淺談點差法在高中數學中的應用

湯伊靜

(浙江省杭州市學軍中學 310000)

一、點差法解答圓錐曲線基本原理

二、點差法的基本應用

與弦中點相關的問題有三種：平行弦的中點軌跡；過定點的弦的中點軌跡；過定點且被定點平分的弦所在直線方程.其他問題都是由這三類問題衍生出來的.

1.已知弦中點求弦所在直線方程

解設弦是AB，由點差法的小結論可知：

由此可見，具有斜率的弦中點問題，常常用點差法作答，設而不求，消去多個參數，得出最終答案.注意，如果是曲線的存在性問題，判斷點M的位置至關重要，如果點M在曲線外，中點弦將不存在.

2.巧用點差法解對稱點題型

解當直線AB斜率不存在時且與橢圓C相切時，M在x軸上，故滿足條件的直線有兩條.

點評此題看上去偏難偏怪，初看題讓人無從下手，不知道怎么對“滿足M為線段AB中點的直線l有4條”的條件下手，但只要抓住中點在橢圓內，一定會有4條直線，可以快速求得范圍.

3.運用點差法證明定值存在性問題

此類問題中，一般是已知中點，運用點差法證明問題，同樣的，設點坐標，寫出兩定點過直線的方程，相加減即可得出答案.同時，如果是二次曲線與直線相交，韋達定理也為我們提供解題的途徑.

以2018年高考數學題為例：

如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A、B滿足PA、PB的中點均在C上.設AB的中點為M，證明：PM垂直于y軸.

4.利用點差法求解取值范圍

在高中數學中，求取值范圍都是熱門考點，一般題目設直線方程即可求解，但遇到兩種二次曲線共存的題目或是有n個交點的題目，設直線方程的方法就很繁瑣，此時，設點坐標求解較為便捷，同時注意中點的構造.

若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

此題有一個陷阱：許多學生會想當然的把圓與橢圓交于(0,1)，(0，-1)的點當做臨界條件，但這么做是不對的.運用“正難則反”的思想，最多有3個公共點等同于求4個公共點范圍.

點評此題運用設直線方程法也能求解，但是比較慢，容易出現計算錯誤，此處自己構造中點，熟練運用基本數學思想，大大簡化的計算步驟，提高了正確率.

5.點差法與其他方法的聯系

在點差法的記憶中，筆者發現它與隱函數求導有著千絲萬縷的聯系，對圓錐曲線進行求導，代入x0,y0(x0，y0為中點),把y′換成k，可以得到點差法的式子.下面給出隱函數求導過程：

由此可見，雖然隱函數求的是切線的斜率，點差法求的是中點弦的斜率，但仍有較大相似處.其中，隱函數求導的方法，在計算二次曲線與直線相切的題目中有著廣泛應用.

綜上所述，點差法在各式各樣的題目中均有較大應用，同時作為一種基礎數學方法，它與其它數學方法之間有著極大的相關性，這是我們在解題過程中所不能忽視的，要學會融會貫通，舉一反三，在學習點差法的解題技巧過程中熟練掌握運用其它方法，高中數學學習才能達到事半功倍的效果.