軋機主傳動系統自激振動的滑模變結構控制研究

張巍巍，師洪濤，王福星，胡慶軍

（1.北方民族大學電氣信息工程學院，寧夏 銀川 750000；2.天津電氣科學研究院有限公司，天津 300180）

軋機的主傳動系統是一個由若干個慣性元件（電機、聯軸器、減速機、齒輪座、軋輥等）和彈性元件（連接軸等）組成的“質量彈簧系統”[1]。軋機在軋制過程中，常常由于打滑使主傳動系統產生扭轉自激振動而嚴重影響生產效率，甚至導致該機械系統無法正常運轉。為研究軋機主傳動的振動問題，文獻[2-3]分析了主傳動系統的機電耦合機理，建立了二自由度非線性振動模型，分析了不同參數對振動模態的影響；文獻[4]考慮外激勵作用下軋機主傳動二自由度非線性模型的振動，分析了實際振動信號的非線性諧振特性，得到了振動幅值與系統阻尼和剛度的關系；文獻[5]考慮間隙、摩擦等分段光滑的動力學特性的影響，建立了軋機主傳動四自由度和三自由度含間隙碰撞模型，通過對系統的解析計算和數值分析，表明該系統在一定的參數條件下具有混沌特性，數值分析得到了系統的混沌分岔圖。

由于混沌運動自身的特點，對大多數的機械系統而言，它能產生重要的危害，因此，對機械系統中的混沌運動的控制的研究具有重要的現實意義。為避免混沌現象的發生，控制該非線性振動系統具有期望的動力學特性，文獻[6]利用等效無源控制和比例微分控制將系統控制到穩定的周期軌道，但是系統還不具有期望的動力學特性。目前，國內外學者提出了許多不同的控制混沌的方法，如反饋線性化方法[7]、比例-積分-微分方法[8]、自抗擾控制方法[9-10]、變結構控制法[11-12]、模糊控制法[13-14]等。而 Terminal滑模（Terminal sliding mode，TSM）控制可使系統的狀態在“有限時間內”收斂到平衡點，在滑模面中適當地引入非線性項給系統帶來了更好的性能響應[15]。文獻[16]指出了Terminal滑模控制中容易出現的奇異問題，對此，文獻[17-18]提出了克服奇異問題的Terminal滑模面設計方法，提出了非奇異Terminal滑模（non-singular Terminal sliding mode，NTSM）控制方法以進一步改善控制性能。文獻[19]利用自適應控制與Terminal滑模控制結合，抑制了擾動對系統的影響。但Ter?minal滑模也還存在自身的缺點：非線性函數的引入使得控制器在實際工程中實現困難；參數選取不當會導致奇異問題；在穩態情況下會產生較大的控制信號。為了防止抖振和控制信號過大的問題，控制器參數的選取就要在此和系統的動態性能之間折衷，從而使系統的收斂速度和調整時間受到限制。

本文針對軋機主傳動系統的自激振動混沌控制問題，在分析傳統Terminal滑模控制奇異問題的基礎上，為了改善到達滑模面的速度，設計了基于趨近律的非奇異Terminal滑動模態控制器，用于軋機主傳動振動系統的控制，實現了該系統的有限時間穩定。

1 軋機主傳動系統的振動方程及其混沌行為

軋機主傳動系統是一個由若干慣性元件和彈性元件組成的“質量彈簧系統”，系統結構簡圖及簡化力學模型如圖1所示。

圖1 軋機主傳動系統示意圖及簡化力學模型Fig.1 Rolling mill drive system schematic and simplified mechanical model

圖1a為軋機主傳動系統簡圖。如果考慮連接軸的勻速轉動，暫不考慮間隙對系統的影響，可將其簡化為一個集中質量彈簧系統[6]。在實際的軋制生產過程中，系統在穩定加載時不會發生振動現象，連接軸中的轉矩變化是靜態平穩的，但在咬鋼、拋鋼、制動、變速等操作的作用下，就會發生不穩定的扭轉振動。

軋制過程中軋機因打滑產生自激振動，此時對軋輥受力分析如圖1b所示。圖中，M為連接軸的驅動力矩；F和N分別為軋輥和軋件之間的動摩擦力和正壓力，F=μ?N，其中，μ為動滑動摩擦系數。當滑動速度在0.3～3m/s時，動滑動摩擦系數可以表示為

式中：v為軋輥與軋件的相對速度；c，d為常數，由試驗確定，c∈(0.03～0.09)，d∈(0.0015～0.0033)。用軋輥轉動的角度作為變量得：

考慮到作用在軋輥上的力矩平衡時有：

式中：J為主傳動系統集中質量的轉動慣量；φ為連接軸轉動的角度；D為連接軸的直徑。在不考慮間隙影響的時候，M=k0φ，k0為傳動系統扭轉剛度。將M和F相關的表達式帶入式（2），得到軋輥的運動微分方程為

考慮軋機傳動系統的連接軸之間間隙的影響，系統的簡化模型如圖1c所示。圖中，e為系統具有的間隙；模型的邊界作微幅振動，φB1和φB2分別為兩個邊界的運動速率。對邊界振動模型作以下假定[3]：

1）由于φB1和φB2很小，取φB1=φB2=0時的平衡位置為原點；

2）邊界振動形式為φB1=δB1sin(ωB1t)和φB2=δB2sin(ωB2t+φ)。

由于主傳動系統之間有間隙，連接軸的驅動力矩M(φ)為一分段線性函數：

軋機振動是一個動態的過程，故式（4）中的常數項對其不產生影響。如果δB1=δB2=δ，ωB1=ωB2=ωB，φ =0，由假定2）將式（4）改寫為

式（6）即為該振動系統的微分方程。

圖2 不同參數下的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram with different parameters

圖3 不同邊界頻率下Poincare截面Fig.3 Poincare map at different boundary frequencies

2 基于趨近律的Terminal滑模控制

2.1 Terminal滑模（TSM）控制

在方程的第二項加入控制，可以看做一個對于二階非線性系統（式（7））的控制問題：

采用傳統的Terminal滑模控制，其滑模面設計如下式：

其中，β >0，p和q（p>q）為正奇數。

控制器設計為

2.2 基于指數趨近律的Terminal滑模控制

為克服Terminal滑模的奇異問題，可設計滑模面為

其中，β>0，p和q（p>q）為正奇數，且1

s沿解的時間導數為

取指數趨近律：

式中：ε為系統運動趨近切換面s=0的速率。

化簡即得到控制律為

由于g(x)未知，控制律中可用lg對不確定性造成的影響限制，同時，為了防止x2=0時控制量為零，在式（15）中加入一個很小的避零常數ξ，得到新的控制律為

式中：ξ為很小的正常數，ξ>0。

定理1：對系統（式（8）），取滑模面式（11），在控制率式（16）的作用下，系統將在有限時間內到達Terminal滑模面，并使得在滑模面上的跟蹤誤差在有限時間內收斂到零。

證明：由s沿解的時間導數為

ξ足夠小，有ρ(x2)[ρ(x2)+ ξ]-1=1，式（17）可化簡為下式：

綜合式（13）和式（15）可以看出，Terminal滑模在趨近滑模面時具有指數趨近律（EAL）。將這種控制律稱為基于指數趨近律的非奇異Terminal滑模控制（NTSM-EAL）。

2.3 軋機主傳動自激振動系統的混沌控制

當系統（式（7））的參數為：α=0.25，β =0.35，γ=0.45，=1.3時，系統運動狀態是混沌的。系統的始狀態為[0.1,0]。采用提出的NTSM-EAL控制器，控制器參數為：q=3，p=5，β =1.0，lg=0.015，k=10，ξ=0.001。在150 s時加入控制信號，系統輸出如圖4所示。圖4a反映了s趨于滑模面s=0的過程，滑模面很快趨于原點，控制器的輸出信號如圖4b所示，控制量的幅值比較小，抖振的幅值維持在0.5上下。系統狀態在該控制律的作用下也能在很短的時間內趨于平衡點，如圖4c和圖4d所示，混沌運動得到了有效的控制。可以看出，提出的NTSM-EAL控制算法，可以在保證TSM非奇異的前提下，用較小的控制量實現振動系統的穩定。

圖4 基于NTSM-EAL的軋機主傳動自激振動系統的混沌控制Fig.4 Control of chaos in self-excited vibration of rolling mill systems by NTSM-EAL

3 結論

本文分析了軋機主傳動系統扭轉自激振動混沌行為。針對傳統Terminal滑模控制的奇異問題和調整時間問題，結合趨近律思想，為改善到達滑模面的速度，提出基于趨近律的非奇異Ter?minal滑動模態控制器的設計方法，控制器參數滿足一定條件時避免了奇異問題，在克服奇異問題的基礎上提高了趨近滑模面的速度，縮短了調整時間。將設計的控制器用于軋機主傳動振動系統的控制，實現了該系統的有限時間穩定。