探索三元一次方程組的求解方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

何家奇

摘要：基于二元一次方程組的求解探索三元一次方程組的求解方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，進(jìn)一步體會(huì)消元—加減消元法和代入消元法，同時(shí)，應(yīng)用在教學(xué)中可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開(kāi)發(fā)學(xué)生延伸和拓展能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，達(dá)到拋磚引玉的效果，根據(jù)三元一次方程組的不同形式進(jìn)行分類，進(jìn)行解法探究、方法歸納，可以培養(yǎng)學(xué)生的方程、劃歸等數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在前人研究的基礎(chǔ)上對(duì)三元一次方程組的求解方法進(jìn)行系統(tǒng)地歸納總結(jié)，將結(jié)合實(shí)例分析，探討三元一次方程組求解方法的探究對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的作用。

1二元一次方程組、三元一次方程組的相關(guān)概念

1.1二元一次方程組

含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程組成的一組方程，稱為二元一次方程組，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，是這個(gè)二元一次方程組的解，求解二元一次方程組的主要思想是消元，具體方法有代入消元法和加減消元法，將二元一次方程組中的兩個(gè)方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法也可進(jìn)行求解，兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)就是二元一次方程組對(duì)應(yīng)的解。

1.2三元一次方程組

含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程組成的一組方程，稱為三元一次方程組，三元一次方程組的三個(gè)方程的公共解，是這個(gè)三元一次方程組的解，基于二元一次方程組的求解方法，通過(guò)類比可以探索三元一次方程組求解的方法和數(shù)學(xué)思想。

2三元一次方程組的求解

2.1缺項(xiàng)型

例1、解方程組

解：把③式子代入①、②式中得

得： ，即

把 代 中得：

所以，原方程組的解為

分析：將③式變形為

然后代入①、②式中也可得到結(jié)果，運(yùn)算方法一樣，只是運(yùn)算中增加了分?jǐn)?shù)，增加了計(jì)算難度。所以，遇到此類型的三元一次方程組，可將只有兩個(gè)字母的式子直接或變形后代入另外兩個(gè)式子即可達(dá)到先消一元的目的，從而應(yīng)用求二元一次方程組的方式將其中兩個(gè)未知數(shù)求出，最后將已求出的兩個(gè)未知數(shù)代入原式即可得到最終解。此類題型可以訓(xùn)練學(xué)生的類比、邏輯推理能力，類比解二元一次方程組中先消一元再求另一元的數(shù)學(xué)思想，從而得出三元一次方程組中先消一元，再求兩元，最后求一元的解題思想，

2.2標(biāo)準(zhǔn)型（要選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)）

分析：此類題型可以先觀察未知數(shù)的系數(shù)，找到三個(gè)式子中的兩個(gè)未知數(shù)系數(shù)成比例、相同或相反的兩個(gè)式子，應(yīng)用加減消元法或整體代入消元法可求得第三個(gè)未知數(shù)的值，再將求出的未知數(shù)的值回代到原方程組中，可求出原方程組的最終解，此類題型可以訓(xùn)練學(xué)生的觀察、歸類能力，培養(yǎng)學(xué)生的整體意識(shí)、數(shù)據(jù)分析意識(shí)。

2.3缺項(xiàng)輪換型（要勇于創(chuàng)新）

分析：在解輪換并缺少未知數(shù)的題型時(shí)，可將原方程組中的三個(gè)式子相加得到第4式，再用第4式與原方程組中的式子加減消元或整體代入消元可得到最終解，此類題型很好地繼承了解二元一次方程組中消元的思想方法。在觀察原方程組的特殊性后，大膽嘗試三式相加，所以本題型在解答過(guò)程中在消元解法中又有所提升，有效培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和分析能力，讓學(xué)生樹立良好的創(chuàng)新意識(shí)。

2.4缺項(xiàng)含比例型

分析：此類題型可將成比例關(guān)系的兩式進(jìn)行變形，再將變形得到的兩式代入第三式中，從而達(dá)到一次性消兩元的目的，即可求出其中一個(gè)未知數(shù)的值，再將此未知數(shù)的值回代到原式中，即可得到原方程組的解。當(dāng)然，此類題型也可設(shè)參數(shù)，在比例式中用參數(shù)表示未知數(shù)，例如：x=3k，y=4k，把y=4k代入2式中得 ，把x=3k，y=4k， 同時(shí)代入3式中可得到k的值，再將k的值回代到題設(shè)中可得最終解。在本題計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生不僅可以利用變形、消元的方法求解，而且還可以利用方程組的特殊性，增設(shè)含參數(shù)的未知數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的思維拓展由促進(jìn)作用，讓學(xué)生意識(shí)到同一個(gè)問(wèn)題，可以有多種解法進(jìn)行解答，培養(yǎng)了學(xué)生一題多解的能力，在兩種求解方法中選擇，第二種解法明顯比第一種解法簡(jiǎn)單得多，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中、生活中選擇最佳方案解決難題、困難有極大的幫助。

3總結(jié)

把解三元一次方程組的內(nèi)容融入到初中數(shù)學(xué)必學(xué)教學(xué)中，學(xué)生可以通過(guò)用代入法、加減消元法解簡(jiǎn)單的三元一次方程組的訓(xùn)練及選擇合理、簡(jiǎn)捷的方法解方程組，培養(yǎng)運(yùn)算能力;通過(guò)對(duì)方程組中對(duì)未知數(shù)系數(shù)特點(diǎn)的觀察和分析，明確三元一次方程組解法的主要思想是“消元”，從而促成未知向已知的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)和發(fā)展邏輯思維能力;通過(guò)對(duì)三元一次方程組消元后轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程及將一些代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組問(wèn)題的方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)初步運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想去解決問(wèn)題，發(fā)展思維能力。

參考文獻(xiàn)：

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[3]北師大版初中數(shù)學(xué)課本八年級(jí)上冊(cè)第五章.