離散支承梁分段動力學建模方法

吳浩慜，邵濟明，盧 健，王 熙，楊斌堂

（1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.上海宇航系統工程研究所，上海 201109； 3.西南交通大學 機械工程學院，成都 610031）

近年來，隨著運營里程數的不斷增加，軌道交通逐漸成為諸多城市上班族首選的出行方式。然而，城市軌道交通在給市民帶來交通便捷的同時其自身伴隨的結構振動與噪聲污染也會對沿線住戶的日常生活造成影響。為了更準確分析軌道交通振動與噪聲的成因以及傳播機理，專家學者們通過構建車輛-軌道耦合動力學模型來模擬移動載荷作用下全系統的動力學響應，以此來尋求對于振動與噪聲的抑制手段。其中，軌道結構振動方程作為模型中的重要組成環節，其求解方法對于模型的計算精度有著直接影響。

上個世紀下半葉，國外較早展開了軌道動力學的理論研究。Ono 等[1]從理論上分析了在車輪施加的移動沖擊載荷和輪軌表面粗糙度共同作用下鋼軌的動力學響應。Jezequel[2]將軌道簡化為彈性基礎上的無限長Euler梁，并引入旋轉剛度描述梁的剪切效應，該模型結合波動方程可以計算出周期性結構在移動載荷下的臨界速度。Timoshenko 等[3]采用Lagrange法求解了連續彈性支承梁的自由和受迫振動響應，對比兩者的計算結果發現梁在簡諧力作用下的動撓度可以由恒力載荷作用下的靜撓度導出。相比于國外，國內在上世紀90年代后才開始車輛-軌道耦合動力學領域的理論研究，起步較晚。1992年，翟婉明[4]首次將軌道、車輛動力學以及輪軌間相互作用當作一個總體系統進行考察，建立了車輛-軌道垂向統一模型。徐志勝等[5]在上述理論的基礎上建立了基于Timoshenko梁的車輛-軌道耦合振動模型，探究1 000 Hz以上中高頻段內剪切變形對軌道加速度的影響。Wu[6]基于輪軌-減振器系統動力學模型、滾動接觸力學和摩擦學，模擬了鋼軌波磨的生長過程，發現軌道減振器的引入可有效抑制pinned-pinned共振引起的短節距鋼軌波磨的生長。

然而，上述研究在通過模態疊加法求解軌道動力學響應的過程中都對振型函數進行了簡化。Wu[6]在計算輪軌-吸振器系統波磨生長的過程中，將簡支梁的各階振型作為基函數代入軌道豎直方向的振動運動微分方程，并依靠振型正交性求解出軌道在安裝吸振器后鋼軌波磨生長速度的變化；翟婉明[7]在其所構建的車輛-軌道耦合動力學模型中，將各離散軌枕提供的支反力視作外力項，在采用Rayleigh-Ritz法求解振動微分方程時，同樣直接引入簡化簡支梁振型作為解的基底，該種簡化方法只有當軌道計算長度足夠長時才能獲得令人滿意的近似效果[8-9]。然而，當計算長度不足、周期支承特性缺失時，仍將軌道視作有限長簡支梁得到的振型函數則不能充分表征軌枕的離散支承特性，實際工況下，彈性元件的引入會改變軌道的局部振型及固有頻率。

針對一般離散支承梁，本文提出了一種分段建模方法，以n個離散支承為節點將簡支梁分為n+1段，通過邊界條件把支承約束作為彈性元件納入模型中，而不是作為外力項，從而求解出更符合實際的修正振型函數以及固有頻率。進一步，對比動力學建模與有限元仿真結果驗證了本文所提出建模方法在其適用范圍內的精確性和有效性，并給出不同支承剛度、計算長度下離散支承梁振型和固有頻率的變化規律。

1 有限長離散支承梁分段動力學建模

有限長離散支承梁結構形如圖1所示。假設梁為均質等截面梁，以i個離散支承為節點可以將簡支梁分為i+1 段，每段梁橫向自由振動的運動微分方程為：

圖1 有限長離散支承梁結構示意圖

其中：wi(x,t) 為t時刻第i段梁上x位置處的橫向位移；ρ為梁的材料密度；A為梁的橫截面積；EI為梁截面的抗彎剛度。

為求解上述微分方程的解析解，這里采用分離變量法將2 元橫向位移函數wi(x,t)寫成振型Yi(x)與廣義坐標qi(t)乘積的形式：

將式(2)代入式(1)，2 元4 階微分方程解耦成只含振型Yi(x)與廣義坐標qi(t)的2 階與4 階常系數線性齊次微分方程，可得兩個方程的解具有如下形式[10]：

把式(3)寫成向量乘積形式：

其中：ωnum1為整根梁的num1階固有頻率。

考慮到i+1 段梁有i+1 個振型函數，又每段振型函數包含4個獨立的未知系數Ai1-4以及一個待求的公共未知數固有頻率ωnum1，因此需要4i+4個邊界條件以及行列式非零解條件才能夠解出離散支承梁的num1階振型Yi(x) 和固有頻率ωnum1。下面將以圖1所示包含兩個離散支承的簡支梁結構為例，給出各類邊界條件的構建過程。

(1)簡支端約束條件

根據簡支定義可知，兩側簡支端的位移和彎矩分別為零。

(2)連續性條件

由于離散支承梁為一連續系統，因此在第i段和第i+1段梁的連接處存在位移和轉角相等的連續性條件。

(3)離散支承段約束條件

如圖1 所示。第i個離散支承處對應的短梁長度為ΔLi，且相比于兩相鄰離散支承之間的梁Li和Li+1，短梁由于長度較短、支承剛度較大可被近似視作剛體。結合圖2，分別對短梁建立力和力矩平衡方程，即離散支承段的約束條件。

圖2 離散支承段受力和力矩分析

其中：mi和Ji分別為短梁的質量和轉動慣量。

聯立式（6）至式（13），可以得到12 個邊界條件組成的十二元一次方程組的系數矩陣為G2，分別定義以下矩陣C至F：

為了保證各段梁的廣義坐標系數非零，包含n個離散支承的簡支梁的固有頻率ωnum1可以通過線性齊次方程組的非零解條件解得。

把固有頻率ωnum1代回系數矩陣Gn后，通過高斯消元法求得方程組的基礎解系，即第num1階各段梁振型函數的系數矩陣Coff num1-n。

記取值函數Φ1-i(x)、Φ2-i(x)為：

其中：ε為單位階躍函數。

含n個離散支承的簡支梁的第num1 階修正振型函數Ynum1-n(x)為：

其中：

對Ynum1-n(x)進行歸一化可得離散支承梁的第num1階標準振型函數(x)：

其中：

2 數值分析與仿真

2.1 可靠性分析（算例1）

為了驗證所提出針對離散支承梁建模方法的可靠性，將數值分析計算結果（固有頻率ωnum1）與有限元仿真結果進行對比，若兩者對同一算例計算結果的相對誤差小于3%，則可以認為所提出方法在適用范圍內是可靠的。算例1 的結構示意圖如圖3 所示。主要尺寸及物性參數如表1所示。

圖3 算例1結構示意圖

表1 算例1中主要尺寸及物性參數

其中，梁橫截面對中心軸的極慣性矩I、支承座對應短梁段的質量mi以及轉動慣量Ji可以由式（27）～式（29）計算得：

算例1 動力學建模與有限元分析結果即梁沿z軸方向的前10階固有頻率如表2所示。前4階振型如圖4所示。

如表2 所示。本文所提出建模方法對算例1 中離散支承梁沿z軸方向的前10階固有頻率的動力學分析結果與ANSYS有限元仿真結果較為接近，最大相對誤差為2.91%，平均相對誤差為1.24%，這說明針對有限離散支承梁的分段動力學建模方法是準確而可靠的。總體上，兩種方法之間的相對誤差隨著模態階數的增加而變大，其中相對誤差出現波動的原因可歸結為如下兩點：

表2 算例1中固有頻率計算結果/Hz

(1)由于三段梁(L1-L3)的長度不同致使每段梁所包含的有限元網格數隨著長度的增加而增加，包含的網格數越多該段梁的計算精度越高；

(2)梁的長度增加，剪切變形影響減小，更加符合模型中的Euler梁假設。

以上兩點解釋了當離散支承梁的第num1 階振型最大值出現在梁L1段內時，相對誤差值會突然增大的現象。另外，如圖4所示，引入兩個離散支承后簡支梁的前4 階振型與原先的顯然不一致，因此在使用模態疊加法求解外力作用下離散支承梁的動力學響應時就不能簡單地把長度為L的簡支梁的振型函數作為模態空間的基向量。

圖4 非周期性離散支承梁的前4階振型（算例1）

2.2 支承剛度（算例2）

考慮到支承剛度會隨著梁與支承座之間彈性緊固件的型號、材料以及預緊力大小變化發生改變，算例2中相鄰支承座間梁的長度(L1-L4)保持不變，僅改變支承剛度大小，觀察離散支承梁前4 階固有頻率的變化。算例2 的結構示意圖如圖5 所示。主要尺寸及物性參數如表3所示。

圖5 算例2結構示意圖

表3 算例2中主要尺寸及物性參數

對比表4 和圖6 中算例2 的動力學建模和有限元分析結果可知，隨著支承剛度k從0 增加至2 MN/m，離散支承梁的固有頻率f1-3逐漸增加，且階數越低增幅越大，相反，表4 中離散支承梁第4 階固有頻率f4的值幾乎不發生改變，這是由于當支承剛度增加到一定程度后，支承處的彈性緊固件逐漸等價于固定約束，即被三等分后每段梁(L1-4)的f1等于原簡支梁的f4，而f1-3則隨著剛度增加逐漸逼近f4。另外，值得關注的是，f4的數值分析與有限元仿真結果相對誤差達到了6.9%，其原因可能為：

表4 算例2中不同支承剛度條件下梁前4階固有頻率計算結果

圖6 不同支承剛度條件下周期性離散支承梁的前2階振型（算例2）

(1)在有限元模型中支承段短梁被按六面體網格劃分為若干單元，并不是剛體；

(2)隨著支承剛度的增加，支承段短梁兩側連接處剪切變形和轉動慣量的影響增大。

2.3 計算長度（算例3）

目前，車輛-軌道耦合動力學模型中通常采用的振型簡化方法的使用前提有以下兩點：

(1)支承梁具有對稱性較高的周期性結構；

(2)離散支承梁的計算長度足夠長。

為了進一步探究上述簡化方法的適用范圍，令ΔLi為一定值，并按單元段（兩個離散支承之間的梁為一單元段）逐步增加計算長度。算例3 的主要尺寸及物性參數如表5所示。

表5 算例3中主要尺寸及物性參數

一方面，從頻率的角度（如表6所示）來看，隨著計算長度的增加，周期性離散支承梁各階固有頻率的變化量逐漸減小，當計算長度趨向無窮時，各階固有頻率會收斂到一定值，另外，有趣的是隨著n的增加，num1階固有頻率同樣也會緩慢向num1-1階靠近，最終趨向1階固有頻率，這也就是在車輛-軌道耦合動力學模型中存在最短計算長度的原因之一，且顯然此時離散支承梁的固有頻率遠高于對應簡支梁的。

表6 算例3中梁在不同支承座數量條件下250 Hz以下固有頻率/Hz

另一方面，從振型的角度來看，當n=4、k=100 kN/m 時，對比簡支梁與離散支承梁的1 階振型函數（如圖7 所示）發現，雖然兩者的前兩階振型較為相似，但局部還是存在細微的差異，且經歸一化后，通過分段建模得到的修正振型函數與ANSYS仿真結果幾乎一致。當n=2,4,6,8 時，按式（30）計算上述兩種方法得到1階振型的誤差，如表7所示。隨著計算長度的增加誤差逐漸減小，但降幅也同時減小，由此可以推斷即使計算長度趨向無窮，兩者之間的誤差也不可能趨向零，因此采用分段建模方法得到的修正振型函數具有更高的計算精度，尤其是在以后采用模態疊加法求解軌道動力學響應時，每階振型函數的誤差會隨著階數的累積被不斷放大。綜上，針對算例3 這類周期性離散支承梁結構可以采用簡化簡支梁振型來近似，且近似程度隨著計算長度的增加而增加，然而一旦離散支承梁結構在某一單元的參數發生變化，周期性遭到破壞，那振型上的近似特性也將不復存在。

表7 算例3中離散支承梁與對應簡支梁1階振型間的誤差變化規律

圖7 n=4時周期性離散支承梁的前2階振型（算例3）

3 結語

本文針對離散支承梁建模過程中使用對應簡支梁簡化振型方法的適用范圍進行了分析與討論。

(1)相比于通過狄拉克函數直接將支承剛度以外力項納入軌道動力學模型的做法[8]，本文提出了一種可以得到解析振型函數的分段動力學建模方法，以n個離散支承為節點，把簡支梁劃分為n+1段，且單獨考慮了支承處對應短梁的長度ΔL，與現實情況下的離散支承梁結構更為貼近。

(2)通過對比動力學建模與有限元仿真結果，驗證了本文所提出的分段建模方法的準確性和可靠性。針對周期性較差、計算長度不足或出現某一節周期性缺失的情況，采用本文提出的方法依然能夠準確求得梁的各階振型和固有頻率，可為之后強迫振動響應的求解奠定理論基礎。

(3)討論了支承剛度對離散支承梁固有頻率的影響。當支承剛度增加時，包含n個離散支承的簡支梁的前n階固有頻率會逐漸增大并收斂于第n+1階固有頻率，直至彈性支承可被近似視作固定約束。

(4)討論了簡化簡支梁振型的誤差隨計算長度的變化關系。對比3 種方法求得的振型函數發現，對標有限元分析結果修正振型能夠準確表征離散支承特性，且隨著計算長度的增加，簡化簡支梁振型與修正振型之間的誤差逐漸顯小，最終收斂于一非零定值。