含隧道邊坡水平屈服加速度的上限分析

江學良，牛家永，楊 慧，王飛飛

(1.中南林業科技大學 土木工程與力學學院，長沙 410004；2.中南林業科技大學 巖土工程研究所，長沙 410004)

下伏隧道的邊坡結構形式[1]頻繁地出現在我國地震頻發的西南山區中，尤其在2017年8月8日四川九寨溝縣發生7.0級地震后，含隧道邊坡的地震穩定性問題逐漸成為巖土工程中的研究熱點[2]。

在含隧道邊坡的地震動力穩定性分析中，確定其屈服加速度是一個重要研究內容。近年來，大量學者基于擬靜力法對地震作用下邊坡的屈服加速度進行了極限分析[3-4]。文暢平[5]采用塑性極限分析上限定理和正交試驗法，對多級支護邊坡屈服加速度及因素敏感性進行分析，給出了地震作用下基覆邊坡水平屈服加速度系數影響因素的敏感性順序。王桂林等[6]將擋土墻和填土看成一個系統，推導了重力式擋土墻在旋轉位移下的水平屈服加速度系數理論計算公式。羅渝等[7]根據極限分析上限定理并結合多塊體速度場理論，建立地震作用下邊坡地震屈服加速度的多元函數，提出了一種計算重力式擋墻加固邊坡動力穩定性的新方法。肖世國等[8]基于極限分析上限定理，推導了邊坡地震屈服加速度計算公式，并結合 Newmark滑塊位移法推導了坡體地震永久位移的詳細計算公式。年廷凱等[9]結合擬靜力法和極限分析法，推導了多排錨加固復雜邊坡的穩定性安全系數和屈服加速度系數解析式，提出了錨固土質邊坡地震穩定性的通用極限分析上限方法。陳春舒等[10]基于極限分析原理，考慮了滑坡體下滑轉角和邊坡幾何參數的影響，推導了邊坡實時屈服加速度系數、實時角加速度以及震后水平位移的計算表達式。

上述成果僅針對不含隧道的支護結構與邊坡系統[11]，目前很少有學者針對含有隧道的邊坡進行極限分析[12]，關于含隧道邊坡的屈服加速度研究更是未見文獻報道，有關其地震穩定性及結構計算方面的理論遠沒有跟上工程建設的步伐[13]，基于此，本文結合擬靜力法[14]，強度折減法和極限分析上限定理，構建含隧道邊坡的破壞模式，以期推導其水平屈服加速度的計算公式。在此基礎上，對主要影響因素進行敏感性分析。

1 極限分析上限法

極限分析上限法是常用的穩定性極限分析方法，在邊坡穩定性問題中應用廣泛，可以敘述為在所有機動容許的塑性變形位移速度場相對應的荷載中，極限荷載最小。其特點是需要構造合適的破壞模式和速度場，破壞模式一般由剛塑性體體系構成，剛塑性體間由滑動面(速度間斷線)隔開，整個剛塑性體體系的運動方式需滿足上限定理要求的塑性流動和速度相容條件。對于任意機動容許的破壞機制，其外力功率不大于內能耗散功率。外力功率一般包括由巖土體重力、孔隙水壓力、邊坡超載以及地震荷載所做的功率。內能耗散功率則包括破壞面內能耗散功率和支護結構抗力所做的功率。

1.1 基本假定

在參考相關研究成果的基礎上，為了便于分析作出如下基本假定：

①該巖質邊坡為各向同性的均質軟巖邊坡；②隧道圍巖視為理想彈塑性體，且服從Mohr-Coulomb屈服準則的c-φ材料；③破壞面為對數螺旋線破壞面，通過坡趾并穿過隧道；④將含隧道邊坡穩定性分析簡化為平面應變問題；⑤將隧道簡化成圓形截面進行計算，作用在隧道拱頂的豎向圍巖壓力簡化為線性均布荷載q，作用在邊墻處的水平圍巖壓力簡化為線性均布荷載e；⑥巖土體材料的抗剪強度參數不隨地震作用而產生變化，并用擬靜力法分析地震效應。

1.2 破壞機構

構建合理的破壞模式是極限分析上限法的前提和關鍵。運用MIDAS GTS/NX的強度折減法分析模塊模擬含隧道邊坡的破壞模式，圖1為含隧道邊坡的等效應變云圖。由圖1可知滑移面由坡腳穿過隧道的左邊墻和右拱肩，向上延伸至接近坡頂處。這與文獻[15]所給出的空區在邊坡內的最不利位置相同，當空區在滑動帶上時，邊坡的穩定性相比于空區完全處于滑動帶內和空區完全處于滑動帶外時最弱。參考相關文獻[16]，對數螺旋線破壞面與實際破壞面相一致，其滿足運動許可速度場的破壞模式與實際破壞模式較為接近，所以本文采用對數螺旋線破壞機構。

圖1 含隧道邊坡等效應變云圖Fig.1 Equivalent effective strain nephogram of slope with tunnel

本文采用如圖1所示的對數螺旋線破壞機構，其破壞面穿過隧道的左邊墻C點和右拱肩B點，隧道半徑為R，O′點至坡腳D點的水平和豎直距離分別為d1和d2。將ABCDA′A區域視為剛塑性體，以角速度Ω繞旋轉中心O(尚未確定)相對對數螺旋面AD以下的靜止材料作剛體旋轉，因此AD面為本文研究的破壞機制的速度間斷面。基準線OA、OD的長度和傾角分別為r0、θ0和rh、θh，直線OB、OC的長度和傾角分別為rB、θB和rC、θC。整體破壞機構的高度為H，坡頂距離隧道右拱肩B點的垂直高度為α3H，B點和C點的垂直高度為α2H，隧道左邊墻C點距離坡腳D點的垂直高度為α1H，其中α1，α2和α3為高度系數，可由方程組(3)確定，A′A長度為L。破壞機構由θ0，θh和β確定。

對數螺旋曲線方程可表示為[17]

r(θ)=r0·exp[(θ-θ0)·tanφ]

(1)

式中：φ為滑動面上任一點處的應變速度矢量V與該點處的滑動線所成的夾角，即圍巖的內摩擦角(°)。r，θ分別為滑動面上任一點與O點連線的長度和傾角。則基準線OD的長度為

rh=r0·exp[(θh-θ0)·tanφ]

(2)

(3)

根據圖2中的幾何關系可得

H=rhsinθh-r0sinθ0

(4)

(5)

L=r0cosθ0-rhcosθh-Hcotβ

(6)

(7)

圖2 含隧道邊坡對數螺旋線破壞機構Fig.2 Log-spiral failure mechanisms of slope with tunnel

2 上限分析能耗計算

2.1 外力功率

2.1.1 巖土體重力做功功率

(8)

式中：γ為土的重度(kN·m-3)。f1～f4為關于(θh，θ0)的函數，見式(9)～(12)。

圖3為各對數螺旋線BCC′區域的計算詳圖。因為其巖土體區域相對于整體旋轉區域較小，故將BCC′區域簡化為梯形求解該區域巖土體的重力做功功率。

exp[3(θh-θ0)tanφ]-3tanφcosθ0-sinθ0}

(9)

(10)

(11)

exp[(θh-θ0)tanφ]·cosθh-

(12)

圖3 函數f4的詳細計算圖Fig.3 Detailed calculations of function f4

2.1.2 地震慣性力做功功率

(13)

(14)

式中：參數f1，f2，f3及f4同上，f5～f8為關于(θh，θ0)的函數，見式(15)～(18)。

exp[3(θh-θ0)tanφ]-3tanφsinθ0+cosθ0}

(15)

(16)

(17)

(R+d2-α1H-α2H)·(R+d2-α1H)+

(18)

所以外力做功的總功率為

(19)

令F1=f1-f2-f3-f4，F2=f5-f6-f7-f8，則式(19)變為

(20)

2.2 內能耗散功率

2.2.1 速度間斷面上的能量耗散

邊坡發生塑性破壞時，可認為剛塑性區ABCDA′A內部不發生功率耗散并且局部變形基本一致，速度間斷面AD上的能量耗散可通過積分由下式計算

(21)

式中：c為土體黏聚力(MPa)，Vcosφ為跨間斷面的切向間斷速度，其他參數同上。

(22)

2.2.2 襯砌抗力功率

因對數螺旋破壞面穿過隧道，故僅考慮對數螺旋面上方巖土體的垂直和水平圍巖壓力。襯砌結構上所承受的力可以看作圍巖壓力，由于襯砌結構阻止圍巖發生破壞，故襯砌抗力所做的功率與圍巖壓力做的功率大小相等，符號相反。假定垂直圍巖壓力合力作用點在B′、C′水平距離的中點，水平圍巖壓力合力作用點分別在BB′點和CC′的中點。

(23)

(24)

式中：Fq為豎向圍巖壓力，Fel，Fer分別為隧道左右兩側的水平圍巖壓力。f10,、f11和f12為關于(θh，θ0)的函數，見式(25)、(26)和(27)。

(25)

(26)

(27)

總襯砌抗力做功為

r0Ω·(Fqf10+Felf11-Ferf12)

(28)

因此，總的內能耗散功率為

(29)

由極限分析上限定理可知，當外力功率等于內能耗散功率，即可求得含隧道邊坡的水平屈服加速度上限解。

(30)

將式(20)、(29)，以及kv=akh(a為水平和豎向地震力比例系數)代入式(30)，整理可得式(31)

(31)

(32)

3 影響因素敏感性分析

3.1 影響因素正交分析

含隧道邊坡水平屈服加速度的影響因素主要有邊坡設計參數，邊坡巖土體物理力學參數，淺埋偏壓隧道設計參數和地震荷載參數。為了簡化分析，選取以下7個因素進行正交分析：邊坡高度H，坡角β，巖土體的強度折減系數Fs，黏聚力c，隧道距坡腳的距離d1，隧道半徑R，水平和豎向地震力比例系數a。根據實際工程設計經驗，每個因素取3個水平，每個水平對應9組試驗，不考慮各因素之間的交互作用，布置在L27(37)正交試驗表中用于正交試驗分析[18]。其它因素在計算時取：γ=20 kN/m3，φc=50°，α1=0.1，α2=0.2，α3=0.7，d2=4 m。正交試驗方案表如表1和表2所示。以每個因素的每一個水平所對應的ky平均值作為該因素的水平屈服加速度臨界值，進行各因素的極差分析。正交試驗極差分析表如表3所示。

表1 正交試驗方案表Tab.1 Table of orthogonal test scheme

表2 正交試驗表Tab.2 Table of orthogonal tests

表3 正交試驗極差表Tab.3 Range of orthogonal test

極差越大表示試驗結果對該因素的敏感性越大。由表3可知，以上7個影響因素的敏感性大小依次為：H>Fs>β>c>d1>R>a。其中，水平屈服加速度對邊坡高度H，坡角β和巖土體的強度折減系數Fs的敏感性較大，對隧道距坡腳的距離d1，隧道半徑R，水平和豎向地震力比例系數a的敏感性則較小。

3.2 水平屈服加速度影響因素分析

采用控制變量法[19]對以上7個影響因素進行研究。計算的基本參數為：H=15 m，β=45°，φ=30°，c=30 kPa，γ=20 kN/m3，φc=50°，α1=0.1，α2=0.2，α3=0.7，d1=12 m，d2=4 m，R=5 m，Fs=1.2，a=1/3。

計算時分別取β=40°、45°、50°、55°和60°，其他參數不變。圖4給出了水平屈服加速度隨坡角的變化規律。隨著坡角的增加，水平屈服加速度系數呈現近似線性減小的趨勢。

圖4 水平屈服加速度系數隨坡腳的變化規律Fig.4 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the slope angle

計算時分別取Fs=1.0、1.2、1.4、1.6和1.8，其他參數不變。圖5給出了水平屈服加速度隨強度折減系數的變化規律。隨著強度折減系數的增加，水平屈服加速度系數呈現非線性減小的趨勢。

圖5 水平屈服加速度系數隨強度折減系數的變化規律Fig.5 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the shear strength reduction coefficient

計算時分別取H=9 m、12 m、15 m、18 m和21 m，其他參數不變。圖6給出了水平屈服加速度隨邊坡高度的變化規律。隨著邊坡高度的增加，水平屈服加速度系數呈現非線性減小的趨勢。相較于坡角和強度折減系數，邊坡高度的ky變化幅度最大，說明邊坡高度對水平屈服加速度系數的影響程度最大，坡角和強度折減系數的影響次之。

圖6 水平屈服加速度系數隨邊坡高度的變化規律Fig.6 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the height of slope

計算時分別取c=20 kPa、25 kPa、30 kPa、35 kPa和40 kPa，其他參數不變。圖7給出了水平屈服加速度隨黏聚力的變化規律。隨著黏聚力的增加，水平屈服加速度系數呈現近似線性增大的趨勢，其變化幅度適中，說明黏聚力對水平屈服加速度系數有一定影響。

圖7 水平屈服加速度系數隨黏聚力的變化規律Fig.7 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the cohesion

計算時分別取d1=9 m、11 m、13 m、15 m和17 m，其他參數不變。圖8給出了水平屈服加速度隨隧道距坡腳距離的變化規律。隨著隧道距坡腳距離的增加，水平屈服加速度系數呈現近似線性減小的趨勢，其變化幅度較小，說明隧道距坡腳距離對水平屈服加速度系數影響較小。

圖8 水平屈服加速度系數隨隧道距坡腳距離的變化規律Fig.8 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the distance between the tunnel and the slope foot

計算時分別取R=4 m、4.5 m、5 m、5.5 m和6 m，其他參數不變。圖9給出了水平屈服加速度隨隧道半徑的變化規律。隨著隧道半徑的增加，水平屈服加速度系數呈現近似線性增大的趨勢，其變化幅度很小，說明隧道半徑對水平屈服加速度系數影響很小。

圖9 水平屈服加速度系數隨隧道半徑的變化規律Fig.9 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the tunnel radius

計算時分別取a=0、1/3、1/2、2/3和1，其他參數不變。圖10給出了水平屈服加速度隨水平和豎向地震力比例系數的變化規律。隨著地震力比例系數的增加，水平屈服加速度系數呈現近似線性減小的趨勢，其變化幅度很小，說明地震力比例系數對水平屈服加速度系數影響很小。

圖10 水平屈服加速度系數隨水平和豎向地震力比例系數的變化規律Fig.10 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the coefficient of horizontal and vertical seismic force

4 結 論

基于極限分析上限定理和擬靜力法，推導了地震作用下含隧道邊坡的水平屈服加速度系數計算公式，并對影響因素進行敏感性和影響程度分析，主要結論如下：

(1)建立了含隧道邊坡的對數螺旋線破壞機構，通過對外力做功功率和內部能量耗散功率的計算，得到了含隧道邊坡的水平屈服加速度系數上限解。該上限解考慮了隧道位置、隧道埋深、支護結構抗力、地震慣性力系數、巖體的黏聚力和強度折減系數等因素。根據本文提供的極限分析方法，可進一步建立臨界高度上限解和支護最小抗力上限解，綜合分析邊坡的穩定性。

(2)含隧道邊坡水平屈服加速度系數影響因素的敏感性由大到小依次為：邊坡高度H、巖土體的強度折減系數Fs、坡角β、黏聚力c、隧道距坡腳的距離d1、隧道半徑R、水平和豎向地震力比例系數a。

(3)含隧道邊坡的水平屈服加速度系數隨著邊坡高度H、坡角β、巖土體的強度折減系數Fs、隧道距坡腳的距離d1和地震力比例系數a的增大而減小，隨著黏聚力c和隧道半徑R的增大而增大。其中，邊坡高度H，坡腳β、巖土體的強度折減系數Fs對水平屈服加速度系數的影響較大，而黏聚力c、隧道距坡腳的距離d1、隧道半徑R，水平和豎向地震力比例系數a的影響較小。

(4)本文含隧道邊坡極限分析方法的思想可行，結果準確，但仍存在一些不足。本文假設對數螺旋破壞面通過坡腳，并穿過隧道，當坡腳很小或對數螺旋面不穿過隧道時，此類假設并不合適。在計算隧道圍巖壓力時并未考慮偏壓的影響，在一定程度上影響計算結果。因此，要得到一種完善且簡便的計算方法，還需要進行深入的研究。