碳化硅顆粒增強鋁基復合材料有效彈性模量預測

田學亮，徐 穎

（南京航空航天大學能源與動力學院，南京 210016）

0 引言

復合材料的顆粒增強是指向基體中引入顆粒增強相以改善其力學性能，因其制備容易，效果顯著，有望替代傳統制作工藝中制備困難、價格高昂的纖維增強。特別是碳化硅顆粒增強鋁基復合材料SiCp/Al 不僅力學性能優異，而且原材料易于獲得，制備技術相對成熟，價格低廉，已逐步替代傳統材料被廣泛應用于核能、航空航天、電子、軍工等領域[1]。

在研究顆粒增強金屬基復合材料有效宏觀力學性能時，常用細觀力學方法[2-3]和有限元數值模擬[4-5]。針對SiCp/Al 復合材料的有效彈性模量，采用細觀力學方法分析幾何結構簡單的材料時，預測的宏觀性能較為合理，如Eshelby 等效夾雜理論、Mori-Tanaka 方法、Voigt和Reussd的上下限法等，但不能處理任意微結構的情況，無法描述微結構的應力應變演化，此時一般采用基于單胞模型的有限元方法來預測復合材料的有效性能。Ghosh 等[6]于1991 年提出了Voronoi單元有限元法（Vornoi Cell Finite Element Method，VC?FEM），在計算時考慮了顆粒的形狀、體積分數等因素對復合材料力學性能的影響，與其他計算方法相比具有單元數量少、計算效率高的特點；Ghosh 等[7]于1995年以Voronoi 單元為基礎分析了材料的多尺度問題，研究了顆粒增強復合材料內部夾雜顆粒的應力應變情況；徐佳麗[8]基于VCFEM法與有限元法進行了混合計算，改進了計算程序，解決了原有程序只可以計算顆粒增強復合材料的單一性問題，提升了計算效率和適用性；翁琳[9]建立了顆粒增強復合材料3D周期性有限元分析模型，將擴展應變梯度理論嵌入有限元中進行計算，研究了顆粒大小變化對材料整體性能的影響。

不同制作工藝以及不同材料組分制備的碳化硅顆粒增強鋁基復合材料的力學性能差異很大，不可能利用某種建模理論及計算方法對所有復合材料進行計算都能得到較高的預測精度。此前的研究大多針對復合材料的力學性能，沒有針對各種制作工藝以及組分材料的特點進行研究并建立相應的計算模型。本文針對適合采用無壓滲透法制備的A356/SiCp 復合材料建立了代表性體積單元（Representative Vol?ume Element，RVE），在不同邊界條件下分析不同體積分數、不同夾雜顆粒形狀對該材料有效彈性模量的影響。

1 A356/SiCp復合材料RVE有限元模型

根據復合材料真實顆粒大小分布以及界面結合情況，結合無壓滲透法制作的顆粒增強鋁基復合材料細觀結構特點，為探討顆粒形狀、大小對有效彈性模量的影響，對所建立的RVE有限元模型做如下假設：

（1）顆粒呈圓形或橢圓形；

（2）顆粒與基體結合良好，無中間結合物、缺陷或孔隙。

基于以上假設建立的碳化硅顆粒體積分數為10%的A356/SiCp復合材料2維RVE有限元模型如圖1 所示。表征的碳化硅顆粒尺寸為微米級別，鋁基體 為20 μm×20 μm 的 正方形，圓形碳化硅顆粒半徑為0.89 μm。其中碳化硅顆粒的面積占比為10%，以此體現碳化硅顆粒的體積分數占比。碳化硅顆粒夾雜在圖形中的具體位置采用隨機數生成器生成，通過設置隨機數產生的范圍來避免產生交叉的夾雜顆粒。

圖1 A356/SiCp復合材料RVE有限元模型

碳化硅顆粒增強鋁基復合材料由碳化硅顆粒和鋁合金基體復合而成，本文采用無壓滲透法制備的A356/SiCp 復合材料典型力學性能作為參考值，其性能參數見表1。其中鋁合金基體為彈塑性材料，碳化硅顆粒為線彈性材料，具體力學性能參數見表2。

表1 無壓滲透法制備A356/SiCp復合材料典型力學性能參數[10]

表2 A356/SiCp復合材料組分力學性能參數[11-12]

在ABAQUS 中采用mesh 模塊對所建立的RVE 有限元模型進行有限元計算網格劃分。RVE 有限元模型整體網格尺寸設為0.2 μm，采用線性四邊形網格，設定4 條邊上的單元數為76。劃分情況如圖2所示。

圖2 RVE有限元模型網格劃分

由此生成的碳化硅顆粒和鋁基體的網格采用結點合并的處理方式，即認為在復合材料變形過程中碳化硅顆粒和鋁基體不發生脫離，二者之間也不會產生幾何位錯。而在無壓滲透法制備過程中的金屬熔體能夠很好地與增強體表面融合，使二者的界面結合良好，不易發生脫黏現象[13-14]。故采用結點合并的方式能夠有效模擬無壓滲透工藝下復合材料的界面結合情況。

2 周期性邊界條件和模擬單軸拉伸邊界條件

周期性邊界條件可使每個代表性體積單元相對面上的節點位移相互對應，從而保證變形的周期性和連續性[15]。Xia 等[16]總結了周期性邊界條件的一般表示方法，其形式為

式中：上標j-表示沿xj負方向；上標j+表示沿xj正方向；為RVE模型的平均應變為相對面之間距離。

參考翁晶萌等[17]施加的周期性邊界條件，在ABAQUS中通過施加多點約束方程，并結合相應子程序，完成對RVE 有限元模型周期性邊界條件的施加。為了使計算得以進行，還需設置與周期性邊界條件相一致的節點載荷以及邊界條件，其具體設置情況如圖3（a）所示。2 維模型左下角節點固定，限制其U1、U2、UR3；限制平面模型右下角節點U2、UR3；限制2 維模型左上角節點U1、UR3；于2 維模型左上角節點施加載荷，載荷步的幅值設為0.020 μm，初始載荷步以及最大載荷步設為0.004 μm。

模擬單軸拉伸邊界條件如圖3（b）所示。2 維模型左下角節點固定，限制其U1、U2、UR3，以此限制計算模型的剛體位移，防止計算過程中出現數值奇異，且不會對計算模型產生過大影響。限制底邊節點U2、UR3。對頂邊節點施加位移載荷，載荷步幅值為0.020 μm，初始載荷步以及最大載荷步設為0.004 μm。

圖3 2種邊界條件設置

施加周期性邊界條件的RVE 有限元模型U1位移如圖4 所示。位移云圖的顏色深淺代表了節點位移的大小，選取2 維模型上y=0、y=20 時不同x坐標位置處節點位移值U1，結果見表3。從表中可見，對應節點的U1相等，即此模型保證了對應邊上的位移連續性要求，對此RVE 有限元模型成功施加了周期性邊界條件。

圖4 周期性邊界條件下RVE有限元模型U1位移

表3 周期性邊界條件下RVE有限元模型U1的位移 μm

3 有效彈性模量計算

采用載荷施加邊上的平均彈性模量值作為復合材料的有效彈性模量，方便快捷且綜合考慮了所有增強顆粒對復合材料的作用效果，通過實際計算發現該處理方式不會產生較大的誤差，在工程計算上是可行的。采用周期性邊界條件計算得到的RVE 有限元模型S22的應力如圖5 所示。在ABAQUS 后處理中創建場輸出變量，導出2 維模型頂邊所在單元的積分點處應力S22，并通過式（2）求得有效彈性模量。模擬單軸拉伸邊界條件的單RVE 有限元模型亦采用此方法獲得有效彈性模量。載荷步幅值為0.020 μm，2 維模型邊長為20，故可知模型平均應變為0.001。

圖5 RVE有限元模型S22應力分布（周期性邊界條件）

4 不同體積分數、顆粒形狀、邊界條件對有效彈性模量的影響

4.1 表征不同細觀結構的RVE有限元模型建立

顆粒增強復合材料的顆粒體積分數對其有效彈性模量的影響顯著，且顆粒的形狀、大小也會對其有效彈性模量產生一定的影響[18-20]。據此建立了表征圓形和橢圓形顆粒不同體積分數（10%、15%、20%）的RVE 有限元模型，對比了不同邊界條件下的計算結果，并與相應體積分數的A356/SiCp 復合材料的典型力學性能進行比較分析。模型中圓形和橢圓形顆粒的中心坐標相同，通過改變圓形顆粒的半徑以達到不同的圓形顆粒體積分數占比，具體尺寸見表4，建立的模型如圖6 所示。橢圓形顆粒的方向隨機，不同體積分數的橢圓形顆粒方向相同。

表4 圓形、橢圓形顆粒的體積分數及其尺寸

圖6 不同形狀和體積分數的RVE有限元模型

4.2 不同顆粒形狀及邊界條件下有效彈性模量對比分析

4.2.1 顆粒中應力分布規律分析

不同顆粒形狀及邊界條件下RVE 有限元模型米塞斯應力如圖7所示。

圖7 不同顆粒形狀及邊界條件下RVE有限元模型米塞斯應力

根據計算結果可知：

（1）無論是在周期性邊界條件還是模擬單軸拉伸邊界條件下，橢圓形顆粒的半長軸方向與y軸夾角較小，在受載方向上的投影面積較小時，其應力較大，即橢圓形顆粒的應力水平隨橢圓半長軸的方向不同而有所不同；而圓形顆粒在受載方向上的投影面積相等，所以不同圓形顆粒的應力水平相差不大。

（2）無論是圓形顆粒還是橢圓形顆粒，在2種邊界條件下的應力水平都相當。圓形顆粒的應力水平為110 MPa左右，橢圓形顆粒的應力水平為94～140 MPa。

4.2.2 有效彈性模量對比分析

在不同邊界條件下有效彈性模量的計算結果見表5、6。從表中數據可知：

表5 周期性邊界條件下增強相顆粒RVE有限元模型有效彈性模量計算值與試驗值的比較

（1）在2種邊界條件下RVE有限元模型均能有效預測A356/SiCp 復合材料的有效彈性模量，且達到了較高的預測精度，其預測誤差都不超過5%。

（2）在2 種邊界條件下得到的計算結果相差不大。在2 維RVE 有限元模型中可利用簡單的模擬單軸拉伸邊界條件代替周期性邊界條件，所得計算結果相差不超過0.324%。

（3）在2 種邊界條件下，圓形、橢圓形顆粒復合材料有效彈性模量差別不大，相差不超過0.4%，即顆粒形狀對復合材料的力學性能影響不顯著，這與王文明等[21]的試驗研究結果相符合。

表6 模擬單軸拉伸邊界條件下增強相顆粒RVE有限元模型有效彈性模量計算值與試驗值的比較

4.2.3 誤差分析

除體積分數為10%的有效彈性模量預測值較真實值偏高外，其他的預測值都偏低，造成此現象的原因可能有如下3點：

（1）未考慮復合材料制備過程中殘余應力帶來的影響，致使預測結果偏低[19]。

（2）有限元模型計算網格劃分采用碳化硅顆粒與鋁基體結點合并的方式，致使在材料變形過程中無幾何位錯產生，從而缺少了幾何位錯帶來的強化效果[22]。但當復合材料處于彈性階段時，由此帶來的影響可忽略。

（3）實際復合材料中碳化硅顆粒大小具有一定的分布特性，不同體積分數的復合材料區別在于所含顆粒數量不同，顆粒數量越多意味著體積分數越高，顆粒和基體的接觸面積也就越大，由此帶來的強化效果也就越明顯。通過改變顆粒大小來改變體積分數的方式對接觸面積的增大效果不如增加顆粒數量的方式明顯，從而使預測結果偏低。

5 結論

（1）采用碳化硅顆粒和鋁基體材料之間結點合并的方式能有效模擬無壓滲透法制備的A356/SiCp 復合材料的界面結合情況，對復合材料有效彈性模量的預測誤差不超過5%，滿足一般工程上的精度要求。

（2）對比了周期性邊界條件和模擬單軸拉伸邊界條件下2 維RVE 有限元模型，2 種邊界條件下所得復合材料有效彈性模量計算結果相差不超過0.324%，因此在2 維RVE 有限元模型中可利用簡單的模擬單軸拉伸邊界條件代替周期性邊界條件。

（3）通過細觀結構分析發現碳化硅顆粒的體積分數對復合材料力學性能的影響顯著，而顆粒形狀的影響很小，在相同體積分數下圓形和橢圓形顆粒的計算結果相差不超過0.4%。