基于準靜態同軸探頭模型的土壤復介電測量方法

許景輝 邵明燁 李曉斌 林 磊

(1.西北農林科技大學機械與電子工程學院， 陜西楊凌 712100; 2.西北農林科技大學水利與建筑工程學院， 陜西楊凌 712100)

0 引言

土壤含水率作為土壤最重要的物理參數之一，直接影響著作物生長、農田小氣候以及土壤的機械性能，是農業水土工程領域監測的重要指標[1-3]。農業生產中，土壤含水率的準確測定對于水資源有效管理、灌溉措施、作物生長以及污染物監測等都非常重要；而且土壤物理性質，如結構性、塑性、壓縮性、粘著性、粘結性等，都與土壤水分狀況密切相關[4-5]。因此，土壤含水率的精確測定有利于更好地認識農業管理措施對土壤-植物-大氣連續體的影響。

土壤含水率的測量方法有烘干法、張力計法、遙感法和介電法等[6-8]。其中，烘干法測量精度最高，但實現過程復雜，不便于實時測量；張力計法結構簡單，系統造價低，但測量速度慢，測量誤差受土質影響較大；遙感法可以迅速大面積地獲取土壤含水率信息，但測量精度還有待提高。基于介電理論的介電法操作簡單，測量精度高，適合在野外進行實時測量，在土壤含水率的測量中有較多應用。國內外學者建立了許多介電測量模型。文獻[9-10]將待測介質等效為電容建立了電容模型，BRANDY等[11]將探頭視為一個輻射源建立了輻射模型。GHANNOUCHI等[12]將待測的介質等效為一段傳輸線建立了虛擬線模型。ANDERSON等[13]用矩量法計算同軸探頭的導納，建立了有理函數模型。這些介電測量模型在土壤中也有所應用，孫宇瑞等[14]基于傳輸線理論，提出土壤含水率的測量方案；ESTEVEZ等[15]建立了雙線性介電測量模型，并對粉土的介電進行測量，驗證了模型的有效性。許景輝等[16-17]基于雙線性理論建立了黏質土介電與含水率的關系，具有較高的精度。

通過對已有成果分析可知，使用網絡分析儀的末端開路同軸探頭法具有較高的介電測量精度，但目前土壤介電測量模型多為集總模型，存在兩方面問題：①測量時把同軸探頭和土壤當作一個整體，沒有充分考慮探頭的參數對模型結果的影響。②默認待測土壤樣品體積無限大，沒有考慮土壤體積對介電結果的影響。本文構建基于短路板情況下的準靜態同軸探頭測量模型，對待測土壤厚度進行合理選取，使模型適用于不同測量范圍的土壤介電測量；通過全波仿真和無水乙醇介電測量，驗證模型的有效性；并通過對不同含水率黃綿土的介電測量計算，驗證本文介電測量模型對土壤介電測量的有效性。

1 理論模型

帶短路板末端開口同軸探頭測量模型的剖面圖如圖1所示[18]。探頭的內導體外半徑為a，外導體內半徑為b，內外導體之間是復介電常數為ε1的填充介質。待測土壤介質厚度為d，復介電常數為ε2。

同軸探頭可以傳播沒有色散的TEM電磁波，同時也可以傳播TE波和TM波，其中TEM模式是主模，TE和TM模式是高次模。研究和試驗表明，在同軸探頭中忽略高次模對最后模型精度的影響較小[19-20]。本文假設同軸探頭僅傳輸TEM主模，對邊界帶有短路板的情況建立準靜態模型。

假設同軸探頭傳輸TEM主模，則同軸探頭中的復合電場Er1和復合磁場Hφ1可以表示為[21]

(1)

(2)

(3)

j2=-1

(4)

(5)

式中r、φ、z——圓柱坐標系的坐標軸變量

A——探頭終端端面正向波電場的振幅

ε0——真空介電常數

μ0——真空磁導率

μ1——探頭填充介質的磁導率

f——頻率

c——真空下的光速

Γ——反射系數

被測介質中的電場Er和磁場Hφ可以表示為譜域中所有平面波的積分[22],即

(6)

(7)

(8)

式中J1(rx)——一階第一類Bessel方程

μ2——土壤待測介質的磁導率

B(x)——譜域表示的場幅度

根據z=0平面電場和磁場橫向分量連續的邊界條件分別可得

(9)

(10)

為表示B(x),需對式(10)進行處理，根據Fourier-Bessel積分公式

(11)

式中Jn(x)——n階第一類Bessel方程

對式(11)兩邊乘以rJ1(x′r)后進行積分，再根據Bessel方程的正交性以及脈沖函數的篩選性可得[23]

(12)

將式(12)代入式(10)并根據短路板上電場橫向分量為零可得[24]

(13)

式中J0(x) ——零階第一類Bessel方程

coth()——雙曲余切函數

本文將電磁場空域的三維問題轉化為在譜域中的一維問題，建立介質中電場與磁場的方程組，根據同軸探頭內外電磁場連續性邊界條件，消去電場與磁場參量。最后經過化簡得到反射系數與電磁參數的函數關系式。

上述模型要求土壤厚度為一定值，實際測量應用中土壤可從有限范圍到半無限大，如圖2所示。考慮式(13)土壤厚度d僅出現在雙曲余切函數中，而雙曲余切函數值單調遞減有下界，因此應考慮d的改變對于反射系數Γ的影響。圖3為土壤的復介電實部取值為20，虛部為15，在常見土壤觀測同頻率下反射系數與土壤厚度的關系[25]，當厚度大于2 cm反射系數基本不再隨厚度的增加而改變，考慮其他因素的影響，為保證測量的準確性，本文選取厚度為5 cm以上時，模型等效為半無限大情況。

2 模型驗證

2.1 全波仿真驗證

為了驗證上述所建立的模型，通過全波仿真軟件HFSS(High frequency structure simulator)建立測量模型進行對比。按照圖2所示的剖面圖以及表1(表中l為探頭長度)所示的參數在HFSS中繪制出3D模型，如圖4所示。設置求解模式為Driven Modal，在探頭的首段設置好波端口面，但此時獲得的反射系數為探頭首端面上的反射系數。為了得到探頭末端面上的反射系數，通過De-embedding技術將端口面移至探頭與土壤待測介質的分界面上。

表1 探頭測量模型參數Tab.1 Probe measurement model parameters

設置仿真的帶寬為0.01～4 GHz，HFSS仿真結果與本文所建立模型(式(13))的計算對比結果如圖5所示。結果表明在各頻點下仿真結果和計算結果的實部與虛部都有很好的一致性。

采用平均絕對值誤差(MAE)為誤差評價指標，兩個結果的實部MAE為0.001，虛部MAE為0.022，表明本文所建立模型的準確性。

2.2 實際測量驗證

測量系統實物如圖6所示，矢量網絡分析儀型號為Anritsu ms2028b，通過同軸電纜延伸。由于存在系統誤差，在同軸電纜的末端通過Keysight 85052D校準套件進行校準，校準完成后同軸電纜的末端連接自制末端開路同軸探頭，探頭的參數如表1所示。

由于連接同軸探頭后，反射面延伸至探頭末端與被測物接觸的表面，因此需要采用去嵌入技術去除探頭對測量反射系數的影響[26]。矢量網絡分析儀測量的反射系數ΓM與探頭終端的反射系數ΓDUT存在關系

(14)

式中S11、S12、S21、S22——同軸探頭的4個散射參數

式(14)中有4個未知數，但S12和S21乘積在一起，可以當作一個獨立的參數，因此需要3種已知介電的材料獲取探頭的相關參數，本文采用空氣、去離子水和異丙酮3種材料通過式(13)的理論計算和實際測量，計算得到探頭的散射參數。

為驗證上述的介電測量模型，矢量網絡分析儀開機預熱2 h后，在25℃條件下測得無水乙醇的反射系數，保證無水乙醇在燒杯中的高度大于5 cm，而在計算中高度取5 cm。測得反射系數后，首先通過式(14)去嵌入計算得到探頭終端的反射系數，然后將探頭終端的反射系數代入式(13)，通過反演計算得到無水乙醇的計算復介電常數，計算結果與Cole-Cole公式計算結果[27]對比如圖7所示，其中復介電常數實部MAE為0.375，虛部MAE為0.279，表明本文所提測量模型的準確性。

3 試驗與結果分析

3.1 試驗材料

試驗土壤為黃綿土，采集于陜西省榆林市，取土深度為40～50 cm。自然風干后剔除石子、砂礫等雜質，再經研磨，過18目篩(孔徑2 mm)，在DGG-9070A型干燥箱內105℃干燥24 h。采用去離子水配比含水率為5%、10%、15%、20%、25%的土樣，配制好的土壤樣品密封放置在25℃ HZ-2019型恒溫箱中24 h，期間搖晃2次，保證水分充分均勻。

在室溫((23±2)℃)條件下，從恒溫箱中取出各種含水率的土樣各3份裝入高65 mm、直徑66 mm的PVC管中。設置矢量網絡分析儀的測量頻段為0.01～4 GHz，采樣點為400點，校準并連接同軸探頭后，測量每份土樣3次，每種含水率的9次測量反射系數結果取平均值作為后續計算的數值。測量結束后，取每份土壤樣品5～6 g，在105℃干燥箱內干燥24 h，根據干燥前后土樣質量的變化計算得到實際土壤含水率，分別為5.8%、10.5%、15.8%、20.2%、25.2%。

3.2 結果與分析

將土壤樣品測得的反射系數經上述的復介電常數計算方法，計算得到不同含水率土壤樣品的復介電常數，其結果如圖8所示。不同含水率土壤樣品的復介電常數實部都隨著頻率的增大而減小，并且頻率在1 GHz后數值基本不再變化，復介電常數虛部先隨著頻率的增大而減小，當頻率大于2 GHz以后，復介電常數的虛部又有上升的趨勢。

復介電常數實部表示介質存儲電荷的能力和物質極化的難易程度，主要是介質中偶極子的極化作用。去離子水的復介電常數實部相對于土壤的復介電常數實部較高，水分子的極化性高，因此土壤中的水分子對復介電常數實部的改變起主導作用，不同含水率的土壤具有明顯不同的復介電常數實部。復介電常數虛部表示電束密度或極化強度對電磁場響應的滯后部分，主要是由介質中介電損耗引起，不同含水率土壤樣品中水分子的介電損耗導致復介電常數虛部變化。不同含水率土壤樣品的復介電常數隨著含水率的增加而增加，復介電常數實部比虛部具有更顯著的區分性。

圖8所示的復介電常數實部具有顯著的區分性，為進一步分析復介電常數實部與土壤含水率的相關性，在測量頻段0.01～4 GHz內等間隔選取100個頻點。通過二階多項式擬合，各頻點決定系數(R2)與均方根誤差(RMSE)如圖9所示。

在各頻點下，復介電常數實部與土壤含水率實測值的二階多項式擬合模型R2均在0.965以上，RMSE均小于0.55。表明土壤復介電常數實部與土壤含水率實測值有較好的相關性。進一步對選取的頻點分析，相對于其他頻段，在頻段1.78～2.917 GHz具有較大的R2和較小的RMSE，模型擬合效果優于其他頻段。并且在1.837 GHz頻點的R2最大且RMSE最小，其中R2為0.982，RMSE為0.414。在此頻點下建立的二階多項式模型為

θ=-0.018ε′2+1.396ε′-1.117

(15)

式中ε′——土壤復介電常數實部

θ——土壤含水率

4 結論

(1)通過對帶有短路板的末端開路同軸探頭土壤測量模型分析，當土壤厚度大于5 cm，在常見土壤觀測頻率下，反射系數基本不再隨厚度的增加而改變，模型等效為半無限大情況，適用于實際情況下土壤介電的測量。

(2)在全波仿真分析軟件HFSS中建立半無限大末端開路同軸探頭測量模型，在各頻點下，仿真得到的反射系數和本文模型計算得到的結果具有很好的一致性，表明本文模型的準確性。

(3)在室溫下，用實際測量無水乙醇的反射系數，再經去嵌入和模型反演計算得到實際測量無水乙醇的復介電常數，與Cole-Cole公式計算出的無水乙醇理論復介電常數比較，兩者具有較好的一致性，進一步表明了本文模型的可行性。

(4)用本文的計算模型對不同含水率的黃綿土進行測量計算，得到的復介電常數實部具有顯著的區分性，通過二階多項式擬合的決定系數大于0.965，表明本文所提土壤介電測量方法適用于表征土壤的含水率。