冗余驅動的三平動并聯機構性能分析與優化

葉 偉 胡利煥 夏董新 周哲佳

(1.浙江理工大學機電產品可靠性分析與測試國家地方聯合工程研究中心, 杭州 310018;2.浙江理工大學機械與自動控制學院, 杭州 310018)

0 引言

三平動并聯機構可以作為分揀裝置應用到自動化打包生產線上，也可以串聯轉動關節形成五軸加工裝備[1]，具有很好的應用前景。這類機構一般由3條分支連接動平臺和基座構成，最典型的是Delta并聯機器人[2]，適合應用于高速分揀領域。在構型設計方面，HUANG等[3]采用基于螺旋理論的約束綜合法設計了一類具有對稱分支的三平動并聯機構。LI等[4]采用位移流形方法綜合了一類具有良好結構剛度的三平動并聯機構。楊廷力等[5]基于單開鏈單元，對三平動并聯機構進行了構型綜合。史巧碩等[6]采用GF集方法綜合了一系列三平動并聯機構。孟慶梅等[7]對一種三平動并聯機構Delta-CU進行了誤差建模，提高了機器人精度。ZENG等[8-9]對一種三平動并聯機構Tri-pyramid進行了設計與分析。

作為少自由度并聯機構中的一類，大多三平動并聯機構存在運動耦合問題，導致機構分析困難、控制不便[10]。針對這個問題，學者們通過構型的巧妙設計，構造了具有運動解耦[11]或者部分解耦[12-15]的三平動并聯機構。為了控制并聯機構的運動，一般需要選取和自由度數目相等的驅動數。然而，為了消除內部奇異[16]、優化驅動力[17]、提高精度[18]等，設計者們經常在機構中安排比自由度數目更多的驅動數，使得機構具有冗余驅動的特點，獲得更好的操作性能。在運行過程中，所有驅動協調地運動，共同控制機構的運動。QU等[19]提出了一種冗余驅動的4-RUU并聯機構，相比于非冗余3-RUU機構有更好的操作性能。李仕華等[20]提出了一種冗余驅動三平動并聯機構的綜合方法，可消除機構的內部奇異。目前，同時具有運動解耦和冗余驅動兩種特征的三平動并聯機構實用構型鮮見報道。

本文提出一種運動部分解耦的冗余驅動三平動并聯機構新構型，采用李群理論和修正的Grübler-Kutzbach(G-K)公式分析其自由度，并開展運動學、動力學分析與性能優化設計，以期為其工程應用提供理論依據。

1 機構描述與自由度分析

如圖1所示，本文提出的并聯機構由動平臺通過4條分支連接機架組成。其中，分支1、2都是PRRR鏈(P為移動副，R為轉動副)，分支3、4都是PRPR鏈。分支1和分支3共用與基座相連的P副，最后一個R副是以復合鉸鏈的形式連接到動平臺，并且，基座相連的P副與分支中R副軸線平行，另一個P副軸線垂直于R副。分支2、4結構類似。機構中與基座相連的兩個P副軸線垂直且共面。

記分支1、3中各R副中心依次為A1、B1、C1、D1，分支2、4中各R副中心依次為A2、B2、C2、D2。連桿AiBi記為連桿1，其長度為l1，連桿BiCi記為連桿2，其長度為l2。動平臺為邊長2a的正方形。記過點A1、A2且方向平行于R副轉軸的兩直線交點為點o，在該點建立固定坐標系oxyz，x軸沿oA1方向，y軸沿oA2方向，z軸由右手法則決定。在動平臺中心建立動坐標系puvw，點p為動平臺中心點，u軸平行分支1中R副軸線方向，v軸平行于分支2中R副軸線方向，w軸由右手法則決定。點Di(i=1,2)與oxy平面的距離記為e1，D1與ozx平面的距離以及D2與oyz平面的距離記為e2。

采用李群理論[21]對機構的輸出運動進行分析。考慮到分支1和分支3共用基座移動副，將分支1、3整體考慮，其到動平臺的運動可表示為

L13={T(x)}({R(A1,x)}{R(B1,x)}{R(C1,x)}∩
{R(D1,x)}{T(rD1C1)}{R(C1,x)})={T(x)}{G(x)}

(1)

式中L13——分支1和分支3整體到動平臺的運動集

{T(x)}——沿x軸方向的移動運動群

{R(A1,x)}——軸線過點A1且平行于向量x的轉動運動群

rD1C1——D1C1方向的單位向量

{T(rD1C1)}——沿D1C1方向的移動運動群

{G(x)}——垂直于向量x的平面運動群

其余符號類同。

同理，分支2和分支4到動平臺的整體運動集L24可表示為

L24={T(y)}{G(y)}

(2)

動平臺運動集{M}為各分支運動集的交集，可得

{M}=L13∩L24=
{T(x)}{G(x)}∩{T(y)}{G(y)}=
{T(x)}{T(y)}{T(z)}{G(x)}∩
{T(y)}{T(x)}{T(z)}{G(y)}=
{T}{G(x)}∩{T}{G(y)}={T}

(3)

式(3)表明，該并聯機構的動平臺能輸出空間內3個方向的移動運動。

采用修正的G-K公式[22]對機構的自由度進行計算，計算式為

(4)

式中F——機構自由度d——機構階數

n——包括機架的構件數目

g——運動副數目

fi——第i個運動副的自由度

v——冗余約束數

本機構中，d=6，n=12，g=14，fi=1。分支1、3共用與基座相連的P副，除去該P副后，分支1內的RRR鏈與分支3內的RPR鏈都是位于同一平面的運動鏈，產生了3個冗余約束。同理，分支2、4內也產生3個冗余約束。對并聯機構進行整體考慮，分支1、3的組合對動平臺的約束是垂直于分支內轉動副的2個約束力偶，同樣分支2、4的組合對動平臺的約束也是2個力偶，這4個力偶并不完全獨立，僅限制了動平臺的3個轉動自由度，因此有1個是冗余約束。綜上，機構中總的冗余約束數v=3+3+1=7。

將上述結果代入式(4)，可得

F=6×(12-14-1)+14+7=3

(5)

采用另一種思路，考慮機構構型特點，可認為桿A1B1、B1C1、A2B2、B2C2是產生虛約束的運動鏈，將其移除不影響機構自由度。移除虛約束部分后機構d=6，n=8，g=8，fi=1，冗余約束數v=1，代入式(4)，計算結果仍然是F=3。

根據李群理論和修正后G-K公式分析結果可知，本機構具有3個自由度，動平臺能輸出3個方向的移動運動。

為了控制本機構的運動，至少需要選取3個運動副作為驅動。考慮到機構中共有4個移動副，且都靠近基座，可都選取作為驅動，使機構具有冗余驅動的特點。在機構的運動過程中，可根據動平臺的軌跡要求，通過運動學和動力學逆解求取4個驅動的輸入參數，用于協調控制，使機構執行預期的運動。

該并聯機構可應用于五軸機床或分揀機器人的開發。圖2為五軸打磨機床實例，通過在動平臺上安裝一個AC擺頭，打磨頭與工件間形成五自由度相對運動，可實現任意曲面的五軸打磨。該機床是由4條分支共同支撐動平臺，具有良好的結構剛度。

2 運動學分析

2.1 位置分析

位置分析是為了建立動平臺輸出參數和主動關節輸入參數之間的關系。其中位置反解是已知動平臺位姿，求解驅動關節輸入量。本機構中，動平臺的位置可由動坐標系原點p在定坐標系中的位置向量p=(x,y,z)T表示，4個移動副為機構的主動關節，移動副位移用di(i=1,2,3,4)表示。根據機構的參數，可得定坐標系中各點坐標為

(6)

根據機構的幾何關系，求得其位置逆解為

(7)

對式(7)作變換，可以得到機構的位置正解為

(8)

式中“±”與機構裝配方式有關，對應圖2中裝配方式應取“+”號。

根據式(7)、(8)可知，動平臺在x方向的位移完全取決于d1，在y方向的位移完全取決于d2，在z方向的位移可由d2和d3(或d1和d4)決定，因此具有運動部分解耦的特點，在分析、軌跡規劃和控制方面具有優勢。

2.2 奇異分析

當機構處于或接近奇異位形時，會導致剛度下降、運動失控等后果，應對其展開分析。對位置方程求導，得到機構的速度方程，整理成矩陣形式為

(9)

其中

可以得到機構雅可比矩陣為

(10)

根據雅可比矩陣情況，并聯機構的奇異位形可分為3類：逆解奇異、正解奇異和混合奇異[23]。

當只有det(JA)=0時，機構發生逆解奇異，此時動平臺自由度瞬時減少。根據式(9)，該奇異在d3或d4為0時發生。由于實際機構中移動副行程限制，該類奇異不會發生。

冗余驅動并聯機構在矩陣JB降秩時發生正解奇異。當z=-e1，即點D1、D2和p共面時，矩陣JB的第3列全為0，此時動平臺沿z軸方向的移動運動不可控。圖3為對應的正解奇異位形。

當逆解奇異和正解奇異的條件同時滿足時，機構處于混合奇異位形。由于逆解奇異不會發生，機構也不存在混合奇異。

2.3 工作空間

由于各分支共同約束，并聯機構的工作空間通常較小。給定機構參數a=50 mm，e1=23 mm，e2=40 mm，l1=50 mm，l2=200 mm。限定驅動1、2的行程范圍為50～400 mm，驅動3、4的行程范圍為175～350 mm。為避免桿件干涉，令BiCi和CiDi(i=1,2)的夾角大于45°。為避免奇異位形，令z>0，利用搜索法可繪制機構的三維工作空間如圖4所示。可以發現，機構在x、y方向的移動范圍為50～356 mm，在z方向移動范圍為0～310 mm，具有較大的工作空間(圖4)。

3 動力學分析

3.1 速度分析

動力學建模與分析是并聯機構高速高精度控制的基礎，采用螺旋理論結合虛功原理的方法[24]進行動力學建模。

在定坐標系中，令ria、rib、ric和rid(i=1,2)分別為點Ai、Bi、Ci和Di的位置矢量，分支1、2中PRRR鏈的運動螺旋可表示為

(11)

(12)

式中$ij——分支i中第j個關節的運動螺旋，i=1,2,j=1,2,3,4

O——零向量

分支3和分支4中PRPR鏈的運動螺旋表示為

(13)

(14)

本文并聯機構只有3個移動自由度，因此動平臺的速度與加速度可表示為

(15)

根據螺旋理論，動平臺速度螺旋Vp在定坐標系中可以由分支中各關節運動螺旋的線性組合表示為

Vp=ωi1$i1+ωi2$i2+ωi3$i3+ωi4$i4

(16)

式中ωij——分支i中第j個關節的速度，i、j=1,2,3,4

式(16)可表示成矩陣形式

(17)

其中

式中Ji——6×4雅可比矩陣

由式(17)可求得分支i中各個關節的速度為

(18)

鎖定分支中的驅動關節，可以得到一個約束螺旋$Ti與除驅動關節螺旋外的所有被動關節螺旋都互易，即$Ti°$ij=0。該約束螺旋即驅動關節對應的傳遞力螺旋，各分支傳遞力螺旋表示為

(19)

式中$Ti——分支i的傳遞力螺旋，i=1,2,3,4

(20)

其中

式中Js——4×6雅可比矩陣

Δ——6×6算子矩陣

將式(17)代入式(20)中作變換后，可以得到并聯機構各被動關節的速度與4個驅動關節速度之間的關系為

(21)

其中

式中Gi——分支i的一階影響系數矩陣

分支i中第j個關節的速度螺旋Vij可以由驅動關節速度的線性組合表示為

(22)

注意到上述速度螺旋的參考點都為定坐標系原點o，當選擇的參考點由點o轉換到機構各部件質心處時，速度螺旋可進行變換，即

(23)

rij,C——原點o到分支i中第j個部件質心處的位置向量

S($)——螺旋原部

S0($)——螺旋對偶部

3.2 加速度與受力分析

類似于速度分析，動平臺相對于定坐標系的加速度AP也可用分支各關節運動螺旋組合[25]表示為

(24)

其中

由式(24)可求得分支i中各關節螺旋加速度為

(25)

進一步可以求得機構各部件相對于定坐標系原點o的加速度螺旋為

(26)

式中Aij——分支i中第j個部件相對于點o的加速度螺旋與速度螺旋類似，分支i中第j個部件相對于其質心處的加速度螺旋Aij,C可表示為

(27)

在求得各部件速度及加速度后，分支i中第j個部件質心處受到的慣性力/力矩螺旋FI,ij,C、重力螺旋FG,ij,C、外力/力矩螺旋FE,ij,C可分別表示為

(28)

式中Iij——分支i中第j個部件相對于定坐標系的慣性矩陣

mij——分支i中第j個部件的質量

g——重力加速度

fE.ij.C——分支i中第j個部件質心處所受外力

τE.ij.C——分支i中第j個部件質心處所受外力矩

機構分支i中第j個部件質心處所受的合力Fij,C可表示為

Fij,C=FI,ij,C+FG,ij,C+FE,ij,C

(29)

3.3 驅動力優化

根據式(9)、(10)，機構的驅動速度與動平臺速度螺旋間的映射關系可表示為

(30)

其中

式中Jd——驅動速度與動平臺速度間的雅可比矩陣

根據已求得并聯機構各部件的受力與速度，機構運動時總體瞬時功率可表示為

(31)

其中

式中τ——驅動力

引入虛速度δVp，將式(30)代入式(31)可得

δP=FvJdδVp+τTJdδVp

(32)

在虛功原理中，虛速度δVp為任意值，為使得并聯機構的總虛功δP始終為零，須滿足

FvJd+τTJd=0

(33)

對于冗余驅動并聯機構，其驅動關節數大于機構自由度，因此其逆動力學所求的驅動力組合并不唯一，存在無窮多種組合。不合理的驅動力組合可能導致機構部件之間的內力過大而對機構造成損壞，式(33)中雅可比矩陣Jd不為方陣，對其轉置求偽逆后可得驅動力的最小二范數組合[26]為

(34)

3.4 數值仿真驗證

通過ADAMS動力學仿真軟件來驗證上述動力學模型的正確性。機構各部件參數如表1所示。設定動平臺做螺旋上升運動，其具體軌跡(單位：mm)為

表1 并聯機器人參數Tab.1 Parameters of parallel robot

(35)

式中tm——運動的持續時間，取0～5 s

在冗余驅動并聯機構的仿真過程中，為解決逆動力學解不唯一的問題，將分支1～3的驅動關節位移量以及通過驅動力優化計算出的分支4的驅動力理論值輸至ADAMS軟件，這樣動平臺不僅能輸出給定軌跡還能測量出唯一的驅動力組合。

圖5為理論計算結果和仿真結果的對比情況，其中，驅動力曲線表示的是沿移動副移動方向驅動合力的幅值。可以看出基于螺旋理論以及最小二范數優化得到的驅動力和ADAMS仿真中的驅動力基本一致，最大偏差僅為0.6%。結果證明了并聯機構動力學模型的正確性，可用于后續的動力學性能評估和控制系統設計。

4 性能評價

對于并聯機構，可采用雅可比矩陣條件數的倒數對其運動學性能進行評價，即機構靈巧度指標[27]。靈巧度越接近1，表示機構運動學性能越好，而越接近0表明機構越接近奇異位形。雅可比矩陣J的奇異值為

(36)

式中λi——矩陣JTJ的特征值

靈巧度指標可表示為

(37)

為了解機構工作空間內運動學性能情況，取中間位置z=175 mm處的平面，繪制靈巧度指標分布如圖6所示。可以看到靈巧度具有對稱性，且與機構結構特點相符。

靈巧度指標反映了并聯機構在不同位置下的運動學性能，為了評估機構在工作空間內的全域運動學性能，將κ1≥0.6的區域定義為優質靈巧度空間，定義優質靈巧度空間與整體工作空間的比值為全域運動學指標，即

(38)

式中W——機構的整體工作空間

SGT——優質靈巧度空間面積

S——整體工作空間面積

σ——全域運動學指標

σ的取值范圍為0～1，其值越大表明工作空間內機構的整體運動學性能越好。

在動力學性能評估方面，動態可操作度橢球(Dynamic manipulability ellipsoid, DME)[28]是常用指標，該指標衡量了動平臺在特定驅動力作用下改變位姿的能力。當驅動力被約束后動平臺在不同方向上加速度范圍的橢球[29]可表示為

(39)

(40)

同樣，以z=175 mm處的二維平面為例，繪制工作空間內的DME指標分布如圖7所示，可以看到動力學指標也呈對稱分布，與機構結構特征吻合。

5 尺度優化

上述全域運動學指標可用于并聯機構的尺度優化設計。以l1、l2和a為設計參數，采用空間模型法[30]來開展尺度優化。令標準化因子

(41)

無量綱參數與約束條件分別為

(42)

(43)

根據式(43)的約束條件，可以得到如圖8所示的參數設計空間。無量綱參數與設計空間參數之間的關系為

(44)

通過計算可以得到全域運動學指標在參數設計空間中的性能分布如圖9所示，定義圖譜中σ=1的區域為性能優良區域。為了獲得良好的運動學性能，可以選取性能優良區域中的參數作為機構參數，如s=0.6，t=2.6，可得優化后機構尺度參數為a=88 mm，l1=146 mm，l2=204 mm。同樣取高度z=175 mm處的平面，繪制優化后機構性能指標分布如圖10所示。可以發現，整個平面內靈巧度均大于0.6，運動學性能較優化前有明顯提升。

圖11為尺寸優化后機構的DME指標分布情況，對比圖7可以發現，機構動力學性能也得到了提升。

6 結論

(1)提出了一種冗余驅動的三平動并聯機構，具有運動部分解耦的特點，可作為本體構造五軸打磨裝置。

(2)采用螺旋理論和虛功原理建立了機構的動力學模型，并對關節驅動力進行了優化分配，驅動力理論分析與仿真計算結果最大偏差為0.6%，驗證了模型的正確性。

(3)建立了靈巧度指標和動態可操作度橢球指標，并繪制了反映機構性能與尺度參數映射關系的性能圖譜，得到了具有更優性能的機構尺度參數。