反證法在數學及實際生活中的應用

羅抓西當智

摘要 反證法是一種非常重要的數學方法，它在數學以及實際生活中有著廣泛的應用.本文將從反證法解決問題的本質出發分析出用反證法解決問題的步驟及類型，并例談反證法在數學及實際生活中的具體應用.

關鍵詞 反證法;假設;否定;矛盾;結論.

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

1? 引言

反證法是間接證法中的一種，是一種特殊的、重要的證明方法，反證法不僅可以用來證明數學命題，而且它在許多實際生活中也有許多應用，反證法的思想遍及日常生活，是培養人的邏輯思維能力、逆向思維能力，發展智力最有效的推理方法之一.總而言之，反證法在人們的生活中是非常重要的，無論從數學的角度還是從其他角度看問題，人們都必須學習反證法.

2? 反證法的作用及概念

2.1? 反證法的作用

牛頓曾經說過“反證法是數學家最精當的武器之一”.最早在數學中引用反證法的是古希臘畢達哥拉斯學派的希波克提斯，在歐幾里得的《幾何原本》中也有不少用反證法的范例.我國在五世紀時《張邱建算經》中已有運用.反證法是數學證明中的一種重要方法，當正面不容易或者不能證明時，我們可以從命題的反面來思考問題，若能恰當使用，往往可以收到較好的效果.特別是有些數學命題至今除了反證法還別無他法，因此，認識和掌握反證法就顯得十分重要[1]。

2.2? 反證法的概念

在現代數學中反證法成為最有用和最有效的解決問題的方法之一，但在現行的各種教材中沒有對反證法的概念給出系統的闡述，因此，我們有必要闡述一下反證法的概念.

反證法屬于間接證法，法國數學家阿達瑪在其所著《初等數學教程》中做了最準確，最簡明的描述：“反證法在于表明，若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”.具體的講，就是有否定命題結論的正確性出發，根據題設條件、定義、法則、公理、定理，進行一系列正確的邏輯推理，最后得到一個矛盾的結果.即就是結論的反面不能成立，從而肯定命題結論的正確性，這種駁倒命題結論反面的證法叫做反證法[1]。

3? 反證法的理論依據及本質

3.1? 反證法的理論依據

我們知道，命題與其等價的命題是：原命題逆否命題.反證法就是利用證明與所要論證的命題的等價命題的真實性來說明所要論證的命題的真實性.一句話，反證法實質上是由證明命題的逆否命題成立來說明原命題的正確性.即當命題由題設結論，不易思考時，可改證它的逆否命題.

3.2? 反證法的本質[3]

反證法的實質就是通過證明與原來的命題的正確性來肯定原命題的真偽.也就是說反證法是從結論的反面入手，說明結論不容否定，從而證明結論的正確性.

4? 反證法的應用類型

4.1? 在數學應用中的類型[4]

一般來講，反證法常用來證明的題型有命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現的命題;或者直接證明難以下手的命題，而從反面可以使問題迎刃而解.

4.2? 在實際生活中應用的類型

比如在演講比賽中，參賽者常常利用反證法的推理形式去論證某一論題的合理性、真實性.又比如在法庭上律師在為當事人進行辯護時，也常常采用反證法，以及有關問題的判斷、現象的解釋、歌詠比賽等許多實際生活中的實例都常常應用反證法來證明問題的真實性.

5? 反證法解決問題的具體步驟[6]

第一步：是“假設命題的結論不成立”，亦可理解成假命題結論的反面成立.但此時，要考慮結論的反面可能出現的情況.如果結論的反面只有一種情況，那么只須否定這種情況就足以證明原結論是正確的;如果結論的反面不止一種情況，那么必須把各種可能情況全部列舉出來，并且一一加以否定后，才能肯定原結論是正確的;

第二步：“從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定義、公理、定理、性質等矛盾，這樣都足以說明假設錯誤，原命題正確;

第三步：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.

6? 利用反證法時應注意的問題

反證法雖然是一種常規證明問題方法，并且具有很多優越性，但使用時必須注意：

第一：不要一味強用反證法，非但如此，有些問題往往不用反證法倒容易推出;

第二：應用反證法推出的矛盾一定要明顯;

第三：應用反證法一定要注意推理正確.

第四： 應用反證法時，一定要注意強調正確地提出反設，注意將命題結論的反面的各種情形都否定，不能遺漏[5]。

第五： 應用反證法時，必須正確地“否定結論”，因為這是運用反證法的前提.

第六： 應用反證法時，在推理過程中，一定要使用已知的條件，否則，要么推不出矛盾結果，要么不能判定所推出的結論是錯誤的[7]。

參? 考? 文? 獻

[1]胡曉年.談談反證法[J].才智，2010，98.

[2]朱慧.反證法在中學證明題中的應用[J].教育教學論壇，2010，53.

[3]張安平.反證法證明數學問題的重要方法[J].中國城市經濟，2010，179.