用橢圓參數(shù)方程求弦長

劉鑫 張甲

[摘 要]文章結(jié)合橢圓的參數(shù)方程推導出了當直線與橢圓相交時直線斜率存在與不存在時橢圓弦長的6個公式.探討利用橢圓的參數(shù)方程求弦長的方法，有利于提高學生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]參數(shù)方程;橢圓;弦長

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0034-03

有關(guān)橢圓弦長問題的求解方法有很多，文獻[1]中就給出了常用的6種求解方法，如弦長[AB=1+k2x1+x22-4x1x2]，該公式就是將橢圓方程和直線方程聯(lián)立后，再由兩點間的距離公式和韋達定理得到的.還有應用直線的參數(shù)方程、橢圓的第二定義等方法求解橢圓弦長問題的.文獻[1]中的6種求解方法幾乎涵蓋了涉及此類問題的所有常用方法，但筆者查找了大量有關(guān)橢圓弦長問題的文獻后，發(fā)現(xiàn)在所有常用方法中均沒有發(fā)現(xiàn)有關(guān)應用橢圓的參數(shù)方程來求解橢圓弦長問題的，故而筆者考慮將橢圓的參數(shù)方程引入有關(guān)橢圓弦長的問題中，應用參數(shù)方程求解橢圓弦長問題.

為行文方便，先引入橢圓的參數(shù)方程.

[x=acos θ，y=bsin θ.] （1）

其中[a]表示橢圓的長半軸、[b]表示橢圓的短半軸，參數(shù)[θ]表示[∠AON]的大?。ㄈ鐖D1）.

一、當直線斜率存在時

1.直線過坐標原點

如圖2，過原點的直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點，直線的斜率為[k且k≠0]，求弦長[AB].

由橢圓的性質(zhì)可得，[AB=2OA].根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，設[A]點坐標為[acos θ， bsin θ]，直線[l]的斜率[k=batan θ].則弦長[AB]就可以表示為：

[AB=2OA]

[=2acos θ-02+bsin θ-02]

[=2a2cos2θ+b2sin2θcos2θ+sin2θ]

[=2a2b21+k2a2k2+b2.]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

2.直線過橢圓焦點

如圖3，過焦點[Fc， 0]的直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點，直線斜率為[k且k≠0]，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設[A]，[B]兩點的坐標為[Aacos θ1， bsin θ1]，[Bacos θ2， bsin θ2]，則直線[l]的斜率[k=bsin θ2-sin θ1acos θ2-cos θ1]，則[sin θ2-sin θ1=akbcos θ2-cos θ1 ].故弦長[AB]可表示為

[AB=a2cos θ2-cos θ12+b2sin θ2-sin θ12=a2cos θ2-cos θ121+k2.]

又因為直線[l]的斜率與直線[AF]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1-c]，所以可得[sin θ1=kbacos θ1-c].由三角函數(shù)的平方關(guān)系[sin2θ1+cos2θ1=1]得

[k2b2acos θ1-c2+cos2θ1=1]

[a2k2b2+1cos2θ1-2k2acb2cos θ1+k2c2b2-1=0.]

令[x=cos θ1]，則可得關(guān)于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2-2k2acb2x+k2c2b2-1=0]，根據(jù)一元二次方程判別式[Δ=-2k2acb22-4a2kb2+1k2c2b2-1=4k2+4>0]，得該一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根[x=2k2acb2±41+k22a2k2b2+1=k2ac±b21+k2a2k2+b2]，則由橢圓參數(shù)方程的相關(guān)性質(zhì)可設[cos θ1=k2ac+b21+k2a2k2+b2]，[cos θ2=k2ac-b21+k2a2k2+b2]，所以弦長[AB]就可表示為

[AB=a21+k2k2ac-b21+k2a2k2+b2-k2ac+b21+k2a2k2+b22]? ? ? ? [=a21+k24b4（1+k2）a2k2+b22=2ab21+k2a2k2+b2.]? ? ? （3）

3.直線過任意點

如圖4，設直線[l]的方程為[y=kx+m]與橢圓交于[A]，[B]兩點，直線的斜率為[k且k≠0]，與[x]軸交點為[C-mk， 0].求弦長[AB].

由上述可得[AB=a21+k2cos θ2-cos θ12].又因為直線[l]的斜率與直線[AC]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1+mk]，所以得[sin θ1=akbcos θ1+mb].由三角函數(shù)的平方關(guān)系[sin2θ1+cos2θ1=1]得

[akbcos θ1+mb2+cos2θ1=1a2k2b2+1cos2θ1+2kamb2cos θ1+m2b2-1=0.]

令[x=cos θ1]，則可得關(guān)于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2+2kamb2x+m2b2-1=0]，根據(jù)判別式[Δ=4k2a2m2b4-4a2k2b2+1m2b2-1=4a2k2-m2b2+4=4a2-m2k2b2k2+4>0]，所以該一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根：

[x=-2akmb2±4a2k2+b2-m2b22a2k2b2+1=-akma2k2+b2±ba2k2+b2-m2a2k2+b2，]

則由橢圓參數(shù)方程的相關(guān)性質(zhì)可設[cos θ1=-akma2k2+b2+ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，[cos θ2=-akma2k2+b2-ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，所以弦長[AB]就可表示為

[AB=a21+k2cos θ1-cos θ22=a21+k24b2a2k2+b2-m2a2k2+b2=2ab1+k2a2k2+b2-m2a2k2+b2.] （4）

4.直線斜率為0

如圖5，設直線[l]的方程為[y=mm<b]與橢圓交于[A]，[B]兩點，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設[A]，[B]兩點坐標為[Aacos θ， bsin θ]，[B-acos θ， bsin θ]，則可得[m=bsin θ?sin θ=mb]，所以弦長[AB]可表示為

[AB=2acos θ=2a1-sin2θ=2ab2-m2b2=2ab2-m2b]. ? ? ? ?（5）

二、當直線斜率不存在時

1.直線過橢圓焦點

如圖6，過焦點[Fc， 0]的直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設[A]，[B]兩點坐標為[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，則可得[acos θ=c] [?cos θ=ca]，所以弦長[AB]可表示為

[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-c2a2=2b2a]. ? ? ? （6）

2.直線過任意點

如圖7，直線[x=n]與橢圓交于[A]，[B]兩點，求弦長[AB].

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設[A]，[B]兩點坐標為[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，則可得[acos θ=n?cos θ=na]，所以弦長[AB]可表示為

[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-n2a2=2ba2-n2a.] ? ?（7）

文章利用橢圓的參數(shù)方程，推導出了當直線與橢圓相交時直線斜率存在與不存在兩種情況共6個公式.這6個公式涵蓋了求橢圓弦長的所有類型，其中公式（4）稱為橢圓弦長的“萬能公式”，當直線斜率存在時都可用它進行計算.在文獻[3]中，作者利用直線與橢圓的直角坐標方程也推導出了此公式，不過計算過程較為復雜.文獻[1]利用放射變換的方法證明了此公式，雖然在一定程度上簡化了計算過程，但對于高中學生來說理解起來也有一定的困難.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 鐘德光，蔡方明，陳宇鵬.求橢圓弦長，方法知多少？[J].理科考試研究，2018，25（7）：21-23.

[2]? 鄭慶安，潘玉曉. 橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及性質(zhì)[J]. 南陽師范學院學報，2014，13（3）：12-13.

[3]? 廖炳江.求橢圓弦長的一個公式[J].安順師專學報，1999（4）：40-43.

（責任編輯 黃桂堅）