基于非線性能量阱的彈性支承梁振動抑制

符 翔，彭 劍，童俊輝，顏世軍

（湖南科技大學 土木工程學院 結構抗風與振動抑制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201）

梁結構作為基本構件廣泛應用于工程結構，其在外部荷載和環境作用下易發生大幅振動。特別是在大跨度斜拉橋中，梁結構的振動往往會導致斜拉索的大幅振動，能量在各子結構之間傳遞，易激發系統的大幅振動。因此，梁的振動抑制成為實際工程中的亟需解決的問題之一[1]。

振動抑制技術中常見的方法為附加阻尼裝置，其中的調諧質量阻尼器（Tuned mass damper，TMD）工作頻帶較窄，對激勵的響應不敏感，當子系統能量積累至一定值時，TMD才能對主結構振動起到抑制效果，當結構阻尼比較大時，TMD 的抑制效果下降[2]。而非線性能量阱(Nonlinear energy sink，NES)由于具有質輕、工作頻帶寬、能量單向傳遞等優點，在振動控制領域得到學者的廣泛關注。工作原理為多自由度非線性振動系統在特定條件下會出現靶向能量傳遞現象(Targeted energy transfer，TET)[3]，或者能量泵浦現象(Energy pump)現象[4]，從而可實現非線性振動系統的減振[5－6]。王杰[7]等針對一種新型非線性微振動流體隔振器的Octo-strut平臺，對其振動耦合性、安全冗余性等動力學特性進行了理論分析和數值仿真驗證。張新華和曹保鋒[8]基于非線性模態動力學理論，針對一個兩自由度非線性振動系統，給出了其頻能圖以及內共振情形下的局部化非線性模態。Yao 等[9]研究了接地NES 對轉子系統的減振問題。Tian等[10]研究了利用NES對三維梯形機翼的非線性氣動彈性行為的振動抑制問題。李爽等[11]研究艦船設備受外部沖擊激勵擾動時NES 的振動抑制效果。劉艮和張偉[12]利用NES對在航空航天領域應用廣泛的懸臂矩形板進行減振研究。王菁菁等[13]對一個兩自由度主體結構附加SSVI 軌道NES 進行了理論分析、數值優化和試驗驗證。劉濤等[14]通過線性減振彈簧構建具有NES的Duffing振子，提出一種切實可行的NES 減振系統構建方法。Geng 等[15]提出了帶有分段線性彈簧的有限非線性能量吸收器。Gomez等[16]開展了基于NES的結構系統地震響應振動抑制的優化設計研究。

本文在現有研究基礎上，利用NES 技術的優勢，采用NES 對彈性支承梁進行振動抑制研究，分析了在不同參數下，彈性支承梁的非線性主共振動力響應。基于能量法則，得到了彈性支承梁及NES耗散能量隨時間變化的關系圖，分析了NES 的能量耗散效果。

1 數學模型及控制方程

圖1 為軸力作用下彈性支承梁，并附加NES 進行振動抑制。其中梁假定為Euler-Bernoulli梁，不可伸長且忽略其扭轉和剪切變形。

圖1 附加NES彈性支承梁振動抑制系統示意圖

基于Hamilton原理，考慮軸力、彈性支座和外激勵作用，可得受控梁的運動方程為[17－18]：

邊界條件為：

其中：v和y分別表示受控梁和NES 的位移，m、c分別表示梁的線密度、阻尼，E為梁的彈性模量，A為梁的橫截面積，l為梁的長度，p(t)為軸向作用力，kc為梁的彈性剛度系數，I為截面慣性矩，f、Ω分別為外激勵的幅值和頻率，k、ξ、mNES分別表示非線性能量阱的非線性剛度、阻尼系數和質量，δ是Kronecker函數。

運用Galerkin方法對位移函數v(x,t)進行展開：

其中：φn(x)為振型函數，表達式如下[17]：

其中：ri由以下超越方程給出：

將式(4)代入式（1）、式（2），并進行Galerkin 積分，可以得到：

其中：

2 數值仿真

本節研究不同參數下NES 對彈性支承梁的非線性主共振的振動抑制效果，即Ω=ωn+σ，(σ為調諧參數)。運用能量法對受迫激勵下系統總能量、NES耗散的能量、外部輸入能量進行分析。梁的幾何尺寸和材料特性參數選取如下：

根據能量準則[2,18]，系統總能量為：

輸入能量是總能量在零時刻的值與外部激勵提供的能量的總和，其表達式為：

其中：

NES耗散的能量為：

假定μ=0.012，f=0.008。取NES參數為：k=10，ξ=0.06，σ=0.46，xc =L/4，比較NES 質量比ε對結構響應的影響，分別取ε為0.05、0.1和0.2，得到梁的響應曲線如圖2所示。

圖2 不同ε值下帶NES主共振響應對比圖

設定ε=0.01,xc=L/8，其他參數不變，分析非線性剛度對結構的影響。取NES 的非線性剛度系數為100、300 和500，得到3 種取值下的主結構響應如圖3 所示。圖2 是不同ε值、k值下附加了NES 的彈性支承梁時程曲線。從中可知，NES質量越大，其減振效果更好。而從圖3 中可以發現，隨著非線性剛度的改變，梁的振動幅值變化并不明顯。

圖3 不同k值下帶NES主共振響應對比圖

取不同阻尼系數值ξ=0.05、0.07、0.09，設定k=100，ε=0.01，xc =L/4，彈性支承梁在不同阻尼系數下的響應曲線如圖4所示?？梢钥闯鯪ES的阻尼對主結構減振起到主要作用，阻尼比越大效果較好。

設定ξ=0.06，ε=0.01，k=200，得到NES 處于梁不同位置時的主結構響應如圖5 所示。可以得知，NES 在梁的L/8 和L/4 處的減振效果比L/2 處的更好。從圖4 和圖5 可以看出，當NES 參數選取合理時，NES減振效果顯著。

圖4 不同ξ值下帶NES主共振響應對比圖

圖5 NES不同安裝位置時主共振響應對比圖

圖6 為系統能量圖。輸入能量、總能量和NES消耗能量之間的關系是Etot=EInput-。其中，Etot為系統總能量，為NES耗散能量，EInput為輸入能量?？傁到y在附加NES 的情況下，能量明顯減少。輸入能量和總能量的走勢大致相同，NES 消耗的能量在t=10 s 時有一個小高峰，之后趨于平穩，NES 對主結構振動起到了明顯抑制作用。

圖6 系統能量圖

3 結語

本文研究了NES 作用下彈性支承梁主共振的振動抑制，運用能量法分析得到了該系統能量變化規律。通過數值仿真，得出結果如下：

(1)采用NES可以有效抑制其大幅振動，其主共振響應受非線性能量各參數影響；

(2)調整NES非線性剛度、阻尼、質量和位置，可以得到較好的振動抑制效果；

(3)非線性剛度和質量對減振幅值影響較小，僅使時程曲線產生偏移，幅值上沒有明顯變化。起主要抑制振動作用的元器件是阻尼部分，由結果可以看出，隨著阻尼比增大，減振效果越來越好。