不同外加磁場中Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用對量子失協非馬爾科夫演化的影響*

張金峰 阿拉帕提·阿不力米提 楊帆 艾克拜爾·阿木提江 唐詩生 艾合買提·阿不力孜

(新疆師范大學物理與電子工程學院，烏魯木齊 830054)

自從Moriya 和Kaplan 在自旋軌道耦合的單帶哈伯德模型中發現了對稱的螺旋交換作用,Shekhtman,Entin 和Aharony 等用這種不可忽略的對稱螺旋交換作用成功地解釋了 La2CuO4 的弱鐵磁性.本文應用非馬爾科夫量子態擴散方法研究了具有Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用和Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用的自旋鏈系統中量子失協的非馬爾科夫動力學演化問題,分析了Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用在零溫和有限溫度下不同外加磁場時對量子失協的影響.結果表明,在沒有磁場或僅有均勻磁場的情況下,系統中的量子失協可以通過增加Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony相互作用而增加,而在非均勻磁場中則相反.更重要的是,通過調節均勻磁場和Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用可以得到理想的失協狀態.此外,還分別討論了Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony相互作用在馬爾科夫環境和有限溫度下對量子失協的影響.

1 引言

量子關聯是量子系統中的一種非經典關聯,它是量子計算和量子通信中的一種重要資源[1?4].量子關聯的表征和控制對于量子信息的應用至關重要,量子關聯最典型的度量方法是量子糾纏[5,6].但是,量子糾纏并不足以描述系統中所有的量子關聯[7,8],例如當系統中沒有量子糾纏時還可以存在量子關聯.因此,Harold 和Zurek[9]引入了另一種關聯的度量方法,即量子失協,量子失協被定義為量子信息與經典信息之差,并且被證明是量子關聯的一種好的度量方法[10].Fanchini 等[11]研究了兩個量子比特耦合到獨立和共同的非馬爾科夫環境中量子失協的動力學演化過程,結果表明即使沒有糾纏,由環境引入的關聯也會轉移到兩個量子比特上,產生有限的量子失協.Daki?等[12]通過研究發現,量子失協是量子遠程態制備的必要資源.

量子信息的存儲和處理需要一個具有強量子關聯性的量子系統,許多研究工作表明,固態系統由于具有良好的穩定性、可擴展性和易實現等特性,是合適的候選方案[13].量子自旋系統作為一種固態系統,由于其體積小、易于集成,在量子態制備和存儲方面具有潛在的應用價值.作為自旋系統中最簡單的模型,海森伯自旋鏈模型被廣泛應用于電子自旋[14]、量子點[15]、原子核自旋[16]和模擬量子計算機的研究.其中對Dzyaloshinskii 和Moriya發現的具有Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的自旋系統的研究已經受到了研究人員的廣泛關注,這是因為DM 相互作用被認為是量子失協的有效調控參數之一.Mohammad[17]研究了海森伯XY 自旋鏈模型中DM 相互作用對量子失協和量子糾纏的影響,結果表明在DM 相互作用下量子失協比量子糾纏更穩定;Sun 等[18]發現,通過增加DM 相互作用可以提高兩比特海森伯XYZ 自旋鏈模型的量子失協大小.

在Moriya[19]發現反對稱的DM 相互作用時,還發現系統中存在一個對稱的螺旋各向異性相互作用.在很長一段時間內,與反對稱的DM 相互作用相比,這種對稱螺旋相互作用被認為是可以忽略的.然而,Kaplan[20]隨后在自旋軌道耦合的單帶哈伯德模型中發現了這種對稱的螺旋作用,然后Shekhtman 等[21,22]論證了它的重要性,因為它可以恢復被DM 相互作用打破的各向同性海森伯體系的 O(3) 對稱性.Shekhtman 等[22]用這種不可忽略的對稱螺旋交換作用成功地解釋了 La2CuO4的弱鐵磁性.由于他們的這些發現,對稱螺旋交換相互作用被簡稱為KSEA 相互作用[23?25].最近,Yurischev[26]發現無外磁場時KSEA 相互作用可以抑制熱平衡態下量子失協的局域最小值.KSEA相互作用被證明非常有助于增加熱平衡態下的量子費舍爾信息和減緩系統的退相干[27].由于DM和KSEA 相互作用很重要,研究人員已經提出合成和控制DM 和KSEA 相互作用的方法.Liu 等[28]研究局域自旋,通過具有自旋軌道耦合的傳導電子系統所產生的間接磁交換相互作用發現,當系統中只有電流沒有自旋流(即僅有偏置電壓)時,可以合成和控制各項異性的海森伯相互作用和DM 相互作用;當系統中沒有電流但有自旋流(即僅有自旋偏置電壓)時,不僅可以合成和控制各項異性的海森伯相互作用,還可以合成和控制DM 和KSEA相互作用.因此在該系統中可以通過調節自旋偏置電壓和偏置電壓來合成和控制海森伯相互作用、DM 相互作用和KSEA 相互作用.此外還可以嘗試通過人工合成具有螺旋交換相互作用的材料,通過改變材料成分、變換堆疊順序和混合雜質來控制DM 和KSEA 相互作用的強度大小和方向[28].

一個真實的物理系統不可能單獨存在,它總是會與外部環境相互作用,所以真實的量子系統是開放的,開放的量子系統動力學演化分為馬爾科夫過程和非馬爾科夫過程.馬爾科夫過程是一個沒有環境記憶效應的過程,系統的能量和信息流入環境后不再流回系統;而非馬爾科夫過程是一個具有環境記憶效應的過程,系統的能量和信息在流入環境一段時間后會流回系統,恢復其歷史狀態,所以研究具有環境記憶效應的非馬爾科夫動力學的演化特性是很有意義的.非馬爾科夫量子態擴散(non-Markovian quantum state diffusion,NMQSD)方法是由Diósi 等[29]在1998 年提出的,用于研究開放量子系統的非馬爾科夫動力學演化過程.該方法在處理開放量子體系的動力學演化過程中不受耦合強度、關聯時間及庫的譜密度影響[29],其提供的數學工具使我們能夠精確地研究非馬爾科夫過程帶來的奇異性質,在數值上處理一個隨機的純態,能夠極大地提高計算效率,適合處理較復雜的模型.雖然固態體系有易嵌入和可擴展等優點,但與其他體系相比,其環境自由度過大,與環境存在強耦合等原因使其相干性難以長時間保持,體系明顯具有非馬爾科夫特性.例如,自旋與自旋庫相互作用體系[30]和自旋玻色體系[31]的非馬爾科夫效應非常明顯.此類系統的動力學演化不能用Lindblad主方程(馬爾科夫近似得到)準確描述,只有考慮體系的非馬爾科夫特性才能解決.本文利用NMQSD方法研究在非馬爾科夫環境下帶有DM 相互作用的海森伯XYZ 自旋鏈系統在外加磁場時,沿z 方向的KSEA 相互作用對量子失協動力學演化的影響.

本文主要內容如下:第二節介紹系統模型,應用非馬爾科夫量子態擴散方法推導非馬爾科夫主方程;第三節介紹量子失協理論,研究在海森伯自旋鏈模型中存在DM 相互作用時不同外加磁場、不同的環境記憶效應系數以及有限溫度下KSEA相互作用對量子失協的影響.通過數據模擬分析及參數的調控得出有利于提高系統量子失協的條件;第四節根據數值模擬結果得出結論,為擴展量子失協在量子信息領域中的應用提供理論依據.

2 模型與方法

海森伯XYZ 自旋鏈模型線性耦合于一組諧振子組成的玻色庫時,該模型中系統的總哈密頓量可以表示為(?=1)

玻色庫環境的哈密頓量可以表示為

系統和玻色庫環境之間的相互作用哈密頓量可以表示為

(2)式中的 bk和分別為湮滅算符和產生算符,ωk為玻色庫中玻色子的躍遷頻率;(3)式中L=是玻色環境和系統耦合的Lindblad算符,其中 kA和 kB表示的是兩個常量,描述的是兩個自旋鏈與各自環境的不同耦合強度,本文令kA=kB=1,gk表示系統與環境之間的耦合系數.

(1)式中 Hs表示為含z 方向的DM 相互作用、z 方向KSEA 相互作用和z 方向外加磁場的海森伯自旋鏈哈密頓量,可以寫為

其中 Jx,Jy,Jz分別為x,y,z 三個方向的耦合常數,本文令 JxJyJz,此時海森伯自旋鏈模型變為海森伯XYZ 模型,σ=(σx,σy,σz) 表示泡利算符,Bz表示z 方向的均勻外加磁場,bz表示z 方向的磁場非均勻度,Dz表示為z 方向的DM 相互作用,Γz表示為z 方向的KSEA 相互作用.

2.1 零溫下非馬爾科夫量子態擴散方法

為了求解零溫下該模型的量子失協動力學演化問題,需要借助NMQSD 方法來對其進行處理.假設 ψz?(t) 為系統波函數,根據NMQSD 理論可以得到關于 ψz?(t) 的動力學微分方程[32]

可以得到O 算符所滿足的微分方程[32]

利用非馬爾科夫隨機擴散主方程可以推導出精確的非馬爾科夫近似主方程來求解系統約化密度矩陣:

在Novikov-type 定理幫助下,(8)式可以改寫為[32]

2.2 有限溫度下非馬爾科夫量子態擴散方法

考慮到有限溫度下的熱平衡態系統密度矩陣為[33]

其中 Hs和零溫環境中相同,通過波戈留玻夫變換最終可得到系統的總哈密頓量為

其中兩個環境關聯函數可以分別寫為

另外兩個相互獨立的高斯噪聲可以表示為下面兩式:

最后代入非馬爾科夫量子態擴散方程中可得到

給出初始值為

則O 算符微分方程可以寫為

通過非馬爾科夫量子態擴散方程(NMQSD)得到的非馬爾科夫主方程可表示為

(10)式和(22)式分別為整個體系在零溫和有限溫度下的非馬爾科夫主方程,后面的研究均基于這兩個主方程進行.

3 數值計算及討論

一個給定的兩體量子態的量子互信息為[9]

其中 ρA=TrBρAB,ρB=TrAρAB分別是子系統A 和B 的約化密度矩陣,S(ρ)=?Tr(ρlog2ρ) 是系統的馮諾伊曼熵.

對兩體量子系統的任意子系統進行測量,將會對另一子系統造成擾動.這里,對子系統B,用一組完備的POVM 測量基 {Bk} 進行測量,如果測量的結果為k,條件矩陣則變為

對應的概率為 ρk=Tr[(IA?{Bk})ρAB(IA?{Bk})].對子系統進行測量之后,相應的量子條件熵為

此外,量子互信息可以寫為

為了獲得最大的 I(ρAB|{Bk}),遍求全部的測量,從中選擇最優的一組.這個最大值即為經典關聯C(ρAB),具體的數學形式為[9]

系統的互信息和經典關聯之間的差值定義為量子失協[9],即

下面基于量子失協公式(28)式和零溫非馬爾科夫近似主方程(10)式以及有限溫度非馬爾科夫近似主方程(22)式通過數值計算討論環境記憶效應、外加磁場、KSEA 相互作用對耦合到玻色庫中的兩比特海森伯XYZ 自旋鏈模型的量子失協隨時間演化特性的影響.本文選擇最大糾纏態|ψ〉=作為初始態.

首先研究了零溫環境下KSEA 相互作用對量子失協的影響.圖1(a)給出了量子失協隨KSEA相互作用和時間t 變化的三維投影圖,圖1(b)是在 ωt=5 時量子失協隨KSEA 相互作用的演化過程.從圖1 可以看出,當KSEA 相互作用強度增加時,量子失協也隨之增大,而當KSEA 相互作用強度增加到 Γz≥2 之后,系統的量子失協接近最大值的理想失協狀態.這是由于KSEA 相互作用恢復了系統的 O(3) 對稱性,從而抑制系統的退相干,使得系統的量子失協可以保持較高的狀態.

圖1 (a)量子失協隨KSEA 相互作用和時間的演化特性;(b) KSEA 相互作用在ωt=5 時對量子失協的影響.其他參數 Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=0,bz=0,Dz=0.2,T=0Fig.1.(a) Dynamics of quantum discord with KSEA interactions and time;(b) effect of KSEA interaction on quantum discord at ωt=5.The other parameters are Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=0,bz=0,Dz=0.2,T=0.

為了進一步研究零溫下不同磁場環境中KSEA相互作用對量子失協的作用效果,首先在圖2(a)中給出了不加磁場時KSEA 相互作用對量子失協隨時間演化特性的影響.從圖中明顯可以看到,Γz取值越大,量子失協越大.其次,在圖2(b)中,考慮了外加均勻磁場的情況.不難看出,當KSEA 相互作用 Γz=0 時,系統的量子失協強度大于圖2(a)中沒有磁場時的情形.顯然,均勻磁場的存在促進了量子失協的增加.此外,隨著KSEA 相互作用強度的增加,系統的量子失協強度亦增大,表明均勻磁場和KSEA 相互作用的聯合效應對量子失協強度的提升具有積極作用.最后,在圖2(c)中給出了非均勻磁場的情況.有趣的是,KSEA 相互作用越小,磁場的非均勻度和KSEA 相互作用的聯合效應越積極,比沒有磁場或外加均勻磁場時還要明顯.甚至沒有KSEA 相互作用時磁場的非均勻度使得量子失協幾乎能達到理想值.通過一系列磁脈沖實現量子邏輯操作的核磁共振量子計算方案,或不可避免的磁耦合存在時的情況都是非均勻磁場的情況.KSEA 相互作用越大,非均勻磁場下的量子失協衰減得越快.顯然,當體系中存在KSEA 相互作用時,磁場的非均勻度抑制了KSEA 相互作用恢復 O(3) 對稱性的效果.

圖2 KSEA 相互作用在不同磁場環境下對量子失協的影響 (a)不加磁場 Bz=0,bz=0 ;(b)均勻磁場Bz=1,bz=0;(c)非均勻磁場 Bz=1,bz=3.其他參數Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Dz=0.2,T=0Fig.2.Effects of KSEA interactions on the dynamics of the quantum discord in different magnetic field environment:(a) No magnetic field added Bz=0,bz=0 ;(b) uniform magnetic field Bz=1,bz=0 ;(c) non-uniform magnetic field Bz=1,bz=3.The other parameters areJx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Dz=0.2,T=0.

為了進一步弄清楚馬爾科夫環境下(γ=3)KSEA 相互作用對量子失協的影響,圖3 研究了馬爾科夫環境下外加均勻磁場(Bz=2)時KSEA 相互作用對量子失協的影響.結果表明,在馬爾科夫環境中,均勻磁場和較大的KSEA 相互作用的聯合效應能夠使得量子失協最終保持一個穩定的失協狀態.然而,通過比較可以發現,此時的量子失協比非馬爾科夫環境中的量子失協明顯要小.這是由于馬爾科夫環境中從系統流出到環境中的能量和信息不再回流到系統中,導致此時的KSEA 相互作用對系統量子失協的積極作用沒有非馬爾科夫環境下的作用效果好.

圖3 馬爾科夫環境下均勻磁場中KSEA 相互作用對量子失協的影響.其他參數 Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=3,Bz=2,bz=0,Dz=0.2,T=0.Fig.3.Effects of KSEA interactions on quantum discord in a uniform magnetic field in Markovian environment.The other parameters are Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=3,Bz=2,bz=0,Dz=0.2,T=0.

為了使研究更接近實際情況,還需要考慮系統處于熱平衡態時的情況,并分析溫度和均勻磁場同時作用時含有KSEA 相互作用的系統量子失協的演化特性.圖4(a)給出了量子失協隨溫度 T 和時間t 變化的三維圖,圖4(b)給出了 ωt=5 時量子失協隨溫度 T 演化的二維圖.可以看出,隨著溫度T的增加量子失協逐漸減少,最終減少到一個穩定值.很顯然,雖然環境溫度的增加使得KSEA 相互作用不能再有效恢復海森伯系統的 O(3) 對稱性,從而導致量子失協比零溫時的要小,但是在KSEA相互作用和均勻磁場的聯合效應下量子失協總能保持一定的穩態值.

圖4 (a)量子失協隨時間和溫度的演化特性;(b)溫度在ωt=5時對量子失協的影響.其他參數Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=1,bz=0,Dz=0.2,Γz=2Fig.4.(a) Dynamics of quantum discord with time t and temperature T;(b) effect of temperature T on quantum discord at ωt=5.The other parameters are Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=1,bz=0,Dz=0.2,Γz=2.

4 結論

通過數值計算,利用NMQSD 方法研究了在非馬爾科夫環境下不同的外部磁場中KSEA 相互作用對量子失協的影響.此外還分析了在馬爾科夫環境下均勻磁場中KSEA 相互作用對量子失協的影響并與非馬爾科夫的情況進行了簡單的對比.最后,得出了溫度對非馬爾科夫環境下含有KSEA相互作用的系統量子失協的影響.基于數值結果可以得出以下結論:當因實際需要在體系中有必要合成和調制KSEA 相互作用時,在非馬爾科夫環境下外加均勻磁場時KSEA 相互作用提升系統量子失協的效果最明顯.但是磁場的非均勻度會削弱KSEA 相互作用的這種效應.然而,只要KSEA 相互作用足夠小,那么通過磁場的非均勻度就可以更高效地提升量子失協.馬爾科夫環境下的量子失協和熱平衡態時的量子失協都同樣可以通過KSEA相互作用維持在一個穩定值上.