考慮系統參數不確定性的諧波諧振監測點優化配置方法

蔣海瑋，徐永海，何志軒，陶 順，常 瀟，王金浩

（1. 新能源電力系統國家重點實驗室（華北電力大學）,北京市 102206；2. 國網山西省電力公司電力科學研究院,山西省太原市 030001）

0 引言

電能質量監測是電能質量問題得到分析和控制的重要環節和前提條件［1-3］。但由于電力系統中節點眾多、拓撲結構錯綜復雜,若在系統中所有節點均安裝電能質量監測裝置將耗費巨大成本［4］。因此,在經濟條件允許的范圍內合理配置有限監測點,以實現對相關電力擾動觀測能力的最大化是解決上述問題的關鍵。為此,國內外學者圍繞電壓暫降和諧波監測點的優化配置問題開展了較多研究［4-7］。

除了對電壓暫降和諧波的關注外,電力系統中的并聯諧波諧振同樣引起了廣泛關注［8-10］。并聯諧波諧振現象常表現為系統中某些節點的諧波過電壓,進而造成設備絕緣老化或擊穿、保護裝置損壞以及電壓互感器燒毀等,嚴重危害到電力系統的正常運行。文獻［8］的研究表明,系統節點導納矩陣趨于奇異是并聯諧波諧振現象的真正原因,對諧波諧振的分析可以轉化為對諧波諧振關鍵模態的分析,應用諧波諧振模態分析（harmonic resonance mode analysis,HRMA）法可以識別系統潛在的諧波諧振頻率,并對各節點的諧振可觀性進行有效評估。

考慮到諧波諧振問題具有嚴重的危害性,諧波諧振評估方法較早便得到研究,但有關諧波諧振監測點優化配置方法的研究卻較晚。文獻［11］報道了旨在監測系統潛在諧波諧振狀態的電能質量監測點優化配置方法。該優化配置方法在僅考慮并聯電容器組完全投入或完全退出對諧波諧振潛在影響的前提下,基于HRMA 法構建了諧振監測矩陣（resonance monitoring matrix,RMM）,以描述各母線的諧振可觀性,進而基于RMM 建立了以最少監測裝置數實現諧振完全可觀的監測點優化配置模型［11］。

然而,目前基于RMM 的諧振監測點優化配置方法仍存在一些不足。一方面,在分析諧波諧振問題時,除需考慮并聯電容器組取值的改變外,還應考慮發電機、變壓器、輸電線路以及負荷等元件參數取值的隨機性［12］。充分考慮系統不同類型元件參數取值的隨機性更容易挖掘系統客觀存在的不同潛在諧振現象［12-13］。因此,文獻［11］在僅考慮并聯電容器組完全投入或完全退出場景下建立的RMM 無法準確刻畫監測點配置方案對系統潛在諧振現象的可觀性。另一方面,現有優化配置方法的初衷是以最少的監測點實現諧振現象的完全可觀［11］,但在諧振完全可觀的高要求約束下,即使以裝置數目最少為目標尋優,所得配置方案需要的監測裝置數依然可能會超過投資方短期內最多能夠提供的裝置數,從而最終導致配置方案在實際工程中難以應用。

諧波諧振監測點的優化配置對有效監測實際系統中的諧振現象具有重要意義,從而為諧波諧振問題的分析與治理奠定了良好基礎。鑒于目前關于諧波諧振監測點的優化配置方法研究尚處于初級階段,本文提出了一種考慮電力系統不同類型元件參數取值不確定性的并聯諧波諧振監測點優化配置方法。本文的主要貢獻為：①基于系統參數隨機模型,應用HRMA 法和蒙特卡洛法,構建了概率性諧振監測矩陣（probabilistic resonance monitoring matrix,PRMM）,用于刻畫系統參數取值隨機變化條件下各節點對不同潛在并聯諧振現象的可觀性；②定義并量化了用于描述任意配置方案諧振監測能力的諧振可觀性指標（resonance observability index,ROI）,并在此基礎上提出了可觀性-成本權衡因子,用于描述諧振可觀性和投資成本經濟性之間的權衡關系；③提出了一種諧波諧振監測點的優化配置方法,該方法可以在確保配置方案所需監測裝置數滿足投資成本限定的條件下,實現諧波諧振可觀性和投資成本經濟性之間的協調優化。

1 HRMA 法

HRMA 法可以依據節點導納矩陣的特征值來辨識并聯諧波諧振（后文簡稱為諧振）頻率,并通過特征向量評估各節點的諧振可觀性［8］。

假設Yf為系統在頻率f處的節點導納矩陣,則節點電壓Vf與節點注入電流If之間的關系如式（1）所示。為簡化符號,后文將省略下標f。

由于各特征值的倒數是以阻抗為量綱的物理量,故稱其為模態阻抗（Zm）。通過式（4）可以看出,若節點導納矩陣的第k個特征值（λk）的模值為0 或者較小時,很小的模態電流（Jk）也將導致很大的模態電壓（Uk）。另外,由于向量J與U間已解耦,故Jk不會影響除Uk外的任何模態電壓,這意味著諧波諧振實際上是對應某個特定的模態而發生。此時,這個與諧振有關的最小特征值λk被稱為關鍵特征值,λk的左、右特征向量被稱為關鍵特征向量。λk模值的倒數zk=|λk|?1為關鍵模態阻抗,zk對應的頻率為諧振頻率（fm）,zk與fm共同定義了諧波諧振的關鍵模態（后文簡稱為諧振關鍵模態）［12-13］。為獲得確定參數下待研究頻率范圍內的全部諧振關鍵模態,可作出最大模態阻抗隨頻率的變化曲線,曲線各極大值點即對應各諧振關鍵模態［8］。

根據模態電壓公式U=TV,節點電壓與模態電壓間存在如下關系：

因Uk的值遠大于其他模態電壓值,所以存在上式的近似關系。

式（5）表明模態電壓Uk對實際電壓的貢獻可以用關鍵左特征向量Lk=［L1k L2k…LNk］T來表征,該向量內某元素的模值越大,其對應的節點諧波電壓被放大的程度就越高,即系統諧振關鍵模態的可觀性越強,在該位置安裝電能質量監測裝置就越容易監測到系統所處的諧振狀態。

2 考慮系統參數隨機性的RMM

不同類型元件參數取值的隨機不確定性會導致系統客觀存在著極為豐富的潛在諧振現象［12］。為有效刻畫各節點對系統大量潛在諧振關鍵模態的可觀性,本章將建立系統參數隨機模型,并在此基礎上應用HRMA 法和蒙特卡洛法提出概率性諧振可觀性矩陣（probabilistic resonance observability matrix,PROM）,以及與PROM 相對應的PRMM。

2.1 系統參數隨機性建模

發電機等值阻抗、變壓器與輸電線路參數以及負荷的有功和無功功率均可視為服從正態分布的隨機變量［12,14］。對于并聯電容器組而言,其投入的容量通常由負荷需要補償的無功功率決定,因此可不對其單獨建立隨機模型,即電容器參數樣本的取值方式為：首先,根據負荷功率隨機模型抽樣得到一組負荷有功和無功功率取值,再根據該次抽樣得到的負荷有功和無功功率以及提前設定的節點目標功率因數值計算并聯電容器組需投入的容量。綜上,假設m表示某元件參數（電阻、電感、電容或負荷功率）的隨機取值,則各類元件參數的概率密度函數如下所示：

式中：μ和σ分別為元件參數的期望和標準差。

根據3σ法則,各類元件參數將有99.7%的概率出現在區間μ±μδ內,其中δ=3σ/μ×100%。此時,可基于式（6）所示的系統各元件參數概率密度函數,利用蒙特卡洛法抽樣得到各元件參數對應的樣本矩陣S為：

式中：任意元素st為第t次蒙特卡洛模擬所得各元件參數基準值樣本構成的列向量,其中并聯電容器組的取值根據負荷功率的抽樣值和目標功率因數值計算得出；T為蒙特卡洛模擬總次數。

2.2 PRMM 的建立

由式（5）可知,在某一確定系統參數取值情況下,節點導納矩陣的關鍵左特征向量Lk可以表征各節點對某頻率下諧振的觀測能力。基于此,本文在考慮系統各參數取值具有不確定性的情景下,建立PROM 如下：

式中：分塊矩陣Mt表示系統各元件參數基準值按式（7）所示樣本矩陣S中的向量st進行取值時,對系統節點導納矩陣進行HRMA 所得全部歸一化關鍵左特征向量合并而成的矩陣。

Mt的具體表達式如下：

Mt的第j列為第j個諧振關鍵模態對應的關鍵左特征向量Lk=[L1k L2k…LNk]T經歸一化處理后所得的向量（1≤j≤H,H為諧振關鍵模態數）,故矩陣Mt中各元素aik,j模值的范圍均介于區間［0,1］內,aik,j模值的大小表示節點i對第j個特定諧振關鍵模態的可觀測能力,其模值越接近于1 表示節點i對第j個諧振關鍵模態的觀測能力越強。

為便于后續對配置方案諧振可觀能力的量化以及對監測點優化配置模型的建立,本文根據MPROM進一步定義了如式（10）所示的PRMM,即MPRMM=(MPRMM,ij),以刻畫各節點能否監測到某諧振關鍵模態。

式中：τ∈(0,1]為判斷某節點能否觀測到諧振的閾值。當|MPROM,ij|≥τ時,MPRMM,ij取 值 為1,以 表 示 節點i能觀測到第j個諧振關鍵模態；反之,當|MPROM,ij|＜τ時,MPRMM,ij取值為0,以表示節點i不能觀測到第j個諧振關鍵模態。

鑒于并聯諧波諧振監測旨在以系統嚴重的節點諧波電壓放大現象來反映系統當前是否正承受諧振的干擾,故閾值τ的取值越接近于1,通過式（10）就越容易篩選出諧振嚴重程度更高的節點作為候選諧振監測點。但當τ取為1 時,僅認為諧振電壓最大的節點是諧振可觀的唯一節點,從而導致實現諧振完全可觀配置方案所需的最少監測裝置數相比于其他閾值下所需的裝置數更多［11］。因此,在實際工程應用中可適當降低τ的取值（如取為0.95）,從而保證在候選監測點同樣具有高諧波電壓放大程度的情況下降低諧振完全可觀所需的最少監測裝置數。但目前關于閾值的選擇尚未有嚴格的標準,本文后續不再就該問題做深入探討。

3 監測點優化配置方法

為在考慮系統參數隨機不確定性的條件下,進一步將監測裝置數目限定這一重要因素引入諧振監測點優化配置模型中,本章首先根據第2 章構建的PRMM 提出ROI,以描述任意配置方案的潛在諧振觀測能力。然后,基于ROI 提出諧振監測點優化配置方法,以確保在配置方案所需監測裝置數滿足投資成本限定的條件下,實現諧振可觀性和投資成本經濟性之間的協調優化。

3.1 ROI

對于含有N個候選節點的待配置系統,可定義如式（11）所示的N維監測點決策列向量X=（xi）,以描述某一配置方案的監測裝置安裝位置。

式中：i=1,2,…,N。

根據配置方案決策向量X和式（10）所示的MPRMM,某決策向量X對應的ROI 值可由式（12）中的αr來表示。

式中：diag（X）表示以X為對角元素的方陣,則MPRMM,X表示將MPRMM中非監測點對應的行置零后所形成的矩陣；max（MPRMM,Xj）表示矩陣MPRMM,X第j列的最大值,則當配置方案內至少存在一個監測點能夠監測到第j個潛在諧振關鍵模態時,max(MPRMM,Xj)取值為1,若沒有監測點能夠監測到第j個諧振關鍵模態,則max（MPRMM,Xj）取值為0；F為矩陣MPRMM的總列數,即與樣本矩陣S相對應的系統潛在諧振關鍵模態總數。

由于只要存在一個監測點能夠監測到某一諧振關鍵模態,即可認為系統所處的諧振狀態可觀,亦即由諧波電流注入所引發的各節點諧波電壓放大現象可感知,因此,ROI 能夠描述某一配置方案可觀測到的諧振關鍵模態數占諧振關鍵模態總數的比例。假設PRMM 反映的全部關鍵模態均可能出現且每個關鍵模態出現的可能性相同,ROI 即刻畫了系統諧振可以被觀測到的概率。ROI 值越大,配置方案的系統諧振可觀性就越強。

3.2 優化配置基礎模型

3.2.1 諧振完全可觀條件下的優化模型

為在考慮系統參數隨機變化的條件下,確保PRMM 描述的全部F個潛在諧振關鍵模態均能至少被一臺監測裝置監測到（即配置方案的ROI 值為100%）且所需監測裝置數目最少,此時的優化配置模型可表達為如下形式：

式中：C為各元素皆為1 的F維列向量。

由于式（13）所示的規劃問題為典型的0-1 整數線性規劃問題,可采用分支定界算法進行求解［15］。

3.2.2 欠量測條件下的優化模型

假設投資方最多能夠提供N1臺監測裝置,實現式（12）所示ROI 值（αr）為100%最少需要N2臺監測裝置,則當N1＜N2時,說明因監測裝置不足無法實現諧振完全可觀。針對此欠量測場景,本文提出以確定數目的監測裝置實現ROI 值最大化的優化配置模型。該優化模型可以表達為如下形式：

式中：n為任意監測裝置數。此時,將n=N1＜N2代入式（14）并求解該優化模型,即可獲得欠量測條件下取得最大ROI 值的配置方案。

由于式（14）所示的優化模型為定約束條件下的離散型非線性規劃問題,當裝置數上限與網絡節點數目較少時,尚可采用枚舉法列舉出全部的種配置方案并計算出各方案的ROI 值,從而對比得出最大ROI 值對應的配置方案；但當網絡節點數目較多,且允許安裝較多數目監測裝置以實現高諧振可觀性時,備選配置方案總數的取值很大,枚舉尋優法因運算量巨大而難以應用。為此,本文采用一種基于離散粒子群優化（binary particle swarm optimization,BPSO）的人工智能算法進行模型求解［16-17］,該方法對式（14）中定約束條件的處理方式及整個尋優流程見附錄A。

3.3 最終配置方案的確定方法

為確定最終配置方案,應首先根據3.2.1 節給出的優化模型確定以最少監測裝置數實現ROI 值為100%的優化配置方案,再對資金允許范圍內能夠達到的最大裝置數N1與此方案所需裝置數N2進行比較。若N1≥N2,則以此方案作為基準方案；反之若N1＜N2,則說明諧振完全可觀無法實現,此時,選擇ROI 值最大的配置方案作為基準方案,以盡可能多地觀測到系統的潛在諧振現象。

需要注意的是,之所以稱上述配置方案為基準方案,是因為與上述配置方案所需監測裝置數（記為nmax）和能夠實現的ROI 值（記為αr,max）相比,可能存在所需裝置數少于nmax但能夠實現的最大ROI 值卻十分接近于αr,max的配置方案（這一現象將在后文算例中作進一步說明）。因此,可在基準方案基礎上進一步權衡配置成本和諧振可觀性,選擇二者協調最優的配置方案作為最終方案。因此,本文定義了可觀性-成本權衡因子（observability-cost trade-off factor,OCTF）,如式（15）中βt所示。

式中：αn,r,max表示與任意監測裝置數n＜nmax對應的最大ROI 值。可見,OCTF 描述了監測裝置數從nmax減少至n帶來的成本收益而導致的ROI 值下降率。

此時,令βt,max(βt,max∈(0,1))表示投資方允許的最大OCTF 值,則最終的協調最優方案可視為在OCTF 值不超過限值βt,max的約束下,取得成本收益最高,即所需監測裝置數目最少的配置方案。

綜上,在已獲得基準方案的情況下,最終配置方案的獲取可轉化為多次求解式（14）所示優化模型以尋找臨界監測點數的迭代形式,即保持式（14）中的目標函數不變,將約束條件中監測裝置數n的取值以nmax為起始量逐次減1,從而求解各n值對應的權衡因子βt,n,并對相鄰2 個監測裝置數對應的OCTF值進行比較,當在逐次運算過程中出現βt,n1≤βt,max＜βt,n2（其中n1=n2+1≤nmax）時則停止運算,最終的協調最優配置方案即為監測裝置數為n1時,實現ROI 值最大化的方案。

4 優化配置實現流程

根據上文內容,本文提出的考慮系統參數不確定性的并聯諧波諧振監測點優化配置步驟如下。

步驟1：將系統各元件參數視為隨機變量,建立各元件參數隨機模型,基于各參數的概率分布情況隨機抽樣T次,得到各隨機變量的樣本矩陣S=[s1s2…sT]。

步驟2：設頻率f∈[fmin,fmax],以Δf為頻率間隔計算獲得與樣本矩陣S中第1 個列向量s1相對應的系統最大模態阻抗-頻率曲線。搜索該曲線全部峰值點對應的諧波諧振頻率,并計算各諧振頻率處的關鍵左特征向量,從而形成第1 個如式（9）所示的諧振可觀性子矩陣M1。

步驟3：重復步驟2,依次建立S中其余T?1 個參數向量st對應的各Mt,并將全部T個Mt合并,形成如式（8）所示的MPROM。

步驟4：設置閾值τ,根據步驟3 所得的MPROM獲得如式（10）所示的MPRMM。

步驟5：首先根據決策者的需求設置能夠提供的最大監測裝置數N1和權衡因子限值βt,max,最后基于3.2 節提出的優化配置基礎模型,采用3.3 節中的方法獲取諧振監測點的最終配置方案。

綜上,圖1 給出了本文提出的并聯諧波諧振監測點優化配置詳細流程。

圖1 優化配置流程圖Fig.1 Flow chart of placement optimization

5 算例仿真與分析

5.1 測試系統及參數設置

基于附錄B 圖B1 所示的IEEE 30 節點測試系統驗證本文提出的諧振監測點優化配置方法［18］。本 文 隨 機 選 取 該 系 統 節 點10、18、21、23、24、26 這6 處含無功負荷節點接入并聯電容器組進行無功補償,并考慮串有4.5%電抗率的電抗器。

各元件基波參數期望值取為元件基準值,其中發電機采用次暫態電抗模型［19］,電抗基準值取為0.25 p.u.；輸電線路與變壓器采用集中式等效模型,模型中各電阻、電感與電納參數如附錄B 表B1 和表B2 所示；負荷采用應用較廣泛的RL 并聯導納模型［11,20］,此時的負荷諧波導納Y可按照式（16）來計算［20］。

式中：G和B分別為負荷諧波的電導和電納；P為負荷有功功率；Q為負荷無功功率；h為諧波次數；VL為負荷處的節點電壓。有功與無功功率的基準值如附錄B 表B3 所示。發電機、輸電線路與變壓器模型中各參數標準差按照δ=10%選取,負荷的有功與無功功率標準差按照δ=50%選取［12］。抽樣過程中,并聯電容器組投入容量按照使負荷功率因數提高至0.97 進行計算。

用于模態分析的頻率間隔Δf取為0.1 p.u.（頻率的單位以系統基波頻率的次數為基準）,所研究的諧振頻率范圍為1～50 p.u.。建立PRMM 過程中的蒙特卡洛仿真總次數取為10 000 次,閾值τ取為0.95。此外,在求解式（14）所示優化模型時,BPSO 算法中的種群規模設置為20,慣性權重取為w=0.8,正向加速系數取為c1=c2=2,最大迭代次數設置為200 次。

5.2 測試系統潛在諧振關鍵模態及其可觀性分析

本節將對測試系統諧振關鍵模態在Zm-f平面的分布情況及不同關鍵模態的可觀性進行分析,分析過程中分別考慮系統僅存在各電容器組完全投入或完全退出的場景（文獻［11］考慮的場景）,以及系統不同類型元件參數取值隨機變化的場景（本文考慮的更為接近真實情況的場景）,并對2 種場景所得結果進行對比分析。2 種不同場景下的潛在諧振關鍵模態分布情況分別如圖2（a）和（b）所示。圖中紅色曲線均為各元件參數取為基準值時的最大模態阻抗-頻率曲線,曲線各峰值點代表系統此時不同的諧振關鍵模態；藍色圓圈代表系統元件參數取值有別于基準值時的最大模態阻抗-頻率曲線峰值點,即系統在某一特定參數取值情況下的各潛在諧振關鍵模態。其中,圖2（a）中各關鍵模態代表僅考慮文獻［11］場景下的系統不同潛在諧振,圖2（b）中各關鍵模態則代表本文考慮場景下的不同潛在諧振。

圖2 不同場景下的潛在諧振關鍵模態分布Fig.2 Distribution of potential resonance critical modes in different scenarios

由圖2 可知,在2 種場景下,隨著系統元件參數取值的變化,諧振關鍵模態較基準曲線峰值點所在位置均發生了偏移,這意味著系統潛在諧振的頻率和幅值特征發生了改變,但可以很直觀地看出,2 種場景下的關鍵模態分布情況并不相同。當僅考慮各電容器組全部投入或全部退出時,最終搜索到的潛在諧波諧振點大都分布在基準曲線峰值點附近,而當考慮系統不同類型元件參數取值隨機性時,搜索到的諧振關鍵模態的分布范圍更加廣泛,更能客觀反映系統實際運行中的潛在諧波諧振。

但需指出的是,由圖2 可見,頻率在5～10 p.u.等頻段的部分諧振關鍵模態能夠通過文獻［11］算法搜索到,但未能通過本文方法搜索到,這是因為諧振關鍵模態的分布與參與HRMA 的節點導納矩陣有關,文獻［11］僅考慮了并聯電容器組完全投入或完全退出對潛在諧振的影響,而本文不但考慮了電容器組取值變化的影響,還考慮了其他類型元件參數隨機變化的影響,且本文中電容器組的取值根據負荷需要補償的無功功率進行設定,更符合電網的實際運行情況。因此,本文考慮場景下所得的系統節點導納矩陣無法完全包含按文獻［11］方法所得的節點導納矩陣,這便導致在少量頻段處文獻［11］能搜索到的諧振關鍵模態未能通過本文方法搜索到,但這是本文考慮了更多實際場景后的更為合理的現象。

綜上,正因為本文提出的PRMM 面向圖2（b）中實際存在的潛在諧振而建立,故PRMM 能夠更加客觀而準確地刻畫各節點的潛在諧振可觀性。

限于文章篇幅,下文以圖2 中21～24 p.u.頻帶內的全部諧振關鍵模態為例,對2 種場景下相同頻帶內各節點的諧振可觀情況進行對比分析。

首先,分析文獻［11］場景下待研究頻帶內各節點的諧振關鍵模態可觀情況。仿真結果表明,該場景下共有3 個節點具有諧振可觀性,由式（12）可得這些節點的ROI 值如表1 所示；各節點可觀與不可觀的諧振關鍵模態如圖3（a）和（b）所示。

表1 文獻[11]場景下具有諧振可觀性節點的ROI 值Table 1 ROI values of buses with resonant observability in the scenario of reference [11]

圖3 文獻[11]考慮場景下各節點可觀與不可觀的諧振關鍵模態分布Fig.3 Distribution of observable and unobservable resonance critical modes of each bus in the scenario of reference [11]

由表1 和圖3 可以看出,當僅考慮并聯電容器組完全投入或完全退出時,僅在節點29 或僅在節點30處安裝監測裝置均能實現該場景下的諧波諧振完全可觀,即選擇節點29 或30 安裝監測裝置是實現諧振完全可觀且所需裝置數最少的配置方案。

下面分析本文考慮系統參數不確定性場景下待研究頻帶內各諧振關鍵模態的可觀情況。仿真結果表明,在本文場景下共有6 個節點具有諧振可觀性,這些節點的諧振可觀性指標如表2 所示；各節點可觀與不可觀的諧振關鍵模態如圖4（a）～（f）所示。

表2 本文場景下具有諧振可觀性節點的ROI 值Table 2 ROI values of bues with resonant observability in the scenario of this paper

圖4 本文考慮場景下各節點可觀與不可觀的諧振關鍵模態分布Fig.4 Distribution of observable and unobservable resonance critical modes of each bus in the scenario of this paper

由表2 和圖4 可以看出,對于能夠實現文獻［11］場景下各諧振關鍵模態完全可觀的節點29 或30 均未能實現本文考慮場景下全部諧振現象的完全可觀,被二者大量遺漏的諧振現象需通過節點3、5、26 或28 才能觀測到。

綜上,在僅考慮并聯電容器組完全投入或完全退出場景下分析諧振現象時,將有大量潛在諧振現象被遺漏,且在相同頻帶內,該場景下能夠實現諧振完全可觀且所需裝置數最少的配置方案在本文考慮的實際場景中未必能夠實現諧振完全可觀。充分考慮系統元件參數取值的不確定性對有效刻畫各節點的潛在諧振可觀性具有重要意義。

5.3 優化配置結果與分析

下文分別采用文獻［11］中基于RMM 的方法和本文提出的基于PRMM 的方法對測試系統進行諧振監測點優化配置。在應用本文方法進行優化配置時將OCTF 限值βt,max設置為0,即暫不考慮諧振可觀性與投資經濟性之間的權衡,所得結果如表3所示。

表3 優化配置結果Table 3 Optimal placement results

首先分析在監測裝置充足時,本文所提優化配置方法是否能夠實現諧振的完全可觀。由表3 可知,通過RMM 法所得配置方案的ROI 值為89.61%,未能實現實際情況下諧振的完全可觀,原因正如5.2 節中的諧振可觀性分析,即RMM 法旨在面向圖2（a）中各諧振關鍵模態進行監測點優化配置,但能夠實現對這些關鍵模態完全可觀且裝置數目最少的配置方案并不能實現圖2（b）中系統實際存在的潛在諧振關鍵模態完全可觀。而由于本文考慮了系統不同類型元件參數隨機變化這一事實,直接面向系統實際存在的各諧振關鍵模態進行優化配置,故能獲得ROI 值為100%的配置方案。

此外,相比于文獻［11］中的RMM 法,采用本文方法除能夠提供以最少裝置數實現諧振完全可觀的配置方案以外,還可以提供監測裝置數目有限時實現ROI 值最大化的配置方案。例如,由表3 可知,實現ROI 值為100%至少需要11 臺監測裝置,但若投資方短期內僅能提供5 臺監測裝置,則可以選擇節點3、5、18、26、29 作為最優配置方案,該方案能夠達到的ROI 值為93.97%,是全部C530種配置方案對應各ROI 值中的最大者。由表3 還可以進一步看出,當監測裝置數目與RMM 法所得方案裝置數目相同（均為9）時,本文所得方案達到的ROI 值為99.91%,比RMM 法提高了11.49%。而當采用PRMM 法達到的ROI 值與RMM 法達到的ROI 值相近時（ROI 值為87.19%）,PRMM 法所需監測裝置數僅為4 臺,比RMM 法所需監測裝置減少了5 臺。

根據表3,圖5 給出了最大ROI 值隨裝置數的變化曲線。可以看出,隨著監測裝置數目的增多,最大ROI 值αr,max逐漸增大,但增長速率卻逐漸放緩。這意味著在一定范圍內,更少的監測裝置數目對應的αr,max可以近似于資金允許范圍內能夠達到的αr,max,而本文提出的OCTF 可作為量化這種近似程度的參數。

圖5 不同監測裝置數目對應的最大ROI 值Fig.5 The maximum ROI value corresponding to different numbers of monitoring devices

最終的優化方案由最多能提供的裝置數N1和設定的OCTF 限值βt,max共同決定。假如N1為11,此時由表3 可知基準方案可恰好在監測裝置全利用的情況下實現ROI 值為100%。若投資方設定的βt,max值為5%,則認為ROI 值不低于95%即可滿足諧振可觀性的要求。此時按照3.3 節中的方法可得到最終配置方案為表3 中裝置數為6 且ROI 值為97.68%對應的配置方案。相對于基準方案,最終方案的ROI 值下降率僅為2.32%＜5%,但可減少裝設5 臺監測裝置所需的成本。

表4 列舉了幾種不同的N1和βt,max取值情況下的優化配置結果。可以看出,當N1確定時,βt,max越大,在諧振可觀性與投資經濟性權衡過程中對可觀性的要求就越低,也越容易降低投資成本。在實際工程應用中,投資方可根據自身對諧振可觀性的要求,選擇適當的βt,max值,從而在自身經濟條件限制范圍內能夠達到的最大ROI 值基礎上,適當放寬對諧振可觀性的要求,以獲得相應的成本收益。

表4 N1和βt,max取為不同值時的優化配置結果Table 4 Optimal placement results with different values of N1 and βt,max

5.4 相關參數變化對優化配置結果的影響

在優化配置過程中,判斷諧振可觀與否的閾值τ、建立PRMM 所需的蒙特卡洛仿真總次數以及各隨機變量標準差的選擇會對諧振完全可觀所需的最小裝置數N2帶來影響。根據式（13）所示的優化模型,本節將在5.3 節算例基礎上,對相關參數變化對N2值的影響規律進行分析。

5.4.1 閾值選擇對配置結果的影響

表5 給出了不同閾值時以諧振完全可觀為約束的優化配置結果。可以看出,隨著閾值τ取值的逐漸減小,實現諧振完全可觀所需的最少裝置數也逐漸減少,這是因為正如式（10）所示,τ的取值越小,MPRMM,ij取值為1 的可能性越大,即各節點能夠觀測到的諧振關鍵模態比例就越大,這便導致所需較小數量監測點即可實現諧振完全可觀。

表5 不同閾值時以諧振完全可觀為約束的優化配置結果Table 5 Optimal placement results under the constraint of resonance complete observability with different thresholds

但需要注意的是,并聯諧振監測應以系統嚴重的節點諧波電壓放大現象來明顯地提示系統當前正承受諧振干擾,盡管選擇較低的閾值可以降低諧振完全可觀所需的最少監測點數,但當諧振發生時,低閾值對應配置結果所選監測點處的諧波電壓放大程度可能并不明顯,從而易導致諧振現象被電力部門所忽視。因此,從既保證諧振監測的可靠性又保證投資經濟性的角度出發,閾值τ可選擇低于1 但接近于1 的數值,如上文算例中選擇的閾值0.95。

5.4.2 蒙特卡洛仿真次數對配置結果的影響

表6 給出了不同蒙特卡洛仿真次數時以諧振完全可觀為約束的優化配置結果。

表6 不同蒙特卡洛仿真次數時以諧振完全可觀為約束的優化配置結果Table 6 Optimal placement results under the constraint of resonance complete observability with different Monte Carlo simulation times

由表6 可以看出,在蒙特卡洛仿真次數不超過3 000 次的范圍內,隨著仿真次數的增加,優化配置結果所需監測點數也逐漸增加,這是因為在ROI 值未收斂前,抽樣次數越多越容易搜索到具有不同特征的諧振關鍵模態,而實現更多不同特征諧振關鍵模態完全可觀的最少裝置數也就越多。而當抽樣次數超過3 000 次時,優化配置結果趨于穩定,即只需要11 臺監測裝置即可實現諧振完全可觀,這是因為當蒙特卡洛仿真次數超過3 000 次時,不同配置方案的ROI 值已趨于收斂,因此對應于ROI 值為100%且裝置數目最少的配置方案將不再改變。

5.4.3 系統參數標準差取值對配置結果的影響

如2.1 節所述,本文按各元件參數有99.7%的概率出現在區間μ±μδ內設置標準差,此時,表7 給出了不同δ值時以諧振完全可觀為約束的優化配置結果。由表7 可以看出,隨著δ值的逐漸降低,優化配置結果所需監測點數也逐漸降低,這是因為元件參數變化范圍越小,系統具有不同特征的潛在諧振關鍵模態數量就越少,實現這些諧振現象完全可觀的最少監測點數也就越少。

表7 不同隨機變量標準差時以諧振完全可觀為約束的優化配置結果Table 7 Optimal placement results under the constraint of resonance complete observability with different standard deviation of random variables

6 結語

本文提出一種并聯諧波諧振監測點的優化配置方法,該方法充分考慮了電力系統不同類型元件參數取值隨機變化對諧波諧振潛在性與可觀性造成的影響,并能夠在確保監測裝置數目滿足投資成本限定的前提下,實現諧波諧振可觀性與投資成本經濟性之間的協調優化。通過與現有方法進行對比分析可知,本文在監測點優化配置過程中面向的諧振現象更加接近于系統實際存在的諧振現象,優化配置方法更符合工程實際應用場景。主要結論如下：

1）本文所建立的PRMM 能夠描述各節點對更多系統實際存在的潛在諧振現象的可觀性,基于PRMM 提出的ROI 可以描述任意配置方案的諧波諧振觀測能力；

2）根據投資方能夠提供的最大裝置數以及設定的最大OCTF 值,采用本文基于PRMM 的方法可以在任意監測裝置數目限定的條件下,給出權衡諧振可觀性以及投資成本經濟性的最優配置方案,既克服了現有方法忽略實際工程應用中對裝置數目限定的問題,又克服了現有方法未能權衡諧振可觀性與投資成本經濟性而導致某些情況下所得配置方案低性價比的問題。

本文研究得到國網山西省電力公司科技項目(52053018000z)的資助，特此感謝！

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