從四個維度對課堂進行評價 提升素養*
——以立體幾何軌跡問題教學為例

廈門外國語學校石獅分校 吳志峰

課標指出,高中數學教學要以發展學生數學學科核心素養為導向,啟發學生思考,掌握數學內容的本質,落實數學核心素養的形成與發展.課堂學習評價有利于教師進行反思,改進教學,提高學生學習的興趣.判斷一節課是否能達到課標的學業水平要求,筆者認為可以從知識技能、思想方法、核心素養和關鍵能力四個維度進行評價.筆者結合自身教學實踐,以“立體幾何軌跡問題”教學為例,對課堂進行學習評價.

1 擬定課堂評價標準

為了落實課標所提出的學業水平要求,根據課標要求從四個維度擬定本節課的課堂評價標準:

知識技能:(1)關注學生運用圖形概念描述圖形的基本關系和基本結果,及常見曲線的軌跡定義,評價學生對軌跡的認知水平;

(2)關注學生能否運用定義法或坐標法求軌跡,評價學生對立體幾何軌跡的運用水平.

思想方法:(1)關注學生能否借助圖形尋找幾何元素與數量之間的關系,評價數形結合思想的理解水平;

(2)關注學生能否將空間問題轉化為平面問題,評價轉化與化歸思想的理解水平.

核心素養:(1)關注學生能否借助圖形尋找幾何元素與數量之間的關系,評價直觀想象、數學建模與數學抽象素養;

(2)關注學生表述立體幾何軌跡問題的過程,評價邏輯推理素養;

(3)關注學生運用定義法或坐標法求軌跡,評價數學運算素養.

關鍵能力:(1)關注學生表述立體幾何軌跡問題的過程,評價推理論證能力;

(2)關注學生運用定義法或坐標法求軌跡,評價運算求解能力.

2 復習回顧,創設問題

圖1

問題1求平面軌跡問題,大家一般用什么方法處理?

生:定義法,直接法(在平面直角坐標系下找到點的橫縱坐標之間的關系式),設元消參法.

問題2能否類比平面軌跡問題來處理立體幾何中的軌跡問題?

評價：通過復習回顧,關注學生對常見曲線的軌跡定義掌握情況.若學生能在課堂上比較流暢地回答截口曲線軌跡,則可進入下一問題;若學生比較陌生,教師可通過作圖展示或嚴謹推證引導學生認識截口曲線軌跡.評價學生對曲線軌跡的認知水平,發展學生直觀想象及數學抽象核心素養.

3 例題探析

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M為DD1的中點,N為平面ABCD內一動點.請思考下列問題1～5.

生:直線與平面所成的角即為直線與它在這個平面內的射影所成的角,MN在平面ABCD內的射影為DN,則|DN|=2.根據圓的定義,可知點N的軌跡是以D為圓心,半徑為2的圓.

追問1:若求線段MN中點P的軌跡呢?

生:在△DMN中,取DM中點Q,則|PQ|=1,且PQ⊥DD1,則點P的軌跡以Q為圓心,半徑為1的圓.

圖2

評價：問題1關注學生能否將線面所成角轉化為線線所成角,從而將空間問題轉化為平面問題進行處理.追問1關注學生能否將空間點P的軌跡問題轉化為繞DD1旋轉的圓柱被一個垂直于軸的平面截得的圓.追問2通過球面與正方體表面相交引導學生想象曲面與平面相交的問題,關注學生能否將交線問題轉化為平面截球面所得截口曲線問題.截口曲線并不是完整的圓,需要通過角度判斷曲線的長度;若學生能較好地回答,則可以順利通過,若學生比較難理解,可以將球被平面截得的截口曲線作出.培養轉化與化歸、數形結合的數學思想,發展學生的空間想象、邏輯推理核心素養,提高運算求解能力.

問題2若△AC1N的面積為定值,則點N的軌跡是什么?

生:若S△AC1N為定值,又線段AC1長度已知,則點N到直線AC1的距離為定值,即點N在以AC1為軸,定長為半徑的圓柱(圓柱沒有高度)上.又因為點N在平面ABCD內,所以用一個與旋轉軸AC1不垂直的平面截圓柱,截口曲線為橢圓,即點N的軌跡.

問題3若點N到直線BB1與直線DC的距離相等,則點N的軌跡是什么?

生:由題意知點N到點B與直線DC的距離相等,根據拋物線的定義知點N的軌跡是拋物線.

追問3:若平面A1BCD1內一動點P到直線AB1和BC的距離相等,則點P的軌跡是什么?

生:設AB1∩A1B=O,則PO表示點P到直線AB1的距離.因為平面A1BCD1內一動點P到直線AB1和BC的距離相等,所以PO與點P到直線BC的距離相等.根據拋物線的定義,可得點P的軌跡為拋物線．

追問4:若點P在平面CDD1C1內,滿足∠A1BD1=∠PBD1,則動點P的軌跡是什么?

生:點P在以B為頂點,BD1為對稱軸,A1B為母線的圓錐與平面CDD1C1的交線上,又A1B∥平面CDD1C1,所以與圓錐母線平行的平面截圓錐得到的截口曲線是拋物線,即點P的軌跡．

評價：關注學生對圓錐曲線定義的掌握情況,評價學生對軌跡的認知,發展學生數學建模、空間想象、邏輯推理核心素養.

問題5對于問題4,還可以用什么方法來處理?

圖3

所以點N的軌跡為雙曲線．

評價：關注學生用幾何法處理問題不容易時,能否想到可通過坐標法實現,對比各自的優缺點,評價轉化與化歸的數學思想;關注學生能否運用定義法或坐標法求軌跡問題,評價學生對立體幾何軌跡問題的運用水平;關注學生能否借助圖形尋找幾何元素與數量之間的關系及將空間問題轉化為平面問題,評價數形結合思想及轉化與化歸思想的理解水平;關注學生通過不同方法表述軌跡的過程,發展學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養,培養學生推理論證及運算能力.

例2如圖4,設點M是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點,AD=AA1=4,AB=5,點P在面BCC1B1上,若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等,則點P的軌跡為( ).

圖4

A．橢圓的一部分 B．拋物線的一部分

C．一條線段 D．一段圓弧

圖5

圖6

評價：例2、例3關注學生求解軌跡問題的方法選擇,坐標法中坐標的正確書寫,幾何法中量的正確表達以及運算求解能力.通過方程的形式判斷軌跡及表述軌跡的過程,關注學生能否將線面交點問題轉化為線線交點問題,例3中交點Q的軌跡是平面與平面的交線,尋找這條線的關鍵是找出兩個交點.評價數形結合及轉化與化歸數學思想的理解水平;發展學生直觀想象、邏輯推理核心素養,培養推理論證、運算求解能力.

4 課堂練習

(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在側面BCC1B1及其邊界上運動,并且保持AP⊥BD1,則動點P的軌跡為( ).

A．線段B1CB．線段BC1

C．BB1的中點與CC1的中點連成的線段

D．BC的中點與B1C1的中點連成的線段

(2)已知異面直線a,b成60°角,其公垂線段為EF,|EF|=2,長為4的線段AB的兩端點分別在直線a,b上運動,則AB中點的軌跡為( ).

A．橢圓 B．雙曲線

C．圓 D．以上都不是

評價：通過課堂鞏固練習,加深對立體幾何軌跡問題的認知,反饋學生對本節課內容的掌握情況,進一步發展學生的能力.

5 課堂小結與課后練習

本文從略,可掃碼觀看具體內容.

根據學生的認知規律,合理地設計教學過程,再進行學習評價,這樣不僅可以提高學生的學習興趣,提高他們的自我認知,更好地落實數學核心素養,也有利于教師進行教學反思,改進教學,提高教學質量.