電動伺服機構三閉環控制器設計

董海迪，王 哲，袁勝智，李 靜，金 凱

（海軍工程大學兵器工程學院，湖北武漢 430030）

舵機伺服系統是一種復雜的機電一體化系統，屬于典型的位置隨動系統［1］。其控制精度直接影響導彈的制導和姿態控制精度，進而影響導彈命中精度。

針對某型導彈現有電液伺服系統存在動態響應速度慢、結構復雜、可靠性差、使用維護困難等缺點［2］，本文研究了采用直流電機進行電動舵機設計的改進方案，在分析舵機控制系統組成及工作原理基礎上，依據電磁定律等物理規律推導建立舵機控制系統數學模型。針對某導彈電動舵機控制系統的性能指標要求，提出一種基于工程經驗的PID 控制算法，進行電流、速度、位置三閉環調節器設計。 最后，利用Matlab/Simulink工具箱搭建電動舵機控制系統的仿真模型。

1 舵機控制系統數學模型

舵機控制系統主要由伺服電機、主功率驅動電路、減速傳動機構以及電機工作電流、轉子轉速、噴管偏角等檢測傳感器組成，具體結構如圖1所示。

圖1 舵機控制系統組成結構Fig.1 Composition of servo control system

1.1 無刷直流電機數學模型

無刷直流電機是在傳統的有刷直流電機的基礎上發展起來的，兩者結構相似。不同之處在于，無刷直流電機把永磁體安裝在轉子上，三相繞組安裝在定子上，利用逆變器和轉子位置傳感器構成電子換相電路，取代了原來由換相器和電刷組成的機械結構。無刷直流電機主要由電機本體、轉子位置傳感器和電子開關電路三部分組成。本文以兩極三相無刷直流電機為例，推導建立無刷直流電機的數學模型，所建立的無刷直流電機動態結構如圖2所示。

圖2 無刷直流電機動態結構圖Fig.2 Dynamic structure diagram of brushless DC motor

無刷直流電機相電壓方程［3］為

無刷直流電機的傳遞函數為

負載轉矩與速度間的傳遞函數為

1.2 驅動器數學模型

驅動器主要由功率驅動管和三相逆變橋組成，分析時，常常將它們作為一個小環節處理［4］。輸入量為PWM 輸入電壓，輸出量為加在電機上的直流平均電壓，同時考慮功率開關管存在滯后現象，故PWM 驅動器傳遞函數為

1.3 減速傳動機構數學模型

減速器選用滾珠絲杠減速傳動機構，其物理基礎是滾動摩擦，由于依靠的是滾動摩擦，所以摩擦力較小，系統傳動效率較高。減速傳動器正常工作時，滾珠絲杠每旋轉一周，帶動螺母移動一個導程，推動噴管轉動一定角度。若電機轉動的角度為θm，則噴管轉動的角度為

式中，θ表示噴管轉動角度，L表示滾珠絲杠的導程，igl表示減速齒輪的減速傳動比，r表示噴管轉動半徑。

由于θ最大幅值在10°左右，tg10°= 0.176，10°=，因此，在θ取值較小時，。減速傳動機構傳遞函數為

1.4 傳感器數學模型

控制系統采用電流、速度、位置三閉環控制策略，涉及電機工作電流、轉子轉速及噴管偏角的測量反饋。其中電流測量采用霍爾傳感器，輸出與被測電流成比例的電壓信號；轉子轉速測量采用與轉軸同軸安裝的旋轉變壓器，輸出與轉速成正比的數字信號；噴管位置檢測采用與滾珠絲杠同軸安裝的絕對值編碼器，輸出可以換算成與偏角成比例的數字信號。綜上分析，三類傳感器都可以等效為比例環節。考慮在電機工作過程中，三個檢測信號中存在交流干擾，因此，在數據處理時，設計了數字濾波環節，濾波環節延遲了反饋信號的作用，可以等效為一階慣性環節［5］。電流、轉速、偏角三個傳感器的傳遞函數數學模型分別為

式中，α、β、γ分別表示電流、轉速、偏角位移傳感器比例系數，Toi、Ton、Top分別表示過濾時間常數。

2 舵機控制器設計

根據前文推導的各組成部分數學模型，得到控制系統動態結構如圖3 所示。考慮到PID 控制具有算法簡單、魯棒性好、易于實現等優點［6］，尤其適用于建立精確數學模型的控制系統，因此，本文擬采用PID 控制算法設計三閉環控制器。基本思路是：首先進行電流環設計，通過對控制對象傳遞函數和控制性能指標分析，完成電流環調節器的結構和控制參數選擇；然后將電流環等效為速度環的子環節，進行速度環設計；最后將速度環等效為位置環的子環節，進行位置環設計。

圖3 控制系統動態結構圖Fig.3 Dynamic Structure Diagram of Control System

2.1 電流環調節器設計

電流環調節器設計需要考慮結構和控制參數兩方面。在輸入信號中加入濾波時間常數與反饋濾波時間常數相同的濾波環節，并將其等效移動到電流環內，忽略反電勢的變化影響［5］，同時考慮到濾波時間常數Toi和PWM 控制時間常數Ts比電氣時間常數Tl小得多，在進行工程設計時，完全可以將兩者當作小慣性群環節而近似作為一個慣性環節來處理，對應的時間常數T∑i=Ts+Toi。經簡化處理得到電流環的開環傳遞函數為

電流環的控制對象是雙慣性型的，控制的穩態要求是無靜差，動態要求是迅速跟蹤期望的電流變化，且不允許有太大的超調，因此電流環采用典型Ⅰ型系統進行校正［5］，電流環調節器采用PI調節器進行設計，對應的傳遞函數為

式中，Ki表示比例系數，τi表示超前時間常數。

選擇電流環調節器的零點，使其能夠與開環傳遞函數較大的時間常數進行極點對消，對應的積分時間常數τi=Tl，則電流環開環傳遞函數為

式中，KI=αKPWMKi/(Raτi)，表示開環放大系數。

為了控制電流的超調量在5% 以內，選擇KIT∑i=0.5。PWM 開關頻率為50 KHz，則Ts= 0.00002 s，KPWM取0. 85，Toi取0. 0001 s，T∑i=Ts+Toi= 0.00012 s，α暫取為1。電機定子電阻R= 0.044 Ω，定子電感L-M=25 mH，則Tl=La/Ra= 0.0057 s。電流環調節器參數為，Ki= 2.46，τi= 0.0057 s。電流環開環截止頻率為

使用MATLAB 中的Bode 函數繪制電流環調節器加入前后的電流環開環頻率響應曲線，如圖4 所示。系統在進行校正前，電流環開環傳遞函數的截止頻率為2010rad/sec，對應的相角裕度為78°，此時相角裕度過高，需要增大開環截止頻率，減小相角裕度，提高電流環的動態響應速度；加入電流環調節器后，電流環開環傳遞函數的截止頻率為4030rad/sec，相角裕度為59°。工程設計中一般要求將系統的相角裕度控制在45°左右，因此需要對PI調節器的控制參數進行反復調整，最終選擇電流環調節器最優的控制參數KI為5. 32，得到電流環開環傳遞函數的截止頻率為6380rad/sec，對應的相角裕度為46°，完全滿足系統的穩定性和快速性要求。

圖4 電流環校正前后Bode圖Fig.4 Bode diagram before and after current loop correction

2.2 速度環調節器設計

速度環對于系統受到的大負載擾動、位置控制精度以及系統低速時的平穩性等作用非常明顯，其精確設計是保證舵機伺服系統較好地控制性能的關鍵環節［8］。電流環經簡化處理后可作為速度環的一個子環節，將時間常數為Tl和Ton的兩個小慣性環節合并為一個慣性環節，時間常數T∑n=Tl+Ton，則在空載條件下，速度環控制對象的開環傳遞函數可以簡化為

根據調速系統在穩態時無靜差和在動態時應有較好的抗擾動性能的要求，速度環按典型Ⅱ型系統校正［5］。速度環的被控對象由一個積分環節和一個小慣性環節組成，因此速度環采用PI 調節器，對應的傳遞函數為

式中，Kn表示比例系數，τn表示超前時間常數。

速度環經過校正后，得到的開環傳遞函數為

式中，KN=βKn/(τn·J)，表示開環放大系數。

依據震蕩指標最小的準則［5］，選擇調節器的控制參數，速度環的開環增益為

式中，h表示控制系統中頻段的寬度，其數值大小能夠直接影響到系統的調節時間和擾動恢復時間等動態性能［5］，工程設計中h一般取值為4-5 效果較好，本系統中h取5。

Ton取 0. 001 s，T∑n=Ton+Tl=Ton+ 2T∑i=0.00124 s，J= 0.00362 kg × m2，β暫取1。則速度環調節器參數為τn=hT∑n= 0.0062 s，78043.7，Kn=KNτnJ/β= 1.75，截止頻率ωcn=KNτn=483.87。

使用MATLAB 中的Bode 函數，繪制速度環調節器加入前后的速度環開環頻率響應曲線，如圖5 所示。在沒有加入校正環節時，得到的速度環開環傳遞函數的截止頻率為240rad/sec，對應的相角裕度為73°，此時控制系統不能夠滿足系統較高的穩態和較快的響應速度的要求；調整后的速度環開環傳遞函數的截止頻率為404rad/sec，對應的相角裕度為42°，此時的控制系統能夠滿足系統較高的穩定性和較快的響應速度的要求。

圖5 速度環校正前后Bode圖Fig.5 Bode diagram before and after speed loop correction

2.3 位置環調節器設計

速度環經簡化處理后可作為位置環的一個環節，將時間常數為Top、τn和T∑n三個小慣性環節合并為一個慣性環節，時間常數T∑p=Top+τn+T∑n，則位置環控制對象的開環傳遞函數可以簡化為

位置環控制系統設計的基本要求是在保證系統無超調量的前提下，響應速度盡可能快，因此按照典型Ⅰ型系統對位置環控制系統進行校正［5］。本文采用P 調節器對位置環控制系統進行設計，對應的傳遞函數為

式中，KP表示比例系數。

控制系統經過校正后，得到位置環的開環傳遞函數為

為了控制電流的超調量在5% 以內，這里取γKPT∑p= 0.5，Top= 0.01s，τn= 0.0062 s，T∑n=0.00124 s，則T∑p= 0.01744 s，T∑n= 0.00124 s，r 暫 取1。位置環調節參數為KP= 28.67，開環截止頻率為ωcp=KP= 28.67 Hz。

使用MATLAB 中的Bode 函數繪制位置環調節器加入前后的位置環開環頻率響應曲線，如圖6 所示。控制系統在加入位置環調節器之前，開環傳遞函數的截止頻率為1. 15rad/sec，對應的相角裕度接近90°，因此位置環無法保持穩定；加入校正環節后得到的開環傳遞函數截止頻率為27. 2rad/sec，對應的相角裕度為75°，位置環的穩態性能和動態響應性能有待提高。因此將位置環比例系數KP調整到56，此時位置環的截止頻率為49. 5rad/sec，對應的相角裕度為48°，控制系統的穩態性能和動態響應性能都比較滿意。

圖6 位置環校正前后Bode圖Fig.6 Bode diagram before and after position loop correction

3 仿真驗證

在完成控制系統建模和控制器設計后，采用模塊化設計方法在Matlab/Simulink平臺上設計系統仿真模型［9］，具體如圖7 所示，主要包括無刷直流電機本體、轉子邏輯換相、三相逆變橋驅動和舵機控制器四個模塊。參照實際伺服電機性能參數設定電機仿真參數，從系統快速響應性能和跟蹤特性兩方面進行仿真實驗［10］，其中負載設計為隨角度增大而增大的彈性負載。

圖7 控制系統仿真模型Fig.7 Control system simulation model

3.1 快速性能測試

為了測試舵機控制系統的動態響應性能和穩態精度，施加幅值為±10°的階躍信號，測量得到系統響應輸出的仿真結果如圖8 所示。由圖8 可知，系統在＋10°階躍信號激勵下的上升時間為12. 2 ms，調節時間為18. 3 ms，超調量為1. 2%；－10°階躍信號激勵下的上升時間為12. 2 ms，調節時間為18. 3 ms，超調量為1. 2%，滿足舵機伺服系統設計的動態響應性能指標要求。

圖8 階躍信號響應仿真曲線Fig.8 Step signal response simulation curve

3.2 跟隨性能測試

為了測試舵機控制系統的跟蹤性能，分別施加幅值為2°、5°以及頻率為1 Hz、2 Hz 和5 Hz 的正弦波信號。系統在不同正弦激勵信號下的仿真結果如表1 所示。由表1 可知，隨著激勵信號頻率增大，系統響應輸出幅值減小、相移增大、跟蹤誤差增大；隨著激勵信號幅值增大，系統相移增大、跟蹤誤差增大。

表1 跟隨性能仿真結果Tab.1 Simulation results of follow performance

4 結語

本文提出了一種基于工程經驗的PID 設計方法，完成了電動舵機系統控制器設計，給出了電流、速度、位置三閉環調節器結構和控制參數選擇依據，最后利用Matlab/Simulink 工具箱搭建系統仿真模型，設計了控制系統快速響應性能和跟隨特性實驗，仿真結果表明，本文所建立的數學模型能夠準確描述舵機控制系統，控制器穩態精度和響應速度指標均達到設計要求。