此時，電源子系統輸出阻抗傳遞函數Zout（s）可能存在右極點，導致默認阻抗比不含右極點的傳統阻抗比判據判斷錯誤。而在源荷對等型阻抗比判據中，Tnew（s）始終不存在右極點，多源場景下也能夠正確判斷系統的穩定性。

圖5 典型直流分布式系統Fig.5 Typical DC distributed system

圖5 所示的分布式系統包含3 個變換器，分別是：1 號源變換器，Boost 拓撲，采用電壓控制；2 號儲能變換器，工作在源的狀態，雙向Buck-Boost 拓撲，采用恒流控制；3 號負載變換器，Buck 拓撲，采用電壓電流雙環控制。3 個變換器共用一條直流母線，都工作在連續導通模式下。基于圖5 的模型，搭建了如圖6 所示的實驗平臺，實驗平臺的主電路參數及控制器參數如表1 所示，其中電容參數來源于廠家手冊，電感參數來源于LCR 表的實際測量值。

表1 變換器參數Tab.1 Parameters of converters

圖6 實驗平臺Fig.6 Experimental platform

系統存在2 個運行階段，1 號源變換器和2 號儲能變換器共同輸出功率，給3 號負載變換器提供能量。在第1 階段中，2 號儲能變換器電池容量充裕，為主要功率輸出單元，輸出280 W 功率，1 號源變換器為次要輸出單元，輸出20 W 功率，此時系統穩定運行。在第2 階段，由于2 號儲能變換器電池容量不足，電池電壓和輸出功率分別下降到30 V 和50 W，變為次要功率輸出單元?？刂颇妇€電壓的1 號源變換器輸出功率上升，變為主要功率輸出單元。此時母線電壓發生顯著的低頻振蕩，系統穩定性遭到破壞。

實驗結果如圖7 所示。系統工作在第1 階段時，觀察圖7（a）可知，此時1 號源變換器的輸入電流為Iin1為1.4 A，2 號儲能變換器輸入電流Iin2為7.0 A，后者為主要功率輸出單元，此時母線電壓穩定。隨著穩態工作點的變化，系統進入第2 階段，2號儲能單元的輸入電流下降，變為次要功率輸出單元，此時母線電壓發生顯著的低頻振蕩，振蕩頻率約為340 Hz，如圖7（b）所示。直流微網中一般要求母線電壓波動不超過額定值的±5%，而此階段母線振蕩幅值約為11.5 V，遠超系統容許的4.8 V 的波動范圍，這表明系統穩定性遭到破壞。

圖7 實驗波形Fig.7 Experimental waveforms

3.2 阻抗比判據與系統穩定性分析

對于上述微網，可通過小信號建模的方式代替工程測量獲取各變換器的閉環輸入輸出阻抗[18]，進而根據阻抗信息，畫出各阻抗比判據的奈奎斯特曲線，如圖8 所示，分析其穩定性判斷結果。

采用傳統阻抗比判據時，首先根據功率流向將變換器分成源荷兩個部分。其次，將阻抗信息代入傳統阻抗比Ttra的公式中，得到奈奎斯特曲線。觀察圖8（a）和（b）可見，在2 個運行階段，奈奎斯特曲線均不包圍點（-1，j0），判斷系統在2 個階段均穩定，這顯然與圖7 的實驗結果不一致，傳統阻抗比判據的判斷是錯誤的。

同時，根據阻抗信息及式（10），可作出源荷對等型阻抗比判據的奈奎斯特曲線。觀察圖8（c）可見，在系統的第1 階段，點（-1，j0）的左側正穿越實軸的曲線為2 條，與負穿越實軸的奈奎斯特曲線數量相等，二者抵消，曲線不包圍點（-1，j0），判斷系統穩定。觀察圖8（d）可見，在系統的第2 階段，點（-1，j0）左側僅有兩條負穿越實軸的曲線，奈奎斯特曲線包圍點（-1，j0），判斷系統不穩定。源荷對等型阻抗比判據對系統2 個階段穩定性的判斷與圖7 的實驗結果一致。

圖8 阻抗比判據奈奎斯特曲線Fig.8 Nyquist curves of impedance-based stability criterion

傳統阻抗比判據判斷失誤，這是由于階段2中，電源子系統總輸出阻抗的傳遞函數Zout（s）存在2 個右極點。在系統的2 個運行階段中，儲能單元一直輸出功率，形成了包含多個源變換器的工作場景。通過小信號建模，可以得到2 個階段中電源子系統輸出阻抗的傳遞函數Zout（s）。由于穩態工作點不同，2 個階段的Zout（s）并不相同，電源子系統輸出阻抗傳遞函數的零極點分布如圖9 所示。在階段1，觀察圖9（a）可知，此時Zout（s）的不存在右極點，因此傳統阻抗比判據此時能夠正確判斷系統的穩定性。階段2，觀察圖9（b）可知，此時Zout（s）存在2個右極點。在實際工程中，難以通過特征值法獲取阻抗比右極點的數量q，導致傳統阻抗比判據在階段2 判斷錯誤。根據第2 節的分析可知，源荷對等型的阻抗比判據中阻抗比始終不存在右極點，因此系統中的儲能變換器的特性發生改變時，判據仍然能夠準確地判斷系統的穩定性。

圖9 電源子系統輸出阻抗傳遞函數的零極點分布Fig.9 Zero-pole distribution of output impedance transfer function for source subsystem

上述算例表明，在多源系統中，由于阻抗比中變換器地位不對等，傳統阻抗比判據可能會失效。而源荷對等型阻抗比判據中變換器地位相同，消除了傳統阻抗比判據中潛在的判斷失效區。因此，對于具有多源特性的含儲能的直流分布式系統，可應用源荷對等型阻抗比穩定判據：系統穩定性通過阻抗比Tnew的奈奎斯特曲線是否包圍點（-1，j0）來判斷。

4 結論

含儲能的直流分布式系統具有多源的特征，傳統阻抗比判據用于判斷該系統穩定性時，存在潛藏的誤判區域。本文基于奈奎斯特判據對阻抗比判據誤判的原因進行了溯源，進而提出可用于該系統的判據，主要結論如下。

（1）在直流分布式系統中，源荷地位不對等是導致多源系統中傳統阻抗比潛藏右極點的原因，實驗證明，當電源子系統輸出阻抗的右極點數q 與系統并聯阻抗的右極點數p 相同時，傳統阻抗比判據將失穩系統誤判為穩定，這表明多源系統中隱含傳統阻抗比判據的判斷失效區。

（2）源荷對等型阻抗比判據的構造中嚴格考慮了阻抗比的階數和右極點，通過提取電容阻抗作為分子確保階數對等，同時調整源荷關系避免右極點。該判據在實驗中能準確判斷多源系統的穩定性，是一種適用于儲能系統的新判據。

源荷對等型判據是分析多源系統穩定裕度和指導變換器設計的重要基礎，為構造其他復雜系統的阻抗比判據提供了可借鑒的思路。