軌道車輛用L型壓電懸臂梁振動頻率響應設計

趙屹昀，印楨民，周 炯，彭樂樂，羅文成，鄭樹彬

（1.上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620；2.上海地鐵維護保障有限公司車輛分公司，上海 200031；3.常州路航軌道交通科技有限公司，江蘇 常州 213100）

無線傳感器[1]可以為城市軌道車輛運行狀態提供數據來源，有效保障列車的運營安全。近年來，通過采集環境能量實現無線傳感器自發電的方法已成為一種趨勢[2-3]。其中基于壓電效應的振動俘能結構因能量密度高、結構簡單等優點而受到廣泛關注[4-5]。實現壓電俘能結構的參數設計以達到能量轉換最大化的關鍵在于將其固有頻率與工作頻率相匹配，提高壓電俘能結構能量輸出效率。

匹配壓電俘能結構頻率，一方面通可過優化俘能器的結構參數設計實現，如徐宏鳳等[6]在振動能量收集器的固定端安裝永磁體，通過磁力改變系統剛度，拓寬了裝置的工作頻率，實現能量轉換最大化。張敏等[7]設計了一種陣列式壓電懸臂梁俘能結構，通過安裝多根參數不同的壓電懸臂梁，實現了裝置在多個工作頻率段產生響應。劉少剛等[8]設計了分段式壓電懸臂梁，通過引入碰撞使懸臂梁由線性振動改變為分段線性振動，拓寬了裝置的俘能頻帶寬度。張偉等[9]設計了L型壓電懸臂梁結構，該結構前兩階模態頻率相近，可在低頻處獲得較寬的響應頻段，從而提高能量轉換效率。通過引入磁力或碰撞等方法增加了系統安裝難度，使這種方法較難應用于軌道車輛處于沖擊較大環境中的情況。而L型壓電懸臂梁結構簡單，可靠性高，經過優化設計后可適用于軌道車輛振動能量采集。另一方面，為了計算與匹配俘能結構的固有頻率，有些學者建立了機電耦合數學模型，如Mann等[10]設計一種基于磁力的雙穩態壓電俘能單元，建立機電耦合數學模型，通過仿真與計算實現了俘能結構與環境頻率相匹配；數學模型通常基于歐拉伯努利梁方程、哈密頓原理等物理基礎建立，存在影響參數多、適用條件苛刻等限制。為了解決該問題，有些學者通過有限元法計算仿真結構的模態頻率：繆建等[11]利用ANSYS 有限元軟件，通過對壓電懸臂梁進行仿真分析，得到懸臂梁的振型、固有頻率等輸出結果，并分析幾何尺寸對固有頻率的影響，可針對實際工作頻率進行優化設計。李東明等[12]在ANSYS中對壓電換能器進行諧響應分析，基于仿真結果，對壓電換能器的參數與結構進行優化，使之滿足設計需求。

綜上所述，以上方法通常應用于汽車、輪船等領域，而對于與城市軌道車輛工作頻率相匹配的壓電俘能結構少有研究。本文針對城市軌道車輛環境的特殊性，提出了一種軌道車輛用L 型壓電懸臂梁振動頻率響應俘能結構。利用ANSYS 軟件建立有限元模型，分析結構參數對模態頻率的影響，同時采集車輛振動特征，實現對L 型壓電懸臂梁的參數優化設計。

1 軌道車輛用L型壓電懸臂梁結構及設計方案

圖1為軌道車輛用L型壓電懸臂梁結構圖，該結構可以分為兩部分，第一部分為由固定端伸出的懸臂梁1及質量塊1；第二部分為由質量塊1伸出的懸臂梁2以及質量塊2。其中，懸臂梁1的首端為固定端，懸臂梁2 的末端為自由端。壓電陶瓷居中對稱膠合于懸臂梁上下兩側，組成壓電雙晶片梁。質量塊1和2的質量分別為M1與M2，懸臂梁1和2的長度分別為L1與L2寬度分別為b1與b2厚度分別為h1與h2，壓電陶瓷1和2的長度分別為LP1與LP2。

圖1 L型壓電懸臂梁結構圖

L 型壓電懸臂梁安裝于軌道車輛上，在列車運行過程中，質量塊1和2受外界慣性力的作用而產生垂向機械運動，從而引起壓電陶瓷發生形變產生電荷。當L型壓電懸臂梁固有頻率處于車輛振動主頻附近時，壓電懸臂梁發電量最大。

為了獲取更多能量，圖2給出了L型壓電懸臂梁振動頻率響應設計方案。采用ANSYS 仿真軟件及線形擬合，分析得到了結構參數與模態頻率關系，同時采集某線路列車軸箱振動信號，提取車輛軸箱振動特征。將結構參數與模態頻率關系和振動特征相結合，求解軌道車輛運動狀態下L 型壓電懸臂梁頻率響應結構參數，實現L 型壓電懸臂梁固有頻率與車輛振動頻率相匹配。通過ANSYS 諧響應仿真分析得到L 型壓電懸臂梁頻率響應特征曲線，驗證了設計方法的可行性。

圖2 L型壓電懸臂梁振動頻率響應設計方案

2 軌道車輛軸箱振動特征分析

為了獲取軌道車輛軸箱振動特征，在某線路列車軸箱處安裝加速度傳感器，并對其進行振動信號的采集及頻域分析，如圖3 所示。采用的主要參數如表1所示。

圖3 某線路車輛振動信號采集裝置

表1 軌道車輛振動采集主要參數

因壓電陶瓷采用d31工作模式，對采集到的垂向加速度信號進行傅里葉變換，其結果如圖4所示。

圖4 表明在小于450 Hz 低頻振動工況下，列車振動主頻主要集中分布在19.87 Hz、40.25 Hz 與204.3 Hz處。為了得到適用于軌道車輛振動的壓電頻率響應結構，關鍵在于設計L 型壓電懸臂梁結構參數使其前3階模態頻率與列車振動主頻相匹配。

圖4 某線路車輛軸箱振動信號頻率譜密度圖

3 基于ANSYS 的L 型壓電懸臂梁結構參數與模態頻率關系

3.1 有限元模型

L型壓電懸臂梁的模態頻率ω除了與懸臂梁的楊氏模量E有關外，還與懸臂梁1 和2 的長度L1與L2、寬度b1與b2、厚度h1與h2與質量塊質量M1與M28個結構參數有關。在實際工程應用中，為了降低制作成本往往將L型壓電懸臂梁的兩個部分的結構參數設計成相同的，從而將原有的8 個結構參數減小為4個參數，即懸臂梁1和2的長度L、寬度b、厚度h及質量塊質量M。為了得到L型壓電懸臂梁結構參數與模態頻率之間的關系，利用ANSYS仿真軟件建立L型壓電懸臂梁有限元模型如圖5 所示。采用六面體網絡劃分單元，并設定質量塊網格密度為0.05，懸臂梁1 和2 與壓電陶瓷1 和2 網格密度為0.000 5。選用銅作為懸臂梁材質，PZT-5H 為壓電陶瓷材料，其主要參數如表2和表3所示。

表2 壓電陶瓷的電學材料參數

表3 軌道車輛用L型壓電懸臂梁的材料參數

圖5 L型壓電懸臂梁有限元模型

3.2 模態分析

利用L 型壓電懸臂梁有限元模型，在ANSYS Workbench 軟件中進行仿真得到L 型壓電懸臂梁前6階振型如圖6所示。

由圖6可以看出，1、2階模態的主要形變量發生于垂向方向，并集中于懸臂梁。3、4階模態在懸臂梁處出現扭轉形變，而5、6 階模態主要形變量發生在質量塊上，多為無效形變。由此可得，L型壓電懸臂梁的有效形變主要是由前4階模態振型引起的。進一步由軌道車輛振動特征分析結果可得，選取前3階模態頻率作為軌道車輛用L型壓電懸臂梁振動頻率響應的工作頻率，通過分析其結構參數，使其前3階模態頻率與列車振動主頻相匹配。

圖6 軌道車輛用L型壓電懸臂梁前6階振型

3.3 單結構參數分析

為了研究L型壓電懸臂梁結構參數與模態頻率的關系，利用ANSYS 仿真軟件，分別以懸臂梁的長度、寬度、厚度及質量塊質量為變量，構建有限元模型進行仿真，得到反映單結構參數對模態頻率影響的數據，并繪制結構參數-頻率散點圖，利用最小二乘法線形擬合得到單結構參數與模態頻率關系方程。

為分析質量塊質量對模態頻率的影響，取懸臂梁長度為25 mm，寬度為10 mm，厚度為0.25 mm，僅改變質量塊質量，變化范圍為0～9 g，其他影響參數保持不變，繪制質量相對于模態頻率的散點圖，如圖7所示。從圖7可得，質量塊質量的增加使L型壓電懸臂梁前3階模態頻率整體呈現下降趨勢，其中第3階模態下降明顯；但當質量低于2 g 時，L 型壓電懸臂梁第2階模態頻率線性度稍差，而第1階與第3階模態頻率在0～9 g 范圍內均呈現明顯的負線性相關。對數據進行最小二乘擬合，可得質量塊質量對于L型壓電懸臂梁前3 階模態頻率的回歸方程見式(1)至式(3)。

圖7 質量對L型壓電懸臂梁模態頻率的影響

為分析懸臂梁厚度對模態頻率的影響，取懸臂梁長度為25 mm，寬度為10 mm，質量塊質量為7 g，僅改變懸臂梁厚度，其變化范圍為0.2 mm～0.3 mm，其他影響參數保持不變，繪制厚度相對于模態頻率的散點圖如圖8所示。

圖8 厚度對L型壓電懸臂梁模態頻率的影響

從圖8 可知，隨著厚度增加，L 型壓電懸臂梁的模態頻率呈現明顯的線性上升趨勢。通過擬合，可得到擬合優度R2大于0.99 的回歸方程，說明L 型壓電懸臂梁厚度與L型壓電懸臂梁模態頻率存在較為理想的線性關系。對數據進行最小二乘擬合，可得L 型壓電懸臂梁厚度對于前3 階模態頻率的回歸方程見式(4)至式(6)。

為分析懸臂梁長度對模態頻率的影響，取質量塊質量為7 g，寬度為10 mm，厚度為0.25 mm，僅改變懸臂梁長度，其變化范圍為22 mm～40 mm，其他影響參數保持不變，繪制長度相對于模態頻率的散點圖如圖9所示。

圖9 長度對L型壓電懸臂梁模態頻率的影響

通過觀察關系曲線可知，當長度低于25 mm時，L 型壓電懸臂梁長度與第3 階模態頻率的線性度稍差；當長度處于25 mm～40 mm范圍內，模態頻率與懸臂梁長度趨于線性負相關，下降趨勢與圖7類似。對數據進行最小二乘擬合，可得懸臂梁長度對于L型壓電懸臂梁前3階模態頻率的回歸方程見式(7)至式(9)。

為分析懸臂梁寬度對模態頻率的影響，取質量塊質量為7 g，懸臂梁長度為25 mm，厚度為0.25 mm，僅改變懸臂梁寬度，其變化范圍為10 mm～15 mm，其他影響參數保持不變，繪制寬度相對于模態頻率的散點圖如圖10所示。

圖10 寬度對L型壓電懸臂梁模態頻率的影響

從該圖可知寬度對L 型壓電懸臂梁的前3 階模態頻率影響較小，在設計時僅要求其滿足強度需求即可。對數據進行最小二乘擬合，可得懸臂梁寬度對于L型壓電懸臂梁前3 階模態頻率的回歸方程見式(10)至式(12)。從該回歸方程也可看出，回歸系數較小，故在后續建模與優化過程中，剔除寬度對于模態頻率的影響。

3.4 多結構參數與模態頻率關系

由單結構參數分析結果可知，L 型壓電懸臂梁的模態頻率ω與單個結構參數線性相關性明顯，且結構參數之間顯然不存在共線性。因此擬采用多元線性回歸的方法建立L型壓電懸臂梁模態頻率多結構參數模型。設第i階模態頻率與結構參數L、M、h之間的線性回歸模型為：

式中：Ai、Bi、Ci和Di為該模型的標準回歸參數。

在SPSS軟件中對數據進行多元線性回歸，統計結果見表4。

表4 多元線性回歸統計量

由統計結果可看出，在顯著性水平0.05 的條件下，1階模態頻率多元線性回歸中，A1、C1和常數項D1通過了顯著性檢驗，而B1的顯著性水平為0.198，未通過顯著性檢驗，因此可認為質量M與L 型壓電懸臂梁的1階模態頻率沒有關聯，需要剔除該變量重新進行多元線性回歸，如表5 所示。此外，2 階模態頻率與3階模態頻率的參數回歸統計量均在0.05顯著性水平下通過檢驗，可認為3個自變量均與2階、3階模態頻率有較強相關性。

表5 1階模態頻率多元線性回歸統計量（剔除M）

剔除質量M后，A1、C1包括常數項D1在內，均在0.05 顯著性水平下通過顯著性檢驗。由表4 與表5可得L 型壓電懸臂梁前3 階模態頻率多結構參數模型：

4 仿真驗證

為了實現軌道車輛用L型壓電懸臂梁的優化設計，結合某線路列車軸箱振動特征，將ω1、ω2與ω3代入式(14)至式(16)，可得一組非齊次線性方程組。經過計算，該方程組的系數矩陣滿秩，且與增廣矩陣秩相同，即該方程組存在唯一解，使該參數條件下的L型壓電懸臂梁符合軌道車輛振動特征，最終確定軌道車輛用L型壓電懸臂梁參數如表6所示。

為驗證上述設計方案的有效性，將表6 中參數代入有限元模型，在ANSYS中通過完全法對結構進行諧響應分析，設定垂向加速度載荷為2 m/s2，可在0 至250 Hz 頻率范圍內，得到L 型壓電懸臂梁頻率響應曲線，并與某線路車輛軸箱振動信號頻率譜密度圖對應，如圖11所示。

表6 軌道車輛用L型壓電懸臂梁結構參數

圖11 軌道車輛用L型壓電懸臂梁頻率響應圖

圖11表明L型壓電懸臂梁頻率響應趨勢與軌道車輛軸箱振動特征一致，在0至250 Hz范圍內產生3處響應頻段；經過參數設計，L 型壓電懸臂梁在19.901 Hz、41.599 Hz與203.71 Hz處產生響應，實現了固有頻率與城市軌道車輛軸箱環境的工作頻率相匹配。

計算前3 階模態頻率的仿真值，并與真實值對比，結果如表7 所示。從結果可知，前3 階模態頻率的誤差值均處于2 Hz以內，說明采用本文設計方法所得L型壓電懸臂梁的模態頻率符合軌道車輛軸箱振動特征。

表7 軌道車輛用L型壓電懸臂梁模態頻率表/Hz

5 結語

基于L 型壓電懸臂梁結構，針對軌道車輛軸箱振動特征提出了一種利用有限元分析軟件與多元線性回歸相結合的結構參數求解方法，解決了懸臂梁結構設計頻段與環境振動頻率難以匹配的問題。通過現場采樣、分析、仿真與數據處理可得如下結論：

（1）通過有限元分析與多元線性回歸，設計了軌道車輛用L型壓電懸臂梁的參數。懸臂梁長度為29.6 mm，厚度為0.249 mm，寬度為10 mm，配合質量為8.23 g 的質量塊，可使L 型壓電懸臂梁在19.901 Hz、41.599 Hz、203.71 Hz處產生響應，使結構的前3階模態頻率與某線路車輛軸箱振動特征相匹配，且誤差均小于5%。

（2）經測試可知，在某線路站點區間列車軸箱振動信號在19.87 Hz、40.25 Hz、204.3 Hz 處出現峰值。

（3）L 型壓電懸臂梁的前3 階模態頻率ωi與懸臂梁長度、寬度、厚度、質量塊質量線性相關性明顯。其中，與質量塊質量M、懸臂梁長度L負線性相關，與懸臂梁厚度h正線性相關，而懸臂梁寬度b對其影響較小。

（4）基于擬合結果，在單結構參數分析中忽略懸臂梁寬度b對后續多元回歸的影響。在建立L型壓電懸臂梁模態頻率多結構參數模型的過程中，由于顯著性檢驗不通過，剔除質量塊質量M對第1 階模態頻率的影響。