不確定分布時滯系統(tǒng)的全局魯棒滑?？刂?/h1>
2021-12-18 08:16:00田柳青
系統(tǒng)仿真技術 2021年3期
田柳青
（呂梁職業(yè)技術學院電子信息系，山西孝義 032300）
在工程控制系統(tǒng)中，常存在影響控制性能的因素。如時滯、外加干擾等。從被控對象建模來看，存在分布時滯，與事物的本質更加接近。如文獻［1］提出的材料熱加工采用的是具有分布時滯的拋物型系統(tǒng)。近幾年，針對分布時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制等問題，各國學者對其進行了廣泛的研究［2-7］。
滑?！敖Y構”是不固定的非線性控制（SMC），具有設計簡單、抗干擾、無需在線辨識等優(yōu)點。所以經常用于控制分布時滯系統(tǒng)中。文獻［8］中，分布時滯系統(tǒng)沒有考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響及設計的自適應滑?？刂破鞫墩駠乐亍Ｎ墨I［9］討論的是含有分布時滯的2-型模糊系統(tǒng)，針對參數(shù)抖動設計了帶有容錯功能的滑?？刂破?。文獻［10］所涉及的中立型系統(tǒng)，含有分布時滯，設計的滑模控制器沒有涉及外部干擾的問題。
通常，傳統(tǒng)SMC 中包含趨近和滑動兩種模態(tài)。為消除趨近模態(tài)易受到不確定性的干擾，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動模態(tài)上，眾多學者針對全局滑模控制進行了研究［11-14］。同時為了更好地解決被控對象外部干擾引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題，文獻［15-17］引入自適應方法，通過自適應律實時估計外部干擾，自適應與滑?？刂频慕Y合改進了控制性能。
本文針對在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的一類復雜分布時滯系統(tǒng)，為實現(xiàn)整個控制過程都處在滑動模態(tài)階段，設計了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動模態(tài)上，實現(xiàn)全局滑模。為證明滑模穩(wěn)定，其充分條件由Lyapunov 泛函結合Jensen 不等式與Schur 補，轉換成LMI 的形式，方便求解。為解決外部干擾引入自適應方法，設計了自適應滑?？刂破?，仿真［18］說明了控制方法有效可行并降低了抖振。
1 系統(tǒng)描述及相關引理
考慮以下一類在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素和外加干擾的分布時滯系統(tǒng)：
其中，x(t) ∈Rn是狀態(tài)變量，u(t) ∈Rm是控制輸入。h1＞0為狀態(tài)時滯，h2＞0為分布時滯。A0，A1，A2∈Rn×n為已知狀態(tài)矩陣，B∈Rn×m為已知輸入矩陣。ΔA0，ΔA1，ΔA2為不確定的系統(tǒng)參數(shù)矩陣。f(x，t) ∈Rn為系統(tǒng)外部擾動。φ(t) ∈Rn為連續(xù)的任意初始狀態(tài)向量函數(shù)。
在全文做如下假設：
假設1對于被控系統(tǒng)（1），所有狀態(tài)可直接測量。其中矩陣B列滿秩，(A0，B)是完全可控的。
假設2不確定項ΔA0，ΔA1，ΔA2，f(x，t) 滿足ΔA0=BE0，ΔA1=BE1，ΔA2=BE2，f=BF的匹配性條件。因此，記F]，則系統(tǒng)（1）可化簡為
假設3存在未知正常數(shù)q1，q2，滿足
為證明滑模穩(wěn)定性，需要下面的引理：
引理1［19］（Jensen不等式）
給定實數(shù)α，β且α＞β及正定矩陣S，則下列不等式成立，即
引理2［20］（Schur補定理）對于對稱矩陣：
則下面三個條件等價。
2 全局魯棒滑模控制器設計
2.1 積分型滑模面設計
對于系統(tǒng)（1），構造如下的帶初始狀態(tài)條件的滑模面：
其中，D∈Rm×n為滿秩常數(shù)矩陣，D的選擇不唯一且滿足DB是非奇異。待定常數(shù)矩陣K∈Rm×n。
對于任意初始條件x(0)，消除了控制到達階段，滑模面（4）都可以滿足S(x(0)，0) = 0。對式（4）求導并代入式（2）得
令S= 0，= 0，解出等效控制律為
將式（5）代入式（2），符合假設1 的理想滑動運動方程為
令
即理想滑動運動方程的簡化形式為
2.2 滑模穩(wěn)定性分析及主要結論
定理1為證明滑模漸進穩(wěn)定，使得下列LMI成立：
其中正定矩陣W，W1，W2是對稱的，Q是適當維數(shù)的矩陣，K=QW-1是狀態(tài)反饋控制增益。
且
證明：設計Lyapunov-Krasovskii泛函數(shù)為
其中，
由引理1得：
其中，
由引理2得公式∑＜0，則＜0
等價于：
針對滑動模態(tài)，為滿足其漸進穩(wěn)定，令P-1=W，用分別左乘、右乘公式，則V·＜0。證畢。
2.3 自適應全局魯棒滑模控制
對于系統(tǒng)（1）設計自適應全局滑模控制器，即
控制律包括兩部分，其中，ucon是連續(xù)部分，udis是不連續(xù)部分。則對于任意初始狀態(tài)，在控制律（9）作用下系統(tǒng)（1）始終處在滑模面上。首先設計ucon，它等于原系統(tǒng)（1）對應的標稱系統(tǒng)（2）在滑模面上的等效控制，即
下面設計udis。由系統(tǒng)的假設3，其中q1和q2是不確定性的上界，是未知的，取和為q1和q2的估計值，參數(shù)偏差為
根據(jù)滑模面選擇適當?shù)淖赃m應律為
不連續(xù)控制律為
其中，ε為正常數(shù)。
將式（10）和（12）代入（9）即可得到完整的自適應全局魯棒滑?？刂坡?，即
定理2對于在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的分布時滯系統(tǒng)（1），在有限時間內，控制律（13）能保證狀態(tài)保持在積分滑模面（4）上。
證明取Lyapunov函數(shù)
沿著式（2）對其求導，得
所以
證畢，即滿足有限時間內，系統(tǒng)（1）在控制律（13）的作用下到達并穩(wěn)定于滑模面（4）上。
由于控制律（13）中符號函數(shù)可能導致嚴重的抖振，飽和函數(shù)為
代替符號函數(shù)可以得到降低抖振的自適應全局魯棒滑?？刂坡桑?/p>
3 仿真實例
考慮系統(tǒng)（1），參數(shù)如下：
通過MATLAB工具箱，求解LMI（7）-（8），得
解得
滑模面為
控制律（13）為
控制律（15）為
設初始條件為x(t) = [ 0.5 1]T，t∈[ -0.6，0 ]
在控制律（13）的作用下自適應參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結果如圖1-5。
圖1 控制律(13)作用下的xFig.1 x with control law(13)
圖2 控制律(13)作用下的SFig.2 S with control law(13)
圖3 控制律(13)作用下的uFig.3 u with control law(13)
圖4 控制律(13)作用下的q1Fig.4 q1 with control law(13)
圖5 控制律(13)作用下的q2Fig.5 q2 with control law(13)
在自適應全局魯棒滑?？刂坡桑?5）的作用下自適應參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結果如圖6-圖10。
圖6 控制律(15)作用下的xFig.6 x with control law(15)
圖10 控制律(15)作用下的q2Fig.10 q2 with control law(15)
由圖1-5 仿真結果表明，在控制律（13）的控制下，狀態(tài)x、滑模面S、控制律u抖振嚴重，控制性能差。通過對比，圖6-10 所設計的自適應全局魯棒滑?？刂破鳎?5）減小了控制抖振，圖6 中系統(tǒng)狀態(tài)曲線更加平滑，響應速度更快。圖7 表明在響應的全過程，消除了控制的到達階段，改善了動態(tài)性能。圖8 表明控制律降低了抖振。通過MATLAB 仿真，結果顯示控制方法有效可行。
圖7 控制律(15)作用下的SFig.7 S with control law(15)
圖8 控制律(15)作用下的uFig.8 u with control law(15)
圖9 控制律(15)作用下的q1Fig.9 q1 with control law(15)
4 結論
針對在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的一類復雜分布時滯系統(tǒng)，本文采用全局滑模的思想，設計了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，消除了傳統(tǒng)滑?？刂破髦械牡竭_模態(tài)，提高了魯棒性能。通過合理構造自適應律解決了外部干擾的問題。用飽和函數(shù)降低系統(tǒng)抖振，曲線更加平滑，仿真結果驗證了本文提出的全局魯棒滑模有效可行。但分布時滯系統(tǒng)結構復雜，控制起來比較困難，其實際的控制方法與穩(wěn)定性能需進一步研究。
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滑?！敖Y構”是不固定的非線性控制（SMC），具有設計簡單、抗干擾、無需在線辨識等優(yōu)點。所以經常用于控制分布時滯系統(tǒng)中。文獻［8］中，分布時滯系統(tǒng)沒有考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響及設計的自適應滑?？刂破鞫墩駠乐亍Ｎ墨I［9］討論的是含有分布時滯的2-型模糊系統(tǒng)，針對參數(shù)抖動設計了帶有容錯功能的滑?？刂破?。文獻［10］所涉及的中立型系統(tǒng)，含有分布時滯，設計的滑模控制器沒有涉及外部干擾的問題。
通常，傳統(tǒng)SMC 中包含趨近和滑動兩種模態(tài)。為消除趨近模態(tài)易受到不確定性的干擾，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動模態(tài)上，眾多學者針對全局滑模控制進行了研究［11-14］。同時為了更好地解決被控對象外部干擾引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題，文獻［15-17］引入自適應方法，通過自適應律實時估計外部干擾，自適應與滑?？刂频慕Y合改進了控制性能。
本文針對在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的一類復雜分布時滯系統(tǒng)，為實現(xiàn)整個控制過程都處在滑動模態(tài)階段，設計了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動模態(tài)上，實現(xiàn)全局滑模。為證明滑模穩(wěn)定，其充分條件由Lyapunov 泛函結合Jensen 不等式與Schur 補，轉換成LMI 的形式，方便求解。為解決外部干擾引入自適應方法，設計了自適應滑?？刂破?，仿真［18］說明了控制方法有效可行并降低了抖振。
1 系統(tǒng)描述及相關引理
考慮以下一類在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素和外加干擾的分布時滯系統(tǒng)：
其中，x(t) ∈Rn是狀態(tài)變量，u(t) ∈Rm是控制輸入。h1＞0為狀態(tài)時滯，h2＞0為分布時滯。A0，A1，A2∈Rn×n為已知狀態(tài)矩陣，B∈Rn×m為已知輸入矩陣。ΔA0，ΔA1，ΔA2為不確定的系統(tǒng)參數(shù)矩陣。f(x，t) ∈Rn為系統(tǒng)外部擾動。φ(t) ∈Rn為連續(xù)的任意初始狀態(tài)向量函數(shù)。
在全文做如下假設：
假設1對于被控系統(tǒng)（1），所有狀態(tài)可直接測量。其中矩陣B列滿秩，(A0，B)是完全可控的。
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假設3存在未知正常數(shù)q1，q2，滿足
為證明滑模穩(wěn)定性，需要下面的引理：
引理1［19］（Jensen不等式）
給定實數(shù)α，β且α＞β及正定矩陣S，則下列不等式成立，即
引理2［20］（Schur補定理）對于對稱矩陣：
則下面三個條件等價。
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2.1 積分型滑模面設計
對于系統(tǒng)（1），構造如下的帶初始狀態(tài)條件的滑模面：
其中，D∈Rm×n為滿秩常數(shù)矩陣，D的選擇不唯一且滿足DB是非奇異。待定常數(shù)矩陣K∈Rm×n。
對于任意初始條件x(0)，消除了控制到達階段，滑模面（4）都可以滿足S(x(0)，0) = 0。對式（4）求導并代入式（2）得
令S= 0，= 0，解出等效控制律為
將式（5）代入式（2），符合假設1 的理想滑動運動方程為
令
即理想滑動運動方程的簡化形式為
2.2 滑模穩(wěn)定性分析及主要結論
定理1為證明滑模漸進穩(wěn)定，使得下列LMI成立：
其中正定矩陣W，W1，W2是對稱的，Q是適當維數(shù)的矩陣，K=QW-1是狀態(tài)反饋控制增益。
且
證明：設計Lyapunov-Krasovskii泛函數(shù)為
其中，
由引理1得：
其中，
由引理2得公式∑＜0，則＜0
等價于：
針對滑動模態(tài)，為滿足其漸進穩(wěn)定，令P-1=W，用分別左乘、右乘公式，則V·＜0。證畢。
2.3 自適應全局魯棒滑模控制
對于系統(tǒng)（1）設計自適應全局滑模控制器，即
控制律包括兩部分，其中，ucon是連續(xù)部分，udis是不連續(xù)部分。則對于任意初始狀態(tài)，在控制律（9）作用下系統(tǒng)（1）始終處在滑模面上。首先設計ucon，它等于原系統(tǒng)（1）對應的標稱系統(tǒng)（2）在滑模面上的等效控制，即
下面設計udis。由系統(tǒng)的假設3，其中q1和q2是不確定性的上界，是未知的，取和為q1和q2的估計值，參數(shù)偏差為
根據(jù)滑模面選擇適當?shù)淖赃m應律為
不連續(xù)控制律為
其中，ε為正常數(shù)。
將式（10）和（12）代入（9）即可得到完整的自適應全局魯棒滑?？刂坡?，即
定理2對于在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的分布時滯系統(tǒng)（1），在有限時間內，控制律（13）能保證狀態(tài)保持在積分滑模面（4）上。
證明取Lyapunov函數(shù)
沿著式（2）對其求導，得
所以
證畢，即滿足有限時間內，系統(tǒng)（1）在控制律（13）的作用下到達并穩(wěn)定于滑模面（4）上。
由于控制律（13）中符號函數(shù)可能導致嚴重的抖振，飽和函數(shù)為
代替符號函數(shù)可以得到降低抖振的自適應全局魯棒滑?？刂坡桑?/p>
3 仿真實例
考慮系統(tǒng)（1），參數(shù)如下：
通過MATLAB工具箱，求解LMI（7）-（8），得
解得
滑模面為
控制律（13）為
控制律（15）為
設初始條件為x(t) = [ 0.5 1]T，t∈[ -0.6，0 ]
在控制律（13）的作用下自適應參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結果如圖1-5。
圖1 控制律(13)作用下的xFig.1 x with control law(13)
圖2 控制律(13)作用下的SFig.2 S with control law(13)
圖3 控制律(13)作用下的uFig.3 u with control law(13)
圖4 控制律(13)作用下的q1Fig.4 q1 with control law(13)
圖5 控制律(13)作用下的q2Fig.5 q2 with control law(13)
在自適應全局魯棒滑?？刂坡桑?5）的作用下自適應參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結果如圖6-圖10。
圖6 控制律(15)作用下的xFig.6 x with control law(15)
圖10 控制律(15)作用下的q2Fig.10 q2 with control law(15)
由圖1-5 仿真結果表明，在控制律（13）的控制下，狀態(tài)x、滑模面S、控制律u抖振嚴重，控制性能差。通過對比，圖6-10 所設計的自適應全局魯棒滑?？刂破鳎?5）減小了控制抖振，圖6 中系統(tǒng)狀態(tài)曲線更加平滑，響應速度更快。圖7 表明在響應的全過程，消除了控制的到達階段，改善了動態(tài)性能。圖8 表明控制律降低了抖振。通過MATLAB 仿真，結果顯示控制方法有效可行。
圖7 控制律(15)作用下的SFig.7 S with control law(15)
圖8 控制律(15)作用下的uFig.8 u with control law(15)
圖9 控制律(15)作用下的q1Fig.9 q1 with control law(15)
4 結論
針對在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的一類復雜分布時滯系統(tǒng)，本文采用全局滑模的思想，設計了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，消除了傳統(tǒng)滑?？刂破髦械牡竭_模態(tài)，提高了魯棒性能。通過合理構造自適應律解決了外部干擾的問題。用飽和函數(shù)降低系統(tǒng)抖振，曲線更加平滑，仿真結果驗證了本文提出的全局魯棒滑模有效可行。但分布時滯系統(tǒng)結構復雜，控制起來比較困難，其實際的控制方法與穩(wěn)定性能需進一步研究。
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