滾動軸承-裂紋轉子系統動力學特性分析

宋傳沖，南國防，樓劍陽

（上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093）

轉子系統是大型旋轉機械的重要組成部分，其長期在高溫、高壓、重載、高速等惡劣環境下工作，受材料屬性及使用的長期性影響，轉軸上會產生疲勞裂紋，裂紋的擴展會導致轉子的橫向振動加劇，嚴重時會發生碰摩現象[1]。

目前國內外學者在故障轉子方面進行了大量研究，Patel等[2]基于試驗和數值仿真，采用呼吸裂紋模型，將轉子系統采用集中質量模型進行簡化，研究了帶有裂紋Jeffcott 轉子系統出現碰摩時的動力學特性，分析了系統的穩態振動響應。向玲等[3－5]在考慮非線性油膜力的基礎上建立了裂紋-碰摩轉子模型，分析了無量綱裂紋深度和轉速對系統響應、穩定性及碰摩力的影響，并做了相關的實驗研究。王海飛等[6]建立了以氣浮軸承為支承的裂紋-碰摩耦合故障轉子模型，發現發生此故障的轉子系統存在周期、擬周期以及混沌運動現象，為轉子系統安全工作提供理論依據。申倩等[7]以滾動軸承支承的雙跨裂紋轉子為研究對象，在考慮碰摩故障的基礎上，分析了裂紋擴展、裂紋角等對系統響應的影響。何振鵬等[8]對產生裂紋-碰摩-松動耦合故障發動機轉子系統通過數值分析了轉子不平衡量、碰摩剛度、松動端軸承座質量對系統的影響，楊丹等[9]考慮初始彎曲建立裂紋-碰摩耦合故障轉子模型，結合分叉圖和龐加萊截面分析了初始彎曲和裂紋深度對系統振動響應特性的影響。翁雷等[10-11]在考慮非線性氣流激振力的情況下，分別對裂紋、碰摩故障轉子系統進行分析，陶海亮等[12]運用多種時頻分析相結合的方法較為全面地研究了轉子的故障特征，發現裂紋轉子在1/5、1/3臨界轉速時會發生較明顯的5X、3X 諧波。胡愛軍等[13]開展了裂紋-碰摩轉子的實驗研究，采用了全譜分析方法對其故障特征進行了分析，發現了相對于傳統傅里葉頻譜分析，全譜分析方法能準確識別3類故障。Zhaohui 等[14]研究了多自由度雙盤轉子軸承系統在不同碰摩間隙和不同裂紋深度條件下的動力學特性。Huang 等[15]提出了一種改進的呼吸裂紋模型，并研究了裂紋深度和裂紋角度對裂紋轉子動力學特性的影響。

雖然對轉子耦合故障開展了一定的研究，但大部分工作主要針對汽輪機滑動軸承支承下的轉子系統，對發動機滾動軸承支承下發生耦合故障的轉子系統的研究較少，因此有必要對滾動軸承支承下的裂紋-碰摩耦合故障轉子系統的振動特性進行深入分析。本文考慮呼吸裂紋、滾動軸承非線性赫茲接觸和碰摩力，建立了滾動軸承支承下含橫向裂紋的轉子系統，采用Runge-Kutta 方法對裂紋-碰摩耦合故障導致的系統非線性動力學行為進行研究。

1 裂紋-碰摩耦合故障轉子系統

本文以兩端為滾動軸承支承的含有裂紋-碰摩耦合故障轉子系統為研究對象，忽略扭轉振動和陀螺力矩，只考慮轉子的橫向振動，如圖1所示。轉子兩端采用滾動軸承支承，其中m1、c1分別為轉子在軸承處的集中質量和結構阻尼，m2、c2分別為轉軸中央圓盤的等效質量和結構阻尼，O1、O2分別為軸承幾何中心和圓盤幾何中心，O3為圓盤質心，轉子與軸承之間為無質量彈性軸，在靠近圓盤處有一橫向弓形裂紋。

圖1 裂紋-碰摩故障轉子系統示意圖

1.1 裂紋軸剛度模型

圖2為轉軸裂紋處橫截面示意圖，其中xoy為絕對坐標系，ξo′η則為固定在轉軸上的坐標系，o′ξ方向為裂紋擴展方向，o′η方向與裂紋擴展方向垂直，ψ為轉子的渦動角，ω為轉速，θ=ωt為自轉角，φ=θ+β-ψ為轉渦差角，β為不平衡量與裂紋擴展方向的夾角，考慮呼吸裂紋，裂紋軸的剛度矩陣可表示為

圖2 裂紋軸橫截面示意圖

式（1）中，Δkn(n=ξ,η)為轉子裂紋軸剛度在ξ、η方向變化量[16]；k為無裂紋時轉軸的剛度；f(φ)為描述裂紋開閉的函數，本文使用高建民等[17]提出的綜合模型，開閉函數如下：

式中：α為裂紋夾角的一半，cosα=,其中R為轉軸半徑，h為裂紋深度。

1.2 碰摩力模型

為了研究方便，不考慮轉子在運行過程中由于摩擦而產生的熱效應，且認為轉子與定子之間的碰撞為彈性碰撞。轉子碰摩模型如圖3所示。假設轉子系統在靜止時轉子與定子之間的間隙為δ，當發生碰摩時，其法向碰撞力與切向摩擦力可表示為：

圖3 碰摩力模型示意圖

其中：O1O2=為轉子的相對徑向位移；kr為定子的徑向剛度，f為轉子與定子之間的摩擦系數。在xoy坐標系中，碰摩力可以表示為：

1.3 滾動軸承支承模型

圖4是滾動軸承模型示意圖，其包括內圈軌道、外圈軌道、滾珠和保持架，滾珠在軌道內既有繞轉軸中心的公轉也有繞自身中心的自轉。假設軸承內滾珠在內外軌道之間等距排列，滾珠在軌道間的運動為純滾動，滾動軸承將受到來自轉子不平衡激勵所產生的強迫振動，其振動頻率為轉子的旋轉頻率，同時滾動軸承也將產生由于軸承總剛度連續周期變化而形成的VC(Varying compliance)振動。設一滾珠與外圈接觸點的線速度為vo，與內圈接觸點的線速度為vi，軸承外圈的旋轉角速度為ωo，軸承內圈的旋轉角速度為ωi，外圈軌道半徑為Ro，內圈軌道半徑為Ri，則：

圖4 滾動軸承模型示意圖

保持架的線速度為vc=(vo+vi)/2，由于外圈固定，則vo=0，所以vc=vi/2=(ωiRi)/2，進而得到保持架的角速度為：

由于內圈固定在轉軸上，內圈與轉軸轉速相等，即ωi=ω，Nb為軸承的滾珠個數，設第j個滾珠的接觸角度為：

設內圈中心在x和y方向產生的振動位移分別為x和y，軸承間隙為r，則第j個滾珠與軌道的法向接觸變形量為：

由非線性赫茲接觸理論，只有δj＞0 時才有作用力，利用亥維賽函數H(?)，當函數自變量大于0時，函數值為1，否則函數值為0。所以滾動軸承在x和y方向上的軸承力可以表示為：

1.4 系統的運動微分方程

假設轉子系統左側軸承處的徑向位移為(x1,y1)，轉子圓盤處的徑向位移為(x2,y2)，根據拉格朗日方程建立含裂紋-碰摩耦合故障轉子系統的運動微分方程：

2 仿真結果與分析

由于系統運動微分方程式(10)存在極強的非線性，所以這里使用4階Runge-Kutta法對其進行數值積分求解，并且舍去前300 個周期的結果來消除瞬態響應，進而得到系統的分岔圖等。系統的主要參數如下：m1=4 kg，m2=32.1 kg，k=2.5×107N/m，c1=1 050 N·m·s-1，c2=2 100N·m·s-1，f=0.1，kr=3.5×107N/m，δ=2×10-5m，Ro=63.9 mm，Ri=40.1 mm，Nb=8，Cb=13.34×109N/m1.5，r=4 μm，e=1×10-5m。

2.1 轉速對系統振動響應的影響

圖5為轉子系統振動響應隨轉速ω變化的分岔特性。從圖5可以看出，隨著轉速ω的增大，系統逐漸表現出不同的非線性特征，系統先后經歷了擬周期運動、周期1 運動、周期3 運動、短暫的擬周期運動、周期3 運動、周期5 運動、擬周期運動、周期1 運動、周期2 運動、擬周期運動、混沌運動、周期3 運動等運動形式。

圖5 系統振動響應隨轉速變化的分岔圖

區間（100 rad/s～500 rad/s）為擬周期運動，在轉速ω=300 rad/s 時的頻譜圖如圖6(b)所示，存在離散且不可公約的譜線，且圖6(c)所示Poincare截面圖是一條閉合的曲線，同時圖6(a)所示時域圖中出現拍振現象，這是因為系統同時存在旋轉頻率和VC 頻率，所以其表現為擬周期運動；區間（100 rad/s～500 rad/s）為周期一運動，在轉速ω=1 000 rad/s 時，其Poincare 截面圖呈現為一孤立相點，如圖7(c)所示，這是由于隨著轉速的增加，其旋轉頻率增大，系統的VC振動頻率相對微弱，所以系統表現為穩定的周期1運動形態；區間（1 840 rad/s～2 290 rad/s）為周期二運動，當轉速ω=2 000 rad/s時，在其頻譜圖中出現基頻和1/2基頻，如圖8(b)所示，且圖8(c)所示Poincare截面圖中存在兩個孤立的相點；所以其表現為周期二運動，區間（2 695 rad/s～2 865 rad/s）為混沌運動，當轉速ω=2 695 rad/s 時，在其頻譜圖中存在寬噪聲背景連續譜特征，如圖9(b)所示，從圖9(a)可見，其時域圖貌似隨機，但永不重復。

圖6 ω=300 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

圖7 ω=1 000 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

圖8 ω=2 000 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

圖9 ω=2 695 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

2.2 裂紋角對系統振動響應的影響

圖5、圖10、圖11 和圖12 分別為裂紋角β=π/2、0、π、3π/2時系統隨轉速變化的分岔圖，對比各裂紋角的分岔圖可得，當裂紋角β=0、π（裂紋擴展方向與不平衡量方向共線）時，系統到達臨界轉速ω=1 325 rad/s時的橫向位移分別為4.797×10-5m、-4.783×10-5m，橫向位移方向相反且絕對值基本相同，遠小于當裂紋角β=π/2、3π/2（裂紋擴展方向與不平衡量方向垂直）時的系統的橫向位移，當裂紋角β=0、π/2 時，其到達臨界轉速時橫向位移皆為正數，而β=π、3π/2時相反，且由圖10與圖11可知，其到達臨界轉速后，橫向位移逐漸減小，并未立即發生跳躍，系統相較而言更為穩定，而圖12與圖5中不同的是，系統到達臨界轉速后，則立即發生跳躍，在超臨界轉速區間，圖10與圖11的周期二運動極為不同，當不平衡量方向與裂紋擴展方向一致時，其周期二運動的橫向位移間距呈現逐漸縮小的趨勢，而當不平衡量方向與裂紋擴展方向相反時，其橫向位移間距逐漸增大。

圖10 裂紋角β=0時系統隨轉速變化的分岔圖

圖11 裂紋角β=π時系統隨轉速變化的分岔圖

圖12 裂紋角β=3π/2時系統隨轉速變化的分岔圖

圖13為轉速等于1 400 rad/s時系統隨裂紋角變化的分岔特性，從圖中可以發現，裂紋角β在0～2π區間內，隨著β的增大，系統分岔曲線整體大致呈現正弦曲線趨勢，從而證明了系統在不同的裂紋角下的亞臨界轉速的運動特性存在明顯的差異性，據此可以作為判斷裂紋位置的輔助依據。

圖13 定轉速時系統隨裂紋角β變化的分岔圖

2.3 裂紋深度對系統振動響應的影響

由于裂紋深度的不同，會對系統的非線性振動產生不同的影響。圖14、圖15和圖16分別為無量綱裂紋深度h/R為0.4、0.6、0.8時轉子系統隨著轉速變化的分岔圖，對比圖5與圖14可得，當無量綱裂紋深度較小時，裂紋深度的改變對系統振動響應的影響不大。

圖14 h/R=0.4時系統響應隨轉速變化的分岔圖

圖15 h/R=0.6時系統響應隨轉速變化的分岔圖

圖16 h/R=0.8時系統響應隨轉速變化的分岔圖

當無量綱裂紋深度加深至0.6、0.8時，在低轉速區間，系統的橫向振幅隨著裂紋深度的加深而逐漸增大，在臨近到達臨界轉速時，無量綱裂紋深度為0.6、0.8的系統出現短暫的擬周期運動。隨著裂紋深度的增大，系統在高速區的擬周期運動發展為擬周期和多周期交替運動，且擬周期運動窗口逐漸減小，多周期運動窗口逐漸增大。這些現象均說明了裂紋的發展會導致系統的非線性和不穩定性增強。

2.4 定子剛度對系統振動響應的影響

圖17 為定子剛度為3.5×106N/m 的系統振動響應隨轉速變化的分岔圖，圖18(a)、圖18(b)分別為定子剛度為3.5×107N/m、3.5×106N/m 的系統響應瀑布圖。

圖17 kr=3.5×106 N/m時系統隨轉速變化的分岔圖

對比圖5與圖17可知，在低轉速區間內，定子剛度對系統振動響應影響不大，在其瀑布圖中的低轉速區間，兩系統都相應存在VC頻率和基頻；定子剛度較小的系統臨界轉速為1 155 rad/s，比定子剛度大的系統提前300 rad/s，這是因為定子剛度是額外增加的轉軸彎曲剛度，發生碰摩時定子剛度越小，系統臨界轉速也就越小，且由圖17 可見，臨界轉速處的橫向位移要比圖5 中臨界轉速處的位移大3.91×10-5m，在亞臨界轉速區間1/2 臨界轉速附近，兩系統都存在2倍頻，且在超臨界轉速區間，兩系統都存在分頻，圖18(a)在分頻附近存在較多伴隨成分。

圖18 不同定子剛度的系統振動響應瀑布圖

3 結語

本文建立了以滾動軸承為支承的含裂紋-碰摩耦合故障轉子系統模型，運用數值積分方法，研究了轉速、裂紋深度、裂紋角和定子剛度對系統非線性動力學特性的影響規律。主要結論如下：

（1）在低轉速區間，系統存在滾動軸承支承條件下特有的擬周期運動，這是由于系統同時存在旋轉頻率和VC頻率，在亞臨界轉速區間，隨著轉速的增加，系統旋轉頻率逐漸增大，VC頻率相對微弱，呈現周期一運動，且存在2 倍頻，在超臨界轉速區間，系統存在較多分頻。系統出現了多周期、擬周期和混沌等豐富的動力學運動。

（2）當裂紋擴展方向與不平衡量方向共線時，其臨界轉速為1 325 rad/s，相比垂直時約提前120 rad/s，橫向位移僅約為垂直時的一半，且系統到達臨界轉速后并沒有立即發生跳躍，而是橫向位移逐漸減小，反觀不平衡量與裂紋擴展方向垂直時的系統，其到達臨界轉速后立即發生跳躍，沒有緩沖區，但跳躍點的轉速基本一致，在定轉速時隨著β的增大，系統分岔曲線整體大致呈現正弦曲線趨勢，從而證明了系統在不同的裂紋角條件下的亞臨界轉速區間運動特性存在明顯的差異性，據此可以作為判斷裂紋位置的輔助依據。

（3）在無量綱裂紋深度較淺時，裂紋深度的增加對系統振動響應幾乎沒有影響，當無量綱裂紋深度加大，導致低轉速區間橫向位移增大，隨著裂紋的擴展，系統在高速區的擬周期運動發展成為擬周期運動和多周期交替運動，且擬周期運動窗口逐漸減小，多周期運動窗口逐漸增大，這些現象均說明了裂紋的擴展會導致系統的不穩定性增強。

（4）當發生碰摩時，其碰摩剛度是附加的轉軸彎曲剛度，會導致系統的臨界轉速后移，施加碰摩力會導致其達到臨界轉速時的橫向位移減小，且碰摩剛度的增大會導致在超臨界轉速區間分頻附近存在伴隨成分。