七年級數學教材中的推理與證明

付 鈺，王嘉瑤，綦春霞

七年級數學教材中的推理與證明

付 鈺，王嘉瑤，綦春霞

（北京師范大學 教育學部，北京 100875）

應用斯蒂利亞尼德斯的推理與證明分析框架，分析人教版、北師版、北京版3個版本七年級教材中的推理與證明．研究發現：七年級教材中的推理與證明任務較少，其中，數與代數內容領域中包含的任務最多，其次是圖形與幾何、統計與概率內容領域；進而分析推理與證明的子活動的設計意圖，發現大多數確定的模式沒有促進形成猜想，大多數猜想沒有促進證明．研究結果對中國教材研究具有一定的啟示，不同版本教材中各內容領域均存在推理與證明；數學教材編排的特點是螺旋上升；教師應注重教學過程中給予學生推理與證明的機會．

數學教材；七年級；推理與證明

2001年6月，教育部頒布了《中小學教材編寫審定管理暫行辦法》，從教科書編寫的資格和條件、立項和核準、初審與實驗、教科書審定等方面做出了詳細規定．自此，新的“一綱多本”管理體制初步形成．“一綱多本”的成效與教材研究的進展密切相關[1]．2020年1月，教育部印發了《中小學教材管理辦法》，明確要求“注重教材的系統性，結構設計合理，不同學段內容銜接貫通，各學科內容協調配合”[2]．教材在學習和教學過程中起著非常重要的作用，被視為預期課程與應用課程之間的中介[3]．在過去的幾十年里，世界各地越來越多的研究者開始關注數學教材研究[4-5]

1 研究背景

數學證明是數學學科的特征，是數學活動的重要組成部分．從證明結果的呈現方式來看，它是由一系列有邏輯關系的數學語句組成的；從數學家發現數學命題、獲得證明方法的過程來看，一般包括探索數學關系和規律、概括規律的一般形式并形成猜想、檢驗和修改猜想、提供猜想成立的非形式化的論證等內容．這些過程有助于數學家理解數學關系，獲得最后的形式化證明[6]．學生學習證明不能忽視這些過程．推理和證明是一個復合詞，它描述一個總體活動，包括4個子活動：識別模式，形成猜想，提供證明論證、非證明論證．

推理和證明是學生數學學習的難點，也是數學教育研究者青睞的研究對象．數學教學是教師、學生、數學內容3者之間的交互過程，數學教育研究聚焦的是其中的一個或幾個方面．數學教材是提供數學內容的重要載體，它決定課堂中學生的學習內容，是影響學生學習質量的因素之一．為了解數學教材提供給學生推理與證明的學習機會，這里對中國不同版本七年級數學教材進行分析，旨在為完善不同版本初中教材提供重要的參考，同時為使用不同版本教材的一線教師提供教學依據．

2 研究設計

2.1 研究內容

選取2012年人民教育出版社出版的（簡稱“人教版”）、2014年北京師范大學出版社出版的（簡稱“北師版”）、2013年北京出版社出版的（簡稱“北京版”）七年級教材中的內容進行分析，具體內容見表1所示．

表1 所選取的3個版本教材的研究內容

2.2 研究框架

研究采用斯蒂利亞尼德斯（Stylianides）的推理與證明分析框架[7]，框架分為維度一與維度二，維度一分為識別模式，形成猜想以及提供證明論證、非證明論證；維度二分為模式、猜想、證明論證的目的，分析框架如表2所示．

表2 推理與證明的分析框架

3個版本數學教材包含了不同的欄目，如數學活動、課題學習等，分析內容缺乏一致性．為了使研究結果具有可比性，研究者選取了3套數學教材的正文部分，并對正文部分的推理與證明任務進行了分析[8]．研究者以教師用書中出現的習題分析作為輔助材料確定正文部分的任務劃分．在這項研究中，任務作為分析的單位，被分析的任務會被編碼為表2所示的推理與證明的子活動．

在表2中，推理與證明涉及2個大類、4個子類，2個大類指的是數學一般化和為數學命題的成立提供依據，數學一般化包括識別模式和形成猜想，為數學命題提供依據包括提供證明論證和非證明論證．

模式指的是給定對象的數學關系，根據刻畫對象的模式是否唯一分為合理的模式和確定的模式，前者模式是不唯一的，后者模式是唯一的．在明確的模式中，模式具有確鑿的證據，而在合理的模式中，模式不具備確鑿的證據．

猜想指的是對數學關系作出的不能完全確定其正確性的合理的假設．研究者在研究中修正了斯蒂利亞尼德斯（Stylianides）關于猜想的框架，在猜想中加入了對猜想的檢驗和對猜想的發展[9-10]．形成猜想和識別模式都屬于數學一般化的活動，其主要區別是猜想得到的數學關系包含個體的不確定性，其正確性是需要證明的，而通過識別模式獲得的數學關系不包含個體的不確定性．

數學證明是以一些基本概念和基本假設為前提，通過合乎邏輯的推理得到結論的過程．分為兩個子類，第一個是類屬性證明，即以一個具體的例子作為代表表述整個證明過程的證明；第二個是非類屬性數學證明，如反證法、數學歸納法、窮舉法等．

非數學證明論證即對命題的正確性給出合理的解釋，不是嚴格的數學證明，分成經驗性說理和合理解釋兩個子類．經驗性說理指的是用舉例子的方法證明一般性的命題，缺少基于數學定義、定理的推理．合理解釋是對命題的正確性給出合理的解釋，但推理的過程不嚴密，缺少了必要的步驟．例如，用折疊重合的方式說明兩個三角形全等屬于合理解釋，而用三角形的全等條件來說明則屬于數學證明．

維度二是對維度一的補充，分析識別模式、形成猜想、證明論證的作用可以揭示教材是否提供給學生理解3者聯系的學習機會．例如，在數學中，模式、猜想和證明之間的一個重要聯系是模式可以產生猜想，而這反過來又可以促進證明的發展（Polya，1954）．證明可以用于多個目的：解釋、驗證、證偽和產生新知識等．

2.3 部分題目編碼示例

2.3.1 單一編碼示例

例1 如圖1，由于題目中的要求是“設未知數列出方程”，由題意可知，正方形的邊長與24 cm的鐵絲之間的關系是確定的，并且列出方程后無其它推理與證明活動，故其維度一的編碼為明確的模式，維度二的編碼為不促進猜想．

圖1 選自人教版七年級上P79

例2 如圖2，由于題目中的要求是“觀察下面的點陣圖和相應的等式，做出猜想”，并且根據題意，學生猜想之后需要列出第行點陣圖相對應的等式，不涉及證明的活動，故其維度一的編碼為發展猜想，維度二的編碼為不促進證明．

圖2 選自北京版七年級下P121

例3 如圖3，由于需要說明與平行的理由，要求學生給出理由即嚴謹的證明，故其維度一的編碼為提供證明論證中非類屬性數學證明，維度二的編碼為驗證．

圖3 選自北師版七年級下P54

例4 如圖4，由于題目中要求學生觀察算式及其運算結果，闡述發現并舉例驗證．學生只需對算式的正確性給出合理的解釋并舉例，無需嚴謹的證明過程，故其維度一的編碼為提供非證明論證．

圖4 選自北師版七年級下P20

2.3.2 多重編碼示例

編碼包括以下環節：①確定提供推理和證明學習機會的任務，它們至少包含分析框架維度一中的4個活動中的一個；②根據分析框架中的維度一的推理與證明的子活動進行維度二的編碼．如圖5所示，學生需要猜想兩個圖形的面積之后，對自己猜測進行驗證．故其維度一的編碼為發展猜想、提供證明論證（非類屬性證明），維度二的編碼為發展猜想的目的即促進證明，提供證明論證的目的是驗證猜想．

圖5 北京版七年級下P120

3 研究結果與分析

3.1 總體情況

為了呈現3個版本七年級教材中推理與證明任務的情況，研究者將任務、推理與證明任務、推理與證明任務百分比整理如表3所示．

由于3個版本教材的任務數量不同，難以比較推理與證明任務的數量，故在研究中使用百分比來衡量3個版本中推理與證明任務的多少．由表3可知，在七年級教材中，北京版教材包含的任務最多，高于北師版、人教版教材的任務數量，但人教版的推理與證明任務的百分比高于北京版、北師版教材．同時3個版本七年級教材中推理與證明的任務百分比均低于30%．由于七年級是小學階段與中學階段的銜接，學生需面臨學習科目增加、學習內容也明顯加深等問題，故應重視小學階段與中學階段的銜接問題．為了使學生更好地過渡，七年級教材中推理與證明任務不宜過多，而應在八九年級呈現逐漸增長的趨勢．

表3 推理與證明任務的總體情況

3.2 子活動的分布情況

推理與證明子活動在3個版本教材分布的百分比，如表4所示．

表4 推理與證明子活動的分布情況

由表4可知，3個版本七年級教材中推理與證明的子活動提供非證明論證的占比最多，提供證明論證的占比最少．同時，3個版本教材呈現了細微差異，如人教版七年級教材推理與證明的子活動識別模式的占比高于形成猜想的占比，北師版和北京版則相反．同時，北師版中提供證明論證的百分比明顯高于人教版、北京版．由于3個版本教材的編寫順序不同，研究者在表1呈現了研究內容，北師版教材將三角形安排七年級下教學，導致北師版教材提供證明論證的百分比明顯高于人教版、北京版．

3.3 各內容領域分布情況

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下稱《標準》）教材編寫建議中提出，無論是“數與代數”“圖形與幾何”還是“統計與概率”的內容編排中，都要盡可能地為學生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明的機會，發展學生的推理能力[11]．3個版本推理與證明任務在個內容領域分布的情況，如表5所示．

表5 推理與證明任務在各內容領域分布情況

由表5可知，七年級數學教材中，推理與證明任務在各內容領域分布存在較大差異．數與代數內容領域包含的推理與證明任務最多，其次是圖形與幾何、統計與概率內容領域．數與代數內容領域是七年級教材的重心，七年級并未設置過多的圖形與幾何、統計與概率內容．同時，在數與代數內容領域中，教材為學生提供非證明論證的機會最多；在圖形與幾何內容領域中，教材為學生提供形成猜想、提供證明論證的機會較多．

此外，3個版本七年級教材為學生提供的推理與證明的子活動分布也略有不同．具體而言，人教版七年級教材數與代數內容領域中，教材為學生提供的識別模式的機會也較多，其次是形成猜想的機會；北師版七年級教材在圖形與幾何內容領域中，教材為學生提供的證明論證的機會明顯高于其它兩個版本；北京版七年級教材數與代數內容領域中，教材為學生提供的形成猜想的機會明顯高于識別模式的機會．

3.4 推理與證明中“模式”“猜想”“證明論證”的目的

分析識別模式、形成猜想、證明論證的目的可以揭示教材是否提供給學生理解三者聯系的學習機會．由于七年級教材中合理的模式數量較少，故本研究只分析確定的模式．圖6-8分析結果表明：3個版本教材中，大多數確定的模式沒有促進形成猜想，大多數猜想沒有促進證明．故教師在使用教材時，要妥善設計教學活動，為學生提供足夠的思考空間．

圖6 人教版教材七年級推理與證明中模式與猜想的目的

圖7 北師版教材七年級推理與證明中模式與猜想的目的

圖8 北京版教材七年級推理與證明中模式與猜想的目的

由于研究中類屬性證明的任務較少，研究者考查的是非類屬性數學證明的目的．由表6可知，所分析的推理與證明的任務中非類屬性數學證明的目的存在多樣性．在人教版和北京版教材中，產生新知識占比最高，其次是解釋、驗證．北師版教材中，驗證占比最高，其次是產生新知識、解釋、證偽．而在人教版、北京版教材中，非類屬性數學證明沒有體現證偽的目的．此外，許多學生不能區分諸如解釋、論證、驗證和證明這些不同數學推理之間的區別[12]．

表6 推理與證明任務中非類屬性數學證明的目的

4 研究結論與啟示

4.1 不同版本教材中各內容領域均存在推理與證明

研究結果表明，不同版本教材中各內容領域均存在推理與證明，其中，數與代數內容領域明顯高于其它兩個內容領域．這與“《標準》對數與代數知識領域的關注的重點已經不再僅僅是運算—數值計算、代數運算、求解方程（不等式）等，更多的是將代數作為表示、交流與解決問題的工具”的理念是一致的[13]．從總體上看，七年級數學教材的編寫是基本符合《標準》要求的．此外，3個版本七年級教材中推理與證明的子活動提供非證明論證的占比最多，提供證明論證的占比最少．正如斯蒂利亞尼德斯指出，證明論證要求學生提供嚴謹的證明．他進一步發現，學生對證明的誤解與教材中出現的特定推理與證明類型的頻率之間幾乎沒有關聯．盡管在教材中很少有證明論證的機會，但是學生們卻更傾向于依靠舉例來證明數學命題的正確性．教材中證明論證的百分比不是學生對證明產生誤解的主要原因，但它在幫助學生做出更嚴謹的證明方面有積極作用，因此建議編寫者深入思考未來在教材編寫中增加證明論證比重的可行性．

4.2 螺旋上升是數學教材編排的特點

斯蒂利亞尼德斯指出，非證明論證應在各年級減少，而證明論證則應隨著年級增長而增加，這與中國教材編排的特點相契合．由于考慮學生的認知特點以及教材編排特點，七年級學生在理解過多地抽象的幾何證明上存在困難，同時，中學階段統計與概率內容課時較少，并且要螺旋式（教材在呈現相應的數學內容與思想方法時，應根據學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，遵循逐級遞進、螺旋上升的原則．螺旋上升是指在深度、廣度等方面都要有實質性的變化，即體現出明顯的階段性要求）地安排在七至九年級．因此七年級數學教學的重點放在數與代數領域．另外，數與代數領域中出現的推理與證明大多是三段論簡化后的應用，這與幾何等領域中涉及到的推理方法相比是較為簡單的，往往不需要對知識點和方法的靈活選擇，而是有固定的步驟，例如求解一元一次方程，其步驟具有固定性，每一步的推理過程也相對有更加充足嚴謹的理由支撐．

4.3 教師應注重教學過程中給予學生推理與證明的機會

范良火教授曾指出，教材是學生進行數學學習的主要來源．學生喜歡自己直接閱讀教材，這既是教師的要求，也是學習動機的驅使．學生的數學學習不僅通過閱讀教材，而且通過課堂教學中教師將大部分問題轉化為自己的教學實踐．結果表明，3個版本教材中，大多數確定的模式沒有促進形成猜想，大多數猜想沒有促進證明，這與戴維斯（Davis）的研究結果一致[9]．因此，研究者們擔心如果教師不習慣按照教材講授每個課時的內容可能會錯過數學教材中一些潛在的推理與證明機會[14-15]．這一現象可能會導致學生擁有有限的推理與證明機會．所以一方面，教材要給予學生充分的推理與證明機會，例如在探索有理數減法法則時，可以先呈現減數是正數的特例，進而在與加上減數的相反數的運算結果進行比較，最后探究減數是負數的特例，這樣是從學生的已知出發探究新知的過程，也是引導學生思考、總結有理數減法法則的全過程；另一方面，教師要妥善設計教學活動，為學生提供足夠的思考空間，例如在探索有理數加法法則時，教師應注重學生從特例出發，分類總結同號、異號、一個數同零相加的3種情況，讓學生經歷觀察、猜想、歸納的過程，為學生提供充分的推理與證明機會．

此外，在每一年級的數學教材中安排證明和非證明論證的機會在多大程度上對學生的數學學習最為合理，需要進一步研究．總之，在教材改進過程中，各版本教材應做到既保留自身鮮明的特色，又能努力貼合《標準》對學生能力培養的要求，這樣才能更好地為一線教師的教學提供內容素材與教學資源．

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Reasoning and Proof in Seventh-Grade Mathematics Textbooks

FU Yu, WANG Jia-yao, QI Chun-xia

(Beijing Normal University, Faculty of Education, Beijing 100875, China)

The reasoning and proof framework of Stylianides was applied to explore reasoning and proof in seventh-grade mathematics textbooks. The results show that there are fewer reasoning and proof tasks in the seventh-grade textbooks; Number and Algebra contains the most reasoning and proof tasks, followed by Graph and Geometry, Statistics, and Probability. In addition, the purposes of the reasoning and proof subactivities were analyzed. It was found that most of the definite patterns do not promote the conjectures, and most of the conjectures do not promote the proofs. This provides a unique insight for research on mathematics textbooks in China. There are reasoning and proof tasks in various content areas in different versions of mathematics textbooks. The arrangement of the mathematics textbooks is characterized by a spiral rise. Teachers should pay attention to giving students reasoning and proof opportunities during the teaching process.

mathematics textbooks; Grade 7; reasoning and proof

G633.6

A

1004–9894（2021）06–0064–05

付鈺，王嘉瑤，綦春霞．七年級數學教材中的推理與證明[J]．數學教育學報，2021，30（6）：64-68．

2021–08–02

北京市教育科學“十三五”規劃重點課題——指向育人價值的高中數學概念教學研究（CDAA2020053）

付鈺（1994—），女，黑龍江綏化人，博士生，主要從事教材比較、教學評價研究．綦春霞為本文通訊作者．

[責任編校：陳雋、陳漢君]