重視數學實踐活動 提升數學建模能力

林國財

（長樂區實驗小學，福建 福州 350200）

運用字母、數字和其他數學符號來表示的關系式、代數式、不等式、方程和各類圖表、圖形等都是數學模型。［1］數學建模是指把數學問題加以抽象、簡化、假設、引入變量等處理之后，用數學化的方式對實際問題進行呈現，而構建起來的一般化的數學結構。實踐活動是兒童認識客觀世界的重要途徑，是感悟數學與客觀世界之間密切聯系的重要渠道。通過數學實踐活動與數學模型思想的有機結合，促進學生初步體驗和深入理解數學與客觀世界之間的聯系，使數學問題通俗易懂。數學實踐活動具有開放性、趣味性、靈活性的特點，深受學生的歡迎和喜愛。本文以數學實踐活動為切入點，通過“聯系對比、探究體驗、歸納概括、實踐應用”等策略，促進學生數學模型思想的提升。

一、貼近生活，在聯系對比中感知數學建模

數學實踐活動與學生的學習生活聯系緊密，數學模型的建構也應該依托學生的現實生活情境。教師應適時引導學生走出課堂，貼近現實生活，幫助學生從生活的原型中將數學問題抽象出來，引導學生通過觀察、對比、分析，探尋各種信息之間的內在聯系，從而抓住問題的本質，掌握其中蘊含的規律，感知數學模型的客觀存在，為進行初步的數學建模做必要的準備。

例如，掌握“比”的相關知識后，組織學生走出課堂，開展“旗桿有多高”的數學實踐活動。首先，對學生進行分組，每組5 人左右，小組長安排組員分工。接著，各組準備好所需的材料，包括米尺、不同長度的木棍（或竹竿、PVC 管等）、記錄本以及設計好的表格等。最后，明確測量方法，并注意各組要同時開始測量。引導學生將測量的木棍等物體的高度與相應的影子的數據列入表中，對比各組數據，感知其中的規律：越高的物體影子越長。教師提問：“測量的木棍的高度與影子的長度之間是否存在一定的關系？”學生通過計算發現：在同一地點，同一時刻，實物的高與影子的長的比值是固定的。從而感知數學模型的存在，并建構出數學模型：（A 的高度）∶（A 的影長）=（B 的高度）∶（B 的影長）。教師追問：“旗桿的高度與影子的長度是否也存在這樣的關系？你有什么好辦法能求出旗桿的高度呢？”引導學生在充分合作交流的基礎上，通過分析、對比，初步感知“在同時刻，同地點，物體高度與影子長度的比值是相同的”這一數學模型。

二、動手操作，在探究體驗中嘗試數學建模

模型的構建重在體驗和探究，學生的學習也是體驗和探究知識的過程。［2］數學實踐活動為學生提供體驗、探究的機會，它以問題為主線，引領學生參與活動的全過程。通過動腦思考、動手操作、用眼觀察、用耳傾聽、用口表達，多種感官直接體驗，激發學生學習的欲望，在收集、分析、探尋數據之間的內在聯系的過程中，嘗試建構數學模型。

例如，教學《圓的周長》時，教材呈現生活中的情境：“圓桌和菜板都有點開裂，需要在它們的邊緣箍上一圈鐵皮。請問分別需要多長的鐵皮？”學生討論交流后，有的提出用“圓片滾動法”，有的提出用“卷尺測量法”。教師提問：“如果在黑板上畫圓，還能用這兩種方法進行測量嗎？”引發學生探索測量圓的周長的一般辦法。先讓學生觀察大小不同的圓，思考它們的周長和什么有關系？再組織學生測量準備好的圓形物品如瓶蓋、硬幣等，以厘米為單位，精確到毫米，將測量結果填寫在表格中。組長安排分工：兩個學生測量時，一個記錄，另一個計算周長除以直徑的值。學生發現一個圓的周長總是它的直徑的3 倍多一些。在測量過程中，要確保操作的準確性，就需要調動多種感官參與，手眼腦協調配合，組員間隨時交流討論，在探究體驗中逐漸建構“π”的數學模型，并推導出圓的周長C=πd 或C=2πr。從已有的生活經驗出發，通過動手操作、動腦思考、動口闡述，經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，感受數學問題所具有的“模型”力量。學生獲得的不僅僅是知識與技能，更是透過現象看本質的思想方法，促進對知識的理解和模型意識的培養。

三、歸納概括，在調整修正中完善數學建模

建立數學模型的過程包含“觀察對比，提出問題，初建模型，獲得結果，檢驗修正”等環節。［3］在數學實踐活動過程中，學生利用已有的信息，分析各種信息間內在的本質聯系，尋找解決問題的思路。重視發揮小組合作學習的優勢，鼓勵組員充分發表意見，產生思維的碰撞，促進適當的調整、優化，逐步歸納概括出解決此類問題的一般方法，從而完善數學建模。

例如，在教學《找次品》一課時，課前為學生準備學具，用雪糕棒代替天平（平放在桌面上），用1 角硬幣代替瓶裝“木糖醇”，抽象出天平的“模型”。演示稱量的過程時，化繁為簡，先探究從3 瓶中找1 瓶次品的情況，并對“2 瓶找1 瓶”與“3 瓶找一瓶”的情況進行次數的對比，提出問題：“為何瓶子的總數增加了1 瓶，但需要稱量的最少次數卻沒有增加？”學生感受到，找次品時并不一定每一瓶都要稱量，當天平兩端保持水平時，可以通過推理，判斷出在天平外的那一瓶是次品，為分組推理探究做好鋪墊。通過對比分析，歸納概括出初步模型：將瓶子的總數分成3 份，利用邏輯推理，得知不需要每瓶都稱量，這樣稱量的次數最少。然后探究8 個中找1 個次品的情況，發現并不能平均分，這是與一開始建立的模型有沖突的地方。于是對“模型”進行調整和完善：一是把物品分成3 份。二是倘若總瓶數可以平均分，就把它們平均分成3 份；如若總數不能平均分，則多的與少的一份中的數量相差1。在實踐活動中，學生經歷化繁為簡、比較抽象、由淺入深的探究過程，初步構建數學模型。在待測物品的數量增加后，發現其中的矛盾之處，再調整和修正數學模型，使模型更加完善、嚴謹。

四、實踐拓展，在解決問題中應用數學建模

在數學實踐活動中，要引導學生運用數學模型解決實際問題，感受數學模型的應用價值。在建立數學模型后，及時組織學生應用模型解決具體的問題，幫助學生更加深刻地理解數學模型，進一步鞏固、強化學生的認知。同時，對數學問題加以拓展延伸，培養學生舉一反三、靈活解決問題的能力，真正發展學生的學習能力。

例如，在教學“雞兔同籠”問題時，首先通過畫圖法、列表法、假設法開展探究活動。學生運用直觀的圖示或符號表示雞和兔的“身體”和“腿”，通過不斷地調整和嘗試，先解決較簡單的問題，再歸納概括，建構出“雞兔同籠”問題的初步模型。然后，教師呈現“龜鶴問題”“人狗問題”“大小船問題”“小車摩托車問題”等不同的問題形式，引導學生對各種問題情境進行對比，體會“雞兔同籠”只是一般“模型”，可以舉一反三；雖然問題的“角色”有所改變，但是問題的本質——數量之間的關系并沒有發生根本上的變化。還可以繼續拓展延伸，如“運費問題”“比賽計分問題”“大小和尚吃饅頭問題”等。通過對數學模型的不斷應用，由簡入繁，由淺入深，幫助學生完成知識的內化，更好地解決生活中的實際問題。

總之，要將實踐活動與數學建模有效融合，發揮實踐活動所特有的開放性、趣味性、靈活性的優勢，豐富學生學習數學的方式，激發學生的探索欲望，讓學生在做中學，在學中思，在思中悟，親身體驗數學建模的完整過程，提高建模能力，增強應用數學的意識。