優美的不等式“ln（x+1）≤x”

安徽合肥一中 張旭升

近年各地的模擬試題及高考試題中，經常會出現lnx的身影，尤其在函數式中含有lnx，證明不等式及恒成立問題，直接求導來解題還是比較麻煩的，利用lnx的不等式進行放縮，會避免繁雜的求導運算，小巧別致。

不等式：若x≥0，則ln（x+1）≤x。

∵h(x)在[0，+∞）上遞減，

∴h(x)≤h(0)=0。∴ln（x+1）≤x。

【例題1】已知函數f(x)=xlnx。（1）若函數g(x) =f(x) +x2+ax+2有零點,求實數a的最大值；（2）若恒成立,求實數k的取值范圍。

分析：對于恒成立問題，我們的常用方法是分離參數k。本題容易分離但是函數的最小值不易求，故采用下面的解法。

∴h(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，

∴h(x)max=h(1)=0。∴k=0符合。

∴x＞0使h′(x)＜0，∴k＜0符合。

綜上：k≤0。

解法二：利用lnx的不等式另解：

由于ln（x+1）≤x，故lnx≤x-1(x≥-1)。

即：kx2≤0。又x＞0，故k≤0。

可見，利用lnx的不等式將在很大程度上減少分類討論。

【例題2】設數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N＊，都有（1）求a1，a2的值；（2）求數列{an}的通項公式an；（3）證明：

解：（1）略。

（2）過程略，an=n。

（3）證法一：

當k≥2時，通項

所以，不等式成立。

要證上式成立，

由lnx的不等式知顯然成立，故得證。

近年高考試題中，若利用lnx的不等式解決不等式及恒成立問題也會起到事半功倍的效果。

【例題3】（山東卷理科第21題）已知函數

解：（1）由已知得函數f(x)的定義域為{x|x＞1}，

當 x ∈（1，x1）時，f′(x)＜ 0，f(x)單調遞減；

當x∈（x1，+∞）時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增。

當a≤0時，f′(x)＜0恒成立，所以f(x)無極值。

當n為偶數時，

所以當x∈[2，+∞）時，g(x)單調遞增，又g(2)=0，

所以f(x)≤x-1成立。

當n為奇數時，

所以當x∈[2，+∞）時，h(x)=x-1-ln(x-1)單調遞增，

又h(2)=1＞0，所以當x≥2時，恒有h(x)＞0，即ln(x-1)＜x-1成立。

綜上所述，結論成立。

故只需證明1+ln(x-1)≤x-1，

即證ln(x-1)≤x-2，

令 t=x-2(t≥ 0)，

即證ln(t-1)≤t，

由lnx的不等式知顯然成立。

可見在本題中，采用ln(x-1)≤x-2解題，會使得解題思路很清晰明了。

總之，利用lnx的不等式，把lnx放縮變形成多項式，不僅會避免繁雜的求導運算，而且解法簡明，新穎別致，僅供大家參考。