可轉換債券定價方法的比較研究

黃增輝 上海大學悉尼工商學院

一、引言

可轉換債券作為一種金融衍生工具，兼具債券和期權兩種性質。一方面，作為債券，其票面利率通常遠低于普通債券；另一方面，該債券規定有轉股權，即賦予債券持有人將債券按一定比例轉換為企業股票的權利。因此可轉債一經推出便受到發行企業和投資者的青睞。美國鐵道公司于1843 年發行了世界上第一只可轉換債券，由此該品種成了證券市場上的寵兒。我國自20 世紀九十年代才開始發行可轉債，而真正迎來大規模發展的是2017 年再融資新規和減持新規出臺以后。盡管我國可轉債市場發展時間不長，但是可轉債產品的條款設計已經充分借鑒了發達國家的經驗。幾乎所有的可轉債發行條款包含了轉股條款、贖回條款、回售條款以及特別向下修正條款?？赊D換債券研究的核心問題是定價，定價是否合理直接影響到發行企業和投資者雙方的利益，關乎可轉債市場的健康發展。由于可轉債條款的復雜性，如何選擇較為合適的定價方法一直是一個熱點和難點問題。本文接下來對可轉債主要條款的期權屬性進行分析，進而闡釋可轉債的三種常用定價法及其優缺點，最后是結語。

二、可轉債條款的期權屬性

（一）可轉債中的轉股權條款

可轉債中的轉股權允許持有人在一定期限內（國內通常為發行結束六個月后至債券到期日）隨時可將持有的債券按一定比例轉化為發行企業的股票（即正股）。由于用來支付的是債券，其價值是隨機變量，而非轉換價格這一確定金額，因此，轉股權本質上以可轉債中的單純債券兌換正股，是兩種資產交換的期權，屬于奇異美式期權?，F有文獻常用B-S 模型對轉股權定價，事實上，B-S 模型僅適用于標準歐式期權。

（二）贖回條款

該條款是指當發行企業的股票價格上漲超過轉換價格一定幅度后，發行人可以按確定的價格贖回持有人手中的債券。譬如，我國目前發行的可轉債大部分會約定，如果正股連續三十個交易日中至少有十五個交易日的收盤價格不低于當期轉股價格的130%時，發行人就有權贖回持有人手中的可轉債。因此，有條件贖回條款本質上是債券發行人擁有的一份美式買權，基礎變量為單純債券的價值。由于該條款的生效有觸發條件，因此這又是一個障礙期權。

（三）可轉債中的回售條款

該條款賦予持有人在未來一定期限內滿足一定約束條件下有權按既定價格將債券賣給發行企業。這本質上是債券持有人擁有一份賣出期權，基礎變量為單純債券價值。一般而言，回受期為存續期的后幾年，回售觸發價格為當正股價格連續一定天數低于轉股價格的一定比例（通常為70%）時，債券持有人有權將債券按面值加上應計利息的價格回售給發行方。因此，該回售期權為美式賣出障礙期權。

三、可轉債的常見定價方法

（一）可轉債定價的二叉樹法

二叉樹定價法是由Cox，Ross 和Rubinstein（1979）首次提出的。John C.Hull（2001）對二叉樹法及其在可轉債定價中的應用有較詳盡的論述。該方法將一定期限劃分成N 個小的時間間隔Δt，假設在每一間隔Δt內，股價變化只有兩個結果，上漲為u 倍或下跌為d 倍（u，d 分別稱為上升因子和下降因子，且二者之積為1）。運用無套利和風險中性原理，先確定二叉樹圖終端的衍生品價值，然后依次回溯倒推出前期各節點的價值，最終得出初始價值。

下面闡述可轉債定價的二叉樹法的核心內容?？赊D債價值在二叉樹圖各節點的情況分四類：

①在二叉樹圖的最后一個節點T 時刻，債券持有人有兩種選擇：轉股或收取本金和最后一期的利息。此時可轉債價值為：

其中k 為轉股比例，S0為正股當前價格。

②若在節點（i，j）（i＜N，j=0，...，i）上，可轉債不可贖回、不可回售，債券持有人可以選擇繼續持有或轉股。此時可轉債價值為：

其中r為無風險利率，p為風險中性概率。

③若在節點（i，j）（i＜N，j=0，...，i）上，可轉債不可以贖回，但可以回售，債券持有人可以選擇繼續持有、回售或轉股。此時可轉債價值為：

其中P為回售價格。

④若在節點（i，j）（i＜N，j=0，...，i）上，可轉債可以贖回，可以回售，債券持有人可以選擇繼續持有、回售、轉股或接受發行人的贖回。此時可轉債價值為：

其中C 為發行人的贖回價格。

上述各節點情況考慮了可轉換債券附加條款的期權屬性。從T 時刻可轉債價值倒推，最終可得到初始時的可轉債價值V0。

目前國內大多文獻對債券未來期限內（長達六年）采用單一的無風險利率r來計算繼續持有可債券的價值部分，且沒有考慮債券的信用風險。K.Tsiveriotis and C.Fernandes（1998）在可轉債的定價中考慮了發行人的信用風險，Jianbo Huang，Jian Liu，and Yulei Rao（2013）在對可轉債的二叉樹法定價中同時考慮了無風險利率隨機過程和發行企業的信用風險，這些都使得可轉債定價盡可能精確。

盡管二叉樹法在廣度和深度上都是一種比較成熟的定價方法，但二叉樹定價法也有不足之處，主要是路徑復雜，計算量大，且各節點未必能完全準確地描述真實的場景。因此，二叉樹定價法得到的只是一個近似值。

（二）蒙特卡羅模擬法

該方法在可轉債定價中的應用文獻[5]有具體論述。蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬法首先要模擬出大量的正股價格變化路徑。正股價格的變動通常假設服從幾何布朗運動。在風險中性環境下，有dS=Srdt+SσdZ，其中Z 為標準布朗運動。

根據伊藤-德布林公式，股價的對數服從隨機過程：

寫成近似離散形式為

其中，ε服從標準正態分布。

由上式即得

根據此式，通過以下步驟可以模擬計算可轉債的價值：

第一步，以初始股價為基礎，由上式模擬正股價格變化的一個路徑。

第二步，計算在此正股股價格路徑下各附加期權的價值進而得到可轉債價值，按無風險利率折現求出現值。

第三步，重復第一步和第二部，得出不同股價路徑下的可轉債現值。

第四步，將所有路徑下可轉債現值取平均，即得可轉債的價值。

有上述確定可轉債的過程可知，蒙特卡羅模擬的優點是可以考慮正股的大量不同運動軌跡，從而更好地描述可附加期權的價值，盡可能使可轉債定價切合實際。但該方法計算量大，且更為關鍵的是，該方法定價的準確性依賴于正股遵從隨機過程的假設是否合理。

（三）頭寸分解法

頭寸分解法的核心思想是，把可轉換債券分解為單純債券和幾個期權頭寸。這方面的文獻不少，如Paul Borochin etc.（2020）等。對單純債券的當前價值，可用如下公式得出：

該式是假定每年付一次利息。其中I 為利息額，F 為債券面值，Rt為t 期的即期利率。

對可轉債中的附加條款對應的期權，要分別計算。對轉股條款對應的轉股期權，上面第二部分已做了分析，該期權在規定期限內可隨時執行，執行價格是單純債券的價值，為隨機變量，因此轉股期權是可轉債持有人以單純債券來交換正股的兩種資產交換的美式奇異期權。以可轉債到期時為例，記到期單純債券的價值為BT，股票的價值為ST，k 為轉換比例，那么到期轉股權的價值為：由于單純債券到期價值為面值和最后一期利息之和，即，因此有

由此可知，對轉股權采用B-S 模型是一個近似的處理。

至于贖回條款對應的贖回期權、回售條款款對應的回售期權，由于設定有觸發條件，均屬于美式障礙期權。對上述三種期權，均可以利用二叉樹法或隨機微積分理論（文獻[7]對各種奇異期權的求解有專門討論。）對它們分別估值，這里不再闡釋。贖回期權為權利人為可轉債的發行人，而回售期權的權利人為可轉債的持有人。

按照上述方法分別得出各期權的價值后，最終可轉換債券的價值為：單純債券價值+轉股權價值+回售期權價值-贖回期權價值。

這一方法的主要問題在于，可轉債中各期權不是獨立存在的，一個期權的執行意味著其他期權的不復存在，屬于典型的復合期權，各頭寸價值不能簡單加減。這是頭寸分解法在可轉債定價上受限的主要原因。

四、結語

可轉換債券因為附加條款的復雜性及其期權屬性，使得對其合理定價是一個難點問題。相較于B-S 模型和蒙特卡羅模擬，二叉樹法放寬了部分假設條件，適用于歐式、美式期權和奇異期權的定價，同時還可以考慮債券存續期間發行人的信用風險以及無風險利率為隨機過程等情況，從而總體說來更適合于可轉換債券的定價。