基于區段磨耗鋼軌典型廓形的打磨設計方法

林鳳濤，史振帥，楊 洋，肖 乾，張 海，王松濤

(華東交通大學 載運工具與裝備教育部重點實驗室, 南昌 330013）

隨著鐵路運營里程的增加，越發嚴重的輪軌磨耗問題已經成為影響列車運行穩定性、增加鋼軌維護成本的主要因素。設計合理的鋼軌打磨型面是保障輪軌匹配特性、提高列車運行安全性、控制運營成本的一種有效手段。

國內外在早期就已經進行鋼軌打磨廓形的研究，1991年Magel等[1]設計出了匹配北美重載鐵路系統的8 個打磨型面的模板，優化了列車通過性能并提升了鋼軌壽命周期。在2005年Sato[2]設計的型面廣泛地應用到新干線，降低了輪軌磨耗，取得良好的經濟效益。2013年Choi等[3]采用遺傳算法對地鐵曲線段鋼軌磨耗型面進行優化，使曲線段偏磨現象有所改善。金學松等[4]結合車輛軌道耦合動力學和經濟學指標對鋼軌打磨方案進行綜合優化。

對于鋼軌打磨廓形的設計，崔大賓等[5]提出一種基于輪軌接觸界面法向間隙的鋼軌踏面設計方法，為新鋪設鋼軌預打磨及預防性打磨方案的設計提供理論依據?；诂F場觀測和相關動力學仿真，王軍平等[6]提出了個性化鋼軌廓形打磨方案。丁軍君等[7]等利用Savitzky-Glay 法對鋼軌廓形數據進行平滑處理，并且采用算術平均法來擬合鋼軌廓形。針對我國高速鐵路存在的兩種典型的鋼軌打磨偏差，池茂儒等[8]通過仿真分析了軌肩過度打磨和軌頭過度打磨對輪軌接觸匹配的關系。周清躍等[9]根據我國高速鐵路上運行車輛的車輪型面，設計鋼軌的預打磨軌頭廓形，有效改善了輪軌的接觸狀態。王璞等[10]建立輪軌磨耗演化的數值仿真模型，對75 kg/m鋼軌型面進行優化設計。Gerlici等[11]提出了一種通過迭代方法改變剖面圓弧半徑的鋼軌型面設計方法。

目前鋼軌打磨目標廓形的設計大多是以鋼軌的最大磨耗廓形為基礎，將磨耗鋼軌打磨成設計的目標廓形。選取的磨耗鋼軌廓形不能完整地呈現出整個鋼軌的磨耗狀況，設計的打磨目標廓形存在鋼軌過度打磨、軌頂材料去除過量等問題。本文通過弗雷歇距離法，在不同服役期內的鋼軌磨耗廓形中選取磨耗代表廓形，基于非均勻有理B 樣條曲線算法設計鋼軌打磨目標廓形，從而可減緩鋼軌的磨耗，延長鋼軌的使用壽命。

1 磨耗鋼軌代表廓形的選取模型

1.1 鋼軌磨耗數據的采集

在某重載鐵路直線段區域對75 kg/m 鋼軌進行磨耗型面數據采集，以10 m 的間隔距離布置7 個測點，一共得到28個磨耗鋼軌型面。

鋼軌磨耗是鋼軌損傷的一種類型，分為垂直磨耗及側面磨耗。對于垂直磨耗在鋼軌垂直中心線處進行測量，對于側面磨耗在鋼軌軌頂下14 mm 處進行測量[12]。圖1為鋼軌磨耗情況對比分析圖，如圖所示，取7 個測點中磨耗量最大的型面進行磨耗情況對比分析，在直線段區域，外軌軌道的垂直磨耗的最大值為6.21 mm，垂直磨耗深度區間為4.26 mm～6.21 mm，而側面磨耗深度為1.63 mm～2.67 mm。

圖1 鋼軌磨耗情況對比分析圖

1.2 基于弗雷歇最小距離法的鋼軌廓形選取

在復雜的輪軌激擾條件下，不同位置的鋼軌磨耗情況不同。而在不同截面位置測量獲得的大量廓形數據中，如何選取具有代表性的磨耗廓形作為打磨廓形設計的輸入條件，直接影響廓形設計的結果。本文采用弗雷歇距離（Fréchet distance）法，選取最具代表性的磨耗廓形作為打磨廓形設計的輸入條件。

圖2為弗雷歇距離法示意圖，如圖所示，假設點1是曲線A上的動點，行走的軌跡為A且長度為N，點2 為曲線B上的動點，行走的軌跡為B且長度為M，可以采用一個變量為t的連續遞增函數對點1、2 的運動進行描述，α(t)表示點1運動描述函數，β(t)表示點2運動描述函數[13]。

圖2 弗雷歇距離法示意圖

曲線A與B弗雷歇距離F(A,B)定義為：

其中：d是S的度量函數，N為離散點個數。

采用離散點弗雷歇距離法對磨耗軌之間的距離進行評價，最終得到一條磨耗軌與其它磨耗軌之間的弗雷歇距離值最小。其算法具體流程如下所述：

（1）對于檢測得到的28 個鋼軌磨耗廓形，任意選取其中兩個磨耗廓形為P、Q，對P、Q進行離散點采樣。則曲線P可表示為σ(P)=(μ1,μ2…μn,…,μp) ；曲 線Q表示為σ(Q)=(ν1,ν2,…,νm,…,νq)，其中，μn=(xn,yn)，νm=(x′m,y′m)；(xn,yn)、(x′m,y′m)分別為曲線P、Q上的離散點的坐標，m、n分別為磨耗軌曲線P、Q上的離散點序號，本文對每個廓形取100 個離散點，以n,m=1 為起始采樣點。

（2）分別計算曲線P、Q上各采樣點之間的距離，其 中，1≤m≤M,1≤n≤N，N=100，M=100。最終得到756個距離矩陣D。

（3）分別找出距離矩陣D中的最大與最小距離dmax和dmin，將最小距離設置為初始目標距離，同時根據所尋的最大、最小距離設置循環間隔r：

（4）根據所設置的初始目標距離值對距離矩陣進行搜索、判斷，將大于f的距離值設置為0，小于或等于f的距離值設置為1，從而得到二值矩陣D′：

式中：d′mn=

（5）在二值矩陣D′中搜索一條起點為d′11、終點為d′MN的路徑R，同時路徑通過點d′mn后，其下一個通過點只能為d′(m+1)n、d′m(n+1)、d′(m+1)(n+1)中的一個，路徑R中所有點的值都必須為1。即存在一條路徑R={d′11,…,d′mn,…,d′MN} ，滿 足d′11,·…·,d′mn ·d′(m+k)(n+k'),·…·,d′MN=1 式 中：1≤n≤N,1≤m≤M,1≤m+k≤M，1 ≤n+k≤N，k={0,1}。找到滿足條件的路徑，則設置弗雷歇距離為f，如未找到滿足條件的路徑，則設置目標距離f=f+r，返回步驟(4)；

（6）計算出磨耗軌曲線之間的弗雷歇距離F=f，因此可以通過式（5）對任意一條鋼軌廓形與剩余廓形之間的弗雷歇距離進行描述。

式中：k、i均為鋼軌廓形編號；Z為廓形曲線的數目。

根據上述計算流程，依次計算不同磨耗軌廓形曲線之間的弗雷歇距離，分別為：

最終得出弗雷歇最小距離為fSUMmin=6.12，而最小距離鋼軌磨耗代表型面如圖3所示。

圖3 基于最小距離法鋼軌磨耗代表型面圖

2 基于B 樣條曲線算法的打磨廓形設計

2.1 非均勻有理B樣條曲線算法

鋼軌廓形曲線是一種特殊形式的曲線，除了有平滑連續性要求外，其磨耗形式的局部變化特性也極其重要。非均勻有理B樣條曲線算法能夠更好地控制物體表面的曲線度，同時具有局部修改性、強凸包性、仿射不變性等特性。設計非均勻有理B 樣條曲線算法對鋼軌廓形進行描述，通過修改控制點的權因子對磨耗后的鋼軌廓形進行打磨廓形設計[14]。

2.1.1 非均勻有理B樣條曲線的定義

由n+1個多邊形控制頂點定義的一條k次非均勻有理B 樣條曲線，可以表示為一個分段有理多項式矢函數，形式如下[14]：

式中：Ni,p(u)為p次有理B樣條基函數，di(i=0,i…,n)是控制頂點，ωi是相應的權因子序列，與控制頂點di相關，ω0、ωn＞0、otherωi≥0，以防止分母為零，保留凸包性質以及曲線不會因權因子而退化為一點。由節點矢量U=[uo,u1…,un+k+1]決定的按Cox-DeBoor遞推公式定義的e次規范B樣條基函數可表示為：

按照上述定義，e=3 就是一條三次NURBS 曲線的數學表達式[14]。

2.2 鋼軌的打磨廓形設計

2.2.1 鋼軌廓形的插值點描述

圖4 為CN75(標準75 kg/m 鋼軌)鋼軌磨耗代表廓形與標準廓形對比圖，如圖所示，將磨耗鋼軌廓形與標準廓形在極坐標系中進行描述，為了便于廓形對比，在45°～110°區間中，以5°為間隔對鋼軌廓形進行等間隔劃分。鋼軌磨耗最嚴重的位置在45°～115°區間，其他角度區間的鋼軌磨耗量較小。結合鋼軌的磨耗規律，對磨耗代表廓形進行NURBS曲線插值點描述。

圖4 磨耗代表廓形與標準廓形對比圖

通過對CN75 廓形與基于NURBS 擬合設計的OP75(打磨目標廓形)進行相關性分析，對磨耗型面取11個插值點，如圖5所示，在鋼軌磨耗嚴重區域取密集插值點，在磨耗較小區域取稀疏插值點，這種方式可以更加精確控制曲線的形狀，對型面進行設計?；谠谀ズ男兔嬷羞x取的11 個插值點，通過三次NURBS曲線控制點反求算法，計算出控制點坐標及所屬權因子，以控制點的權因子作為設計變量對鋼軌打磨目標廓形進行設計。

圖5 磨耗代表廓形插值點圖

2.2.2 B樣條曲線的控制點計算

通過插值點可以反算出對應的同樣數量的控制點，即已知n個插值點Qi，通過式(9)對控制點進行反算設計。

式中：n+1個控制點Pi是未知量；Qk為插值點；為Qk的參數值[15]。

對磨耗代表廓形取 11 個插值點：(Q0,Q1,…,Q13)，即：所示，式中l為總弦長，其中，而通過

而參數值通過弦長參數化法求出，如式(11)式(12)求出[16]。

將式(10)代入式(11)中得到單獨各段弦長為：

進而得到總弦長l=87.7，通過式(12)得到參數值及節點矢量U，即：

通過式(9)得到矩陣式(13)，將參數值代入式(13)：

式(13)中插值點Qk是已知的，通過對式(13)的換算可以得到控制點的坐標：

控制點的重要程度可以通過權因子反映出來，控制點的權因子越大，說明此控制點對附近點和曲線的影響程度越大，反之亦然。由于鋼軌磨耗區域集中在45°～115°區間，因此，在45°～55°區間取控制點權因子為[0.8，0.9]，在磨耗嚴重的55°～115°區間取控制點權因子的范圍為[0.9 ，1.0]，其余輕微磨耗區域取控制點權因子為[0.5，0.7]。

2.2.3 目標函數

選取某運營線路的CN75 磨耗鋼軌代表廓形為函數fworn75(x)，OP75 為函數fOP75(x)，取CN75 型面為函數fCN75(x)，與CN75型面相比，鋼軌截面材料去除面積之差為ΔS，建立主目標函數，如式（14）所示：

式 中：ΔSOP75和ΔSCN75分別為打磨成OP75 型面fOP75(x)及CN75型面fCN75(x)后的鋼軌截面材料去除的面積，a、b為鋼軌廓形的起點和終點。

基于CN75 軌的磨耗代表廓形設計打磨目標廓形，以輪軌脫軌系數為次目標函數。根據Nadal 公式，建立脫軌系數目標函數見式(15)、式(16)：

式中：H、G為輪軌橫向力和輪軌垂向力；α1為輪緣角；λ1為輪緣處的摩擦系數；fc,OP75為OP75脫軌系數；fc,CN75為CN75型面脫軌系數；Δfc為OP75脫軌系數與CN75型面脫軌系數之差。

2.2.4 約束條件

以CN75 的型面和磨耗最大值型面作為設計OP75的約束上下邊界條件：

式中：Cdown(yi)、Cup(yi)分別為磨耗最大值型面和CN75鋼軌型面。

2.2.5 鋼軌打磨廓形設計

基于上述打磨目標廓形的設計目標函數及約束條件，結合輪軌匹配接觸理論和車輛-軌道耦合動力學模型，設計出鋼軌OP75曲線。

圖6 是打磨目標廓形設計圖，如圖所示，OP75擬合曲線為設計的鋼軌打磨目標廓形，CN75磨耗曲線為鋼軌磨耗代表廓形，通過對鋼軌磨耗代表廓形的控制點的權因子進行調整，得到設計的鋼軌打磨目標廓形。該打磨目標廓形以磨耗區域縱坐標最小點，即插值點坐標為(35.1，-17.2)處作為設計起始位置，對整個磨耗代表廓形的打磨目標型面進行設計，打磨廓形的曲線斜率與標準廓形基本一致。

圖6 打磨目標廓形設計圖

2.3 鋼軌打磨廓形材料去除量分析

依據OP75 設計的主目標函數即式(14)，得到鋼軌打磨目標廓形的材料去除量。圖7為鋼軌打磨量對比圖，如圖所示，為了修復磨耗鋼軌的軌距角部分，如果將CN75作為打磨目標廓形，軌頂的下降高度為0.79 mm，鋼軌材料去除面積為77.9 mm2；若將OP75 作為打磨目標廓形，軌頂的下降高度為0.41 mm，比CN75減少了0.39 mm，鋼軌材料去除面積為43.1 mm2，比CN75減少了44.7%?？芍?，OP75廓形在鋼軌材料去除量方面優于CN75 廓形，有利于延長鋼軌使用壽命，保留磨耗鋼軌的剩余型面。

圖7 鋼軌打磨量對比圖

3 打磨廓形的動力學性能分析

本文模擬貨運線路工況，以30t軸重的C96型運煤專用敞車為研究對象，車輪型面為標準LM 車輪型面，鋼軌廓形分別為CN75和OP75，忽略鋼軌坡度的影響，設置曲線半徑為1 000 m，曲線超高為45 mm，貨車運行速度為80 km/h，緩和曲線長度為40 m，建立UM 動力學模型。模型僅考慮縱向、橫移、沉浮、側滾、點頭及搖頭6個自由度，分別計算CN75/LM匹配和OP75/LM匹配下的車體心盤（前位）橫向振動加速度、左前輪橫向力、脫軌系數和輪重減載率。

圖8為車輛動力學性能對比圖，由圖可知，OP75的脫軌系數整體略小于CN75，其中脫軌系數的最大值由0.112 減小到0.106，減少了5.4%；OP75 的輪重減載率的均方根值由0.037 減小到0.036，減少了2.7%；與CN75 相比，OP75 的橫向振動加速度均方根值由0.217減小到0.212，減少了2.3%；與CN75相比，OP75 的橫向力最大值由17.1 kN 減小到16.3 kN，減少了4.4%。從上述數據對比可以看出，OP75的動力學性能略優于CN75，可以更好保證列車運行的安全性和穩定性。

圖8 車輛動力學性能對比圖

4 輪軌穩態滾動特性分析

4.1 有限元模型的建立

選取C96 型貨車上的LM 踏面輪對及CN75 和OP75為研究對象，建立如圖9所示的輪軌穩態滾動接觸有限元模型，將輪軌接觸位置的網格細化為1mm，使用ABAQUS軟件的隱式算法對模型進行分析計算[17]。

圖9 輪軌穩態滾動接觸有限元模型

4.2 輪軌靜態接觸特性分析

分別將CN75/LM 及OP75/LM 匹配進行有限元靜態接觸分析，設置軸重為36 t，橫移量為0，輪對沖角為0°；車輪的彈性模量取為2.03×105MPa，泊松比取為0.3，鋼軌的彈性模量取為2.05×105MPa，泊松比取為0.3；選取車輪踏面為主面，鋼軌頂面為從面，輪軌間的摩擦系數為0，得到輪軌有限元靜態匹配結果。

圖10 為輪軌靜態接觸應力云圖，如圖所示，CN75 的Mise應力最大值為610.1 MPa，OP75 的Mise 應力最大值為597.2 MPa，比CN75 降低了2.1%，間接降低了輪軌間的磨耗；通過計算接觸斑面積得出OP75 的接觸斑面積為323 mm2，相比于CN75 的295 mm2增加了9.5 %，增大了輪軌接觸部位的面積，減小了接觸部位的應力集中，有利于減輕輪軌之間的磨耗。

圖10 輪軌靜態接觸應力云圖

4.3 輪軌滾動接觸特性分析

將輪軌靜態接觸計算的結果作為初始值，采用mixed Lagrangian-Eulerian 方法進行輪軌穩態滾動接觸計算。輪軌模型中所有材料屬性全部設置為彈塑性材料，輪軌之間的摩擦系數取為0.3，兩接觸表面之間的滑移公式設置為“小滑移”。輪軌穩態滾動要求同時給出車輪前進速度v和轉動角速度ω，本文設置車輪前進速度分別為60 km/h、80 km/h、100 km/h、120 km/h,而角速度取38.8 rad/s、51.7 rad/s、64.6 rad/s、77.5r ad/s，以描述車輪自由滾動。

表1 為不同速度下LM 車輪分別與CN75 及OP75 滾動接觸時CN75 與OP75 的節點位移量。從表中可以看到，在4 種不同的速度下，OP75 的節點位移總量都小于CN75，當速度為60 km/h、100 km/h、80 km/h、120 km/h 時，OP75 的節點位移總量比CN75分別減少了18.3%、17.2%、17.3%、19.1%。節點位移總量為輪軌接觸斑內的單元滑動總量，位移總量越大則單元滑動總量越大。依據Archard 磨耗計算模型，如式(18)所示，單元滑動總量越大，磨耗情況越嚴重。從上述分析可知，OP75有利于減緩鋼軌磨耗，延長鋼軌維護周期。

表1 不同速度下CN75/LM及OP75/LM的節點位移量

式中：Zsd為接觸斑內某單元的磨耗深度，A為接觸斑的磨耗面積，pz為接觸斑內某單元的接觸應力，Δs為接觸斑內某單元的滑動量。

圖11為CN75及OP75與LM車輪滾動接觸時的摩擦力對比圖，從圖中可以看出，OP75 的摩擦力最大值為0.35 kN，相比于CN75 的0.52 kN 減小了31.9%。摩擦力是反應鋼軌磨耗情況的一個重要參數，摩擦力越大說明鋼軌產生的摩擦功越多，從而說明鋼軌的磨耗情況越嚴重。從上述分析可知，與CN75相比，OP75的摩擦力較小，有利于減緩輪軌磨耗，延長鋼軌使用壽命。

圖11 CN75/LM及OP75/LM滾動接觸摩擦力對比圖

5 結語

（1）通過弗雷歇距離法在區段內不同截面鋼軌磨耗型面數據中選取磨耗代表廓形，結合NURBS曲線理論建立鋼軌廓形的描述方法，設計鋼軌打磨廓形；與CN75廓形相比，OP75的鋼軌打磨材料去除量減少了44.7%；OP75/LM 匹配的靜態接觸斑面積比CN75/LM匹配增加了9.5%；

（2）建立車輛-軌道耦合動力學模型，計算得到打磨目標廓形的各項動力學指標；與CN75 相比，OP75 的脫軌系數最大值減少了5.4%；軌輪重減載率的均方根值減少了2.7%；橫向振動加速度均方根值減少了2.3 %；OP75 的橫向力最大值減少了4.4%；可知打磨目標廓形OP75 的動力學性能略優于CN75廓形；

（3）建立輪軌接觸有限元模型，通過輪軌穩態滾動計算得到鋼軌摩擦力及節點位移量，結果表明，與CN75相比，OP75的摩擦力最大值減少了31.9%；在60 km/h～120 km/h 的速度工況下，OP75 的節點位移總量減少了17.2%～19.1%；說明OP75有利于減緩鋼軌磨耗，延長鋼軌維護周期及使用壽命。同時，本方法亦適用于高速列車線路的鋼軌打磨廓形設計，這將在后續研究中進一步探討。