考慮分布式電源不確定性的配電網改進仿射狀態估計

曲正偉，張嘉曦，王云靜，李弘文

（1. 電力電子節能與傳動控制河北省重點實驗室（燕山大學）,河北省秦皇島市 066004；2. 國網冀北電力有限公司檢修分公司,北京市 102488）

0 引言

配電網狀態估計能夠為高級配電運行的實時監視分析、控制保護、經濟調度等功能提供可靠的數據支持。然而,隨著高滲透率可再生分布式電源（distributed generator,DG）并網發電,DG 波動性和隨機性使配電網出現功率雙向流動、節點電壓波動加劇等現象,進而給配電網的運行、態勢感知帶來挑戰,威脅到配電網系統安全［1-3］。因此,在配電網狀態估計過程中,需要考慮更強的不確定性和常態化的隨機波動因素,并對其進行合理的建模。

當前,對配電網狀態估計中的不確定性問題通過隨機模型［4-5］、模糊數模型［6］和區間數模型［7-8］建模。隨機模型和模糊數模型需要通過大量的歷史數據獲取概率密度函數或隸屬度函數。而實際中,對于風電、光伏等DG 很難獲得準確的先驗函數,在狀態估計中反而會惡化結果,而區間數模型只需每個不確定性變量的上下界,不需要特定的分布,所以更適用于工程實際［9］。

對于區間狀態估計的研究主要從區間運算方法、區間優化模型［10］以及區間約束模型［11］展開。傳統區間運算（interval arithmetic,IA）在運算過程中,由于忽略區間輸入變量間存在的相互依賴,會使得區間進一步擴張,出現誤差爆炸的現象。區間迭代的優化算法能夠將區間收斂到一個較窄的范圍,文獻［12］利用Krawczyk 算子進行迭代,不斷逼近解集外殼,但由于忽略多區間變量之間的關聯性和耦合性,影響了收斂性能,導致邊界結果過寬。文獻［13］提出基于未知約束理論的區間優化模型,并采用線性規劃方法有效求解,但基于線性化的方法不能保證最優解［14］。作為IA 方法的發展,仿射運算（affine arithmetic,AA）能夠在運算過程中考慮多個變量之間的關聯性和耦合性,并在迭代過程中具有較好的收斂性,已成為分析含DG 區間潮流的有效手段［15-17］。鑒于仿射及其改進運算在區間潮流中的廣泛研究,其在解決具有不確定性的配電網區間狀態估計中也具有很大的應用前景。文獻［18］提出對不確定量進行仿射描述,并用AA 進行狀態估計的求解方法,但其在運算過程中用仿射中心值進行簡化和替換,使結果不能保證解的完備性,而且仿射非線性運算過程復雜,產生大量新的噪聲元,造成結果較為保守,計算效率低。

微型同步相量測量單元（micro synchrophasor measurement unit,μPMU）能夠滿足配電網高精度的測量目標,測量各安裝節點每個周期帶時間戳的電壓相量及相鄰支路電流相量,與PMU 相比,其安裝成本低,并且能分辨出低至±0.01°的角度差,更加適合配電網的運行特性［19-20］。

為此,本文提出一種配電網改進仿射狀態估計方法,其在所建立的含μPMU 生成偽測點的模型基礎上,通過對DG 出力區間的仿射描述,建立了仿射狀態估計模型,增加了迭代過程中DG 之間的聯系,收斂效果好。通過量測變換策略減少了新增噪聲元從而降低運算復雜性,并通過改進的仿射運算（modified affine arithmetic,MAA）方法進行有效求解。在保證解完備性的基礎上,進一步降低解的保守性,仿真結果驗證了本文方法的有效性。

1 基于支路電流的狀態估計

1.1 含μPMU 生成偽測點的混合量測系統

1.1.1 μPMU 量測數據

對于配置μPMU 量測的節點,其呈現的測量值為極坐標形式,利用坐標變換公式將其轉化為直角坐標,如式（1）所示。

式中：V?i,pmu和I?ij,pmu分 別為μPMU 所在節點i的 電壓相量和支路ij的電流相量；i,j∈N,N為配電網節點集合。

1.1.2 SCADA 及AMI 量 測 數 據

數據采集和監控（supervisory control and data acquisition,SCADA）系統是傳統狀態估計的量測數據來源,雖然能夠保證配電網狀態估計的可觀性,但其精度較低,僅能測量所在節點的電壓和電流幅值、有功功率和無功功率。高級量測體系（advanced metering infrastructure,AMI）在用戶側測量,同樣可獲得節點功率和支路功率,兩者的量測數據通過等效量測變換,可將其測量端點處的功率型數據經過實部虛部解耦轉化成節點注入電流相量,表達式為：

式 中：I?i,eq為節點i等 效 注 入電流相量；S?i,m=Pi,m+jQi,m為節點i的量測功率,由SCADA 和AMI 量測的節點負荷有功功率Pi,m和無功功率Qi,m組成；V?i為節點i的電壓相量；( ?)*表示相量實部和虛部的解耦運算。

類似地,可將SCADA 和AMI 的支路功率量測轉換為等效支路電流量測。

1.2 μPMU 生成偽測點模型

在配電網狀態估計中,偽量測（pseudo measurement,PSO）能夠補充數據冗余度,提高網絡可觀性,其精度對狀態估計精度有決定性的作用。在含高滲透率DG 的配電網中,受DG 大規模接入、DG 投切頻繁和配電網網絡拓撲多變的影響,全系統運行狀態復雜度與變量維度規模化增長,機器學習方法較難適應高隨機性及動態變化特性,導致其偽量測精度難以保證［21］。為了改善偽量測數據的精度,本文基于μPMU 的節點電壓和支路電流的相量量測數據,通過基爾霍夫定律生成與之相鄰的μPMU 偽測點數據,采用測量不確定度傳播理論［22］獲得其測量誤差,能夠從狀態估計數據輸入端就確保偽量測的精度,增加偽量測的可靠性［23］。

測量不確定度傳播理論是指間接觀測量的值通過運算模型由直接觀測量獲得,但因直接觀測量中帶有一定誤差,所以間接觀測量的誤差由直接觀測量的誤差傳播而產生,設Z是n個獨立觀測量t1,t2,…,tn的函數,即

式中：t1,t2,…,tn為直接觀測量,相應的觀測誤差分別為m1,m2,…,mn,則間接觀測函數Z的誤差如式（4）所示。

式中：m(tk)為觀測量tk的標準偏差。

具體的μPMU 配置點網絡可觀情形如附錄A圖A1 所示,為保證偽量測精度,偽測點數據的生成模型僅考慮與μPMU 直接相關聯的點而不再進行二次擴展,即μPMU 偽測點的另一端所連節點不再可觀,達到補充高精度數據冗余的效果。考慮到安裝經濟性,根據附錄A 圖A2 所示的配電網π 型結構圖,通常采用附錄A 式（A1）作為偽測點生成模型,并生成節點i的電壓偽量測量V?i,pso。

1.3 DG 注入功率

目前,在配電網穩定分析過程中,常規負荷及DG 大多采用PQ控制方式,即根據給定的功率因數計算出光伏出力和風機出力的無功功率。當以某一個時間斷面分析配電網運行狀態時,DG 出力往往是以確定的有功功率和無功功率的形式注入所在節點。通過等效量測變換,將其功率型數據經過實部虛部解耦轉化成節點注入電流相量,即

式 中：I?i,DG為 節 點i等 效 的DG 注 入 電 流 相 量；S?i,DG=Pi,DG+jQi,DG為 節 點i的DG 功 率,由DG 出力的有功功率Pi,DG和無功功率Qi,DG組成。

所有量測數據經過上述量測變換的處理,轉換成直角坐標形式的電流相量,實現了量測形式的統一,則量測數據構成為基于電壓和電流的混合量測系統ZM,表達式為：

1.4 算法原理

支路電流法基于加權最小二乘法,根據電壓、電流之間的線性關系,以支路電流I?ij的實部和虛部為狀態變量進行狀態估計,狀態量表示為：

式中：x為n維狀態向量。

配電網的量測模型可以表示為：

式 中：z=[z1,z2,…,zm]T為m維 量 測 向 量；h(?)為量測函數；e為量測誤差向量,服從均值為零的正態分布。

支路電流法是加權最小二乘法的衍生,其最小化目標函數為：

式中：w=R?1為量測權重矩陣,R為n個量測誤差組成的協方差矩陣；c(?)為對系統中存在的零注入功率添加等式約束條件,對狀態估計結果加以修正,進而提高狀態估計精度。

2 仿射運算

2.1 仿射及其運算

AA 通過引入噪聲元來增加不確定變量之間的相關性,解決IA 中的區間擴張問題［24］。一個不確定區間變量u可表示為一組具有噪聲元的仿射線性組合,即為仿射數：

式 中：u0為 中 心 值；噪 聲 元εi∈[?1,1],i=1,2,…,n為不確定性因素；ui為噪聲元系數,表示不確定性因素對變量u的影響程度。

仿射線性運算不會產生新增噪聲元,而在乘法和除法等非線性運算過程中,通常以新增的噪聲元來代替運算產生的噪聲元二次項,或者采用某種近似法則來逼近其真實解［25］,對于給定的2 個仿射數u?和v?,AA 的乘法如式（14）所示。

式中：a和b分別代表仿射數v?的區間上、下限；α1、β1和δ為參數。

復仿射數除法運算與實仿射類似,可被分解為仿射的乘法、平方以及倒數運算,有

如式（16）所示,2 個復仿射數除法運算將會產生5 個新增噪聲元,新增噪聲元過多將會導致運算復雜且會影響仿射運算結果的保守性。所以,仿射的非線性運算是導致仿射區間擴張的原因。

2.2 改進的仿射運算

不論是IA 還是AA,其結果一般采用2 種標準來評價：一是解的完備性,即運算結果能否包含真實解的所有范圍；二是保守性,即運算結果在保證解完備性的基礎上,對真實解變化范圍的接近程度,運算結果過于保守將失去工程價值。AA 能夠保證解的完備性,但是由于仿射非線性運算過程中會產生大量新的噪聲元,不可避免地會使解過于保守。

對于仿射乘法運算,式（14）中等號右邊前2 項是已有噪聲元的仿射形式,第3 項是用新增噪聲元來代替仿射噪聲元相乘產生的二次項。因此,改進方法的主要目的是對最后一項新增噪聲元及其系數找到一種新的仿射近似方法。

針對新增噪聲元導致的區間擴張問題,本文采用MAA,通過合并新增的相同噪聲元項并對其系數進行求和逼近,減少解的保守性［26］,實數域的MAA 表達式為：

首先,在MAA 中,保留了AA 式（14）中等號右邊的前2 項。其次,式（14）中等號右邊的最后一項的近似值返回結果為絕對值,則有uiviεk∈[0,uivi]。然后,相較于AA 將各噪聲元系數乘積的絕對值和直接近似,此MAA 將具有相同噪聲符號εiεj的項合并,通過對其系數|uivj+ujvi|求和來逼近。這樣的改進方式減少了由近似項帶來的區間擴張問題,避免了結果的保守性,而且其絕對值總和也保證了解的完整性,確保解的完備性。

在復仿射 域 中,2 個復仿射 數u?c和v?c的MAA 乘法運算為：

式中：zreal和zimag分別為新增實部和虛部噪聲元的系數；εreal和εimag分別為新增實部和虛部的噪聲元。

IA、AA 和MAA 在運算結果的完備性、保守性方面的表現在附錄B 進行驗證。通過驗證表明,MAA 能夠充分考慮變量之間的關聯性,更接近并包含真實區間。仿射數建模及MAA 將用于具有不確定性的配電網仿射狀態估計的迭代求解過程,將在下一章進行說明。

3 配電網區間狀態估計的仿射解法

3.1 混合量測系統的仿射建模

為了對不確定性的DG 出力有更好的描述,同時能在配電網狀態估計中體現其影響,本文將節點i的DG 出力在某一時間斷面形成的波動性區間[Si,DG]=[Pi,DG]+j[Qi,DG]按式（12）轉化成仿射數形式：

式 中：S?i,m和S?ij,m分 別 為SCADA 和AMI 節 點 功 率和支路功率的仿射形式；V?i,pmu和I?ij,pmu分別為μPMU及其生成偽測點的節點電壓相量和支路電流相量的仿射形式；S?i,0,m和S?ij,0,m分別為節點和支路的測量仿射中心值；Pi,m和Qi,m分別為節點功率仿射形式的有功和無功功率；Pij,m和Qij,m分別為支路功率仿射形 式 的 有 功 和 無 功 功 率；V?i,0,pmu和I?ij,0,pmu分 別 為μPMU 及其生成偽測點的節點電壓相量和支路電流相量的測量仿射中心值；Vi,r,pmu和Vi,x,pmu分別為μPMU 及其生成偽測點的節點電壓相量實部和虛部；Iij,r,pmu和Iij,x,pmu分別為μPMU 及其生成偽測點的節點電流相量實部和虛部；εi,P,m、εi,Q,m、εij,P,m、εij,Q,m、εi,r,pmu、εi,x,pmu、εij,r,pmu和εij,x,pmu為各量測量的噪聲元。

3.2 仿射量測變換策略

對于1.1.2 節中,SCADA 和AMI 的節點及支路功率量測、DG 的注入功率量測在狀態估計過程中的量測變換過程,以DG 注入功率的量測變換式（5）為例,由于要進行復仿射數除法運算,由式（16）可知,若給定2 個復仿射功率含m個噪聲元,迭代g次后,每個電流復仿射中含有噪聲元數量N為：

由式（21）知,復仿射的除法計算過程由于要保證解的完備性,會產生大量的新噪聲元,在迭代過程中造成量測函數矩陣的變大,運算過程復雜,耗時較長,難以收斂［27］。所以在量測變換和狀態估計過程中,應盡量避免仿射數除法的運算。因此,根據配電網的運行特性,考慮實際系統中沿配電線路的小壓降和正常電壓極限（0.95 p.u.～1.05 p.u.）,提出適用于配電網運行特性的仿射量測變換策略,定義節點電壓ΔVk=1?Vk,Vk為參數,在0 附近采用泰勒級數展開［28］,即

圖1 泰勒級數近似度評估圖Fig.1 Taylor series approximation evaluation

利用仿射形式的泰勒級數展開近似,式（5）可表示為：

式中：(I?i,DG)*表示節點i等效的DG 注入電流仿射數形式；V?i為節點i電壓相量的仿射數形式。

同理,可將節點和支路注入功率的量測變換過程利用仿射量測變換策略進行轉換。

仿射量測變換后得到乘法量測變換運算過程,由式（25）可知,由給定的具有m個噪聲元的復仿射功率,進行g次迭代后,每個電流復仿射中含有噪聲元數量N為：

相較于式（21）,新增噪聲元數量顯著減少。

3.3 配電網仿射狀態估計

配電網仿射狀態估計步驟如下。

步驟1：輸入網絡參數,獲取量測值以及DG 出力的波動性區間；將量測值和DG 波動性區間按照式（19）和式（20）變換成仿射數的形式。

步驟2：利用式（24）仿射量測變換策略進行量測變換,將仿射除法用仿射乘法替代,減少非線性運算新增噪聲元。

步驟3：根據狀態量以及仿射運算規則,構造仿射量測函數并計算雅可比矩陣。

步驟4：迭代求解,求取狀態估計中修正量的仿射表達式,進而求出狀態變量的仿射形式。

步驟5：將第k次迭代的狀態量轉化成區間形式,并將其實部與虛部的上下限分別與k-1 次迭代結果作差,滿足收斂條件后輸出區間形式的狀態變量,若不滿足,則進行迭代計算,直到滿足則輸出區間結果,收斂條件為：

4 算例仿真

4.1 含μPMU 生成偽測點的狀態估計

采用IEEE 33 節點典型配電網單相測試系統進行仿真驗證,系統拓撲、DG 及量測配置如附錄C圖C1 所示。網絡首端基準電壓為12.66 kV,基準容量為10 MVA,節點1 為平衡節點,系統存在2 個零注入點 ,除 去 零 注 入 點 后 系 統 的 總 負荷 為（4 964.26+j2 507.32）kVA。仿真系統真值由潮流計算得到,量測數據在系統潮流計算的結果基礎上添加相對應的滿足正態分布的隨機誤差形成。

在系統中的節點9 接入光伏機組,功率為（284.7+j93.576）kVA,節點23 接入光伏機組,功率為（268.4+j88.219）kVA,節點29 接入風電機組,功率為（194.6+j63.962）kVA。μPMU 幅值和相角量測的標準差分別為0.002 和0.005,SCADA 系統功率測量標準差為0.02,AMI 量測數據標準差為0.01,μPMU 生成偽測點的測量標準差由測量不確定度傳播生成。本文忽略量測裝置采樣周期不同,量測值均假設為同一時間斷面采集數據,收斂精度取10?4并采用3 種方案進行驗證。

方案1：除了DG 節點,SCADA 覆蓋整個系統,終端負荷配有AMI 量測。

方案2：在方案1 的量測配置基礎上,根據μPMU 裝置的優化布點,綜合權衡投資和狀態估計精度,可在節點15、19 和28 配置μPMU［29］,形成混合量測模型。

方案3：在方案2 的量測配置基礎上,添加μPMU 生成偽測點,提高量測冗余度,進行狀態估計仿真驗證。

由圖2 所示3 種方案的電壓幅值和相角的估計誤差結果可以看出,方案2 和方案3 的狀態估計誤差均小于方案1。從整個系統來看,當系統安裝有限個μPMU 并根據測量誤差傳播形成的偽量測能夠提高量測的冗余度,并且由于μPMU 的量測精度遠大于其他量測設備,生成的偽量測精度高。所以,方案3 的狀態估計精度又有所提升,驗證了含μPMU 生成偽測點的基于支路電流狀態估計方法的有效性。

圖2 不同方案的誤差對比圖Fig.2 Error comparison of different schemes

4.2 配電網改進仿射狀態估計

4.2.1 IEEE 33 節點系統

為研究本文改進仿射狀態估計的估計效果,在上述方案3 的基礎上,取一個時間斷面的DG 出力區間作為節點功率注入,功率因數為0.95,具體波動區間如附錄C 表C1 所示。將2 個光伏分別接入節點9和23,將風電接入節點29。SCADA 和AMI 的量測值為潮流真值基礎上添加噪聲p=0.5,μPMU 添加p=0.05 形成仿射區間,在此基礎上,分別按照本文的MAA 方法、基于集合逆變換的非線性區間分析（set inverter via interval analysis,SIVIA）方 法［30］以及Monte Carlo 方法進行區間狀態估計分析,其結果如圖3 所示。

圖3 區間狀態估計結果Fig.3 Results of interval state estimation

如圖3 所示,通過3 種求解方法形成的區間狀態估計結果的對比分析可得,DG 的波動會給系統節點電壓幅值和相角帶來一定范圍內的波動。以Monte Carlo 方法模擬5 000 次獲得的狀態量波動區間來反映DG 出力不確定性造成系統狀態量變化的真實范圍,基于SIVIA 方法的狀態估計結果能夠包含系統狀態量的真實范圍,保證了解的完備性,但相較本文基于MAA 方法的狀態量區間結果,其結果相對保守。這是由于SIVIA 方法在求解過程中需要不斷地對區間進行二分,容易導致區間擴張,而本文MAA 方法通過噪聲元建立不確定變量之間的依賴關系,在量測變換和乘法運算過程中減少噪聲元的產生,降低運算復雜程度,緩解了保守性。所以基于MAA 方法的狀態估計解的結果更接近Monte Carlo 方法的區間結果,對比SIVIA 方法保守性更低,說明本文考慮DG 出力不確定性采用的改進仿射狀態估計方法的有效性。

為對上述3 種方法求解結果在保守性方面進行更為直觀的對比,在上述分析基礎之上對狀態估計結果的區間寬度進行對比分析,采用2 項指標對保守性進行評估［8］,α為節點電壓幅值或相角的平均區間寬度,β為節點電壓幅值或相角的最大區間寬度,xˉi和-x i分別為量測值的最大和最小值,表達式為：

附錄C 表C2 給出了3 種方法的區間結果寬度指標,能更直觀地得出3 種方法的保守性對比,本文采用的仿射區間狀態估計方法的區間寬度要比SIVIA 非線性區間求解方法的窄,而且更接近于Monte Carlo 方法的真實狀態量變化區間。因此,保守性更低,狀態估計結果更可靠。

為了測試本文所提方法在不同波動程度的DG出力中的性能,在上述DG 出力區間基礎上,分別添加±5%、±10%和±20%的波動,形成新的DG 出力區間,其狀態估計結果的平均區間寬度和最大區間寬度如表1 所示。

表1 不同方法在DG 波動程度中的性能對比Table 1 Performance comparison of different algorithms with DG uncertainty

由表1 可以看出,DG 出力波動程度不同擴大了狀態估計結果的變化區間,而且波動程度越大,狀態估計結果的區間寬度越寬,但本文所提MAA 方法能夠始終接近于Monte Carlo 方法真實解集的區間變化結果,具有理想的估計性能。

4.2.2 IEEE 118 節點系統

采用大規模IEEE 118［31］輻射型配電網測試系統驗證本文所提方法的有效性,并增強DG 滲透程度,拓撲結構見附錄D 圖D1,DG 接入位置見附錄D表D1,在全網配有SCADA 量測的基礎上,增加μPMU 量測,μPMU 偽測點根據1.2 節生成,仍采用MAA 方 法、SIVIA 方 法 和Monte Carlo 方 法 進 行 區間狀態估計分析,狀態估計結果如圖4 所示。

由圖4 可以看出,雖然受高滲透率DG 波動性影響,大量節點的狀態量變化范圍較大,但相較SIVIA方法,本文所提MAA 方法的狀態估計結果能夠更接近真實值。因此,在含DG 波動的大規模系統中,本文方法仍有較強的實用性。

圖4 節點電壓幅值和相角的區間狀態估計結果Fig.4 Interval state estimation results of bus voltage amplitude and phase angle

4.3 估計效率

附錄D 表D2 給出了在相同的測試環境和測試系統中3 種估計方法的計算效率對比分析結果,其結果顯示本文所提MAA 方法能夠以較少的迭代次數達到最佳估計值,所耗時間較短,對比非線性區間分析的SIVIA 方法,本文方法估計效率高,而Monte Carlo 方法由于單次抽樣并設定5 000 次運算,其耗費時間長而失去實際價值。

5 結語

本文建立了含μPMU 生成偽測點的基于支路電流的狀態估計模型,增加了網絡可觀性,利用測量不確定度傳播理論得到μPMU 生成偽測點的測量誤差,從數據輸入端保證了偽量測的精度,從而直接提高配電網狀態估計的精度。

在上述模型的基礎上,考慮DG 出力不確定性建立了仿射狀態估計模型,通過適用于配電網的仿射量測變換策略減少運算過程中的新增噪聲元,降低運算復雜性,結果表明在保證完備解的基礎上,降低了結果的保守性,所得狀態量的區間結果更接近真實解,更具有工程價值。

本文所提的改進仿射狀態估計方法能適應配電網中各種能獲得上下界信息的不確定性因素,改進的仿射運算法同樣適用于具有不確定性因素的潮流計算等。而在本文中,仿射狀態估計所處理的網絡節點類型以PQ節點為主,更加復雜的網絡接口類型的仿射模型還未深入研究。此外,在實際配電工程中（尤其是城鎮低壓配電網）線路及負荷的三相不平衡耦合特性的場景較為普遍,還需要進一步研究三相不平衡場景中仿射算法的應用。因此,如何結合工程實際情況,對不同網絡節點類型進行仿射建模和求解,實現對三相不平衡場景的應用是未來研究的方向。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。