“消元”為主線“轉化”是關鍵

文 李建華

方程（組）是刻畫現實世界有效的數學模型，作為“方程家族”中的一員，二元一次方程（組）延伸和拓展了一元一次方程所學過的知識，在現實生活中有著廣泛的應用，也是中考數學試題中的“常客”。在本章的學習過程中，我們不妨從中考的典型問題出發，抓住“消元”為主線，銘記“轉化”是關鍵，以不變應萬變，從而解決問題。接下來，就開始我們的探索之旅吧！

一、二元一次方程組的解法

例1（2020·廣西玉林）解方程組：

【分析】觀察方程組未知數的特征，不難發現兩種解題思路：（1）用代入消元法，注意方程組中第1 個方程中未知數x 的系數為1，可用含y 的代數式表示x，代入第2 個方程消去x，得到一個關于未知數y 的一元一次方程，從而可解；（2）用加減消元法，在第2 個方程的兩邊同時乘3，與第1 個方程相加，可以消去未知數y，得到一個含有未知數x 的一元一次方程，從而可解。

解：（解法1）

由①，得x=3y-2，③

把③代入②，得2（3y-2）+y=3，

解這個一元一次方程，得y=1，

把y=1代入③，得x=1，

①+②×3，得7x=7，

解得x=1，

把x=1代入①，得y=1，

【點評】本題考查了二元一次方程組的常見解法（代入消元法與加減消元法），兩種方法都可以達到“消元”的目的，轉化為一元一次方程求解。我們在解這類問題時，應仔細觀察，注意方程的特征，靈活運用所學方法消去未知數，以達到簡化運算的目的。

例2（2020·江蘇南京）已知x、y 滿足方程組則x+y的值為_____。

【分析】①+②×2 得5x+5y=5，兩邊同除以5 即可求得x+y=1。故答案為1。

【點評】本題考查了二元一次方程組的解法。除了利用常規解法，我們還可以根據方程組的特點，利用“整體思想”來解決本題，這也恰是本題的考查目的。

二、用二元一次方程（組）解決問題

例3（2020·湖北黃石）我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩。問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5 頭牛、2 只羊，值19 兩銀子；2 頭牛、5 只羊，值16 兩銀子。問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用19 兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能。

【分析】（1）設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y 兩銀子，根據“5 頭牛、2 只羊，值19 兩銀子；2 頭牛、5 只羊，值16 兩銀子”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）可設購買a 頭牛，b 只羊，根據買牛和羊用19 兩銀子（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），列出方程，再根據求二元一次方程的整數解即可求解。

解：（1）設每頭牛值x 兩銀子，每只羊值y兩銀子。

答：每頭牛值3 兩銀子，每只羊值2 兩銀子。

（2）設購買a頭牛，b只羊。

因為a、b 都是正整數，所以，商人有3 種購買方法：①購買1 頭牛，8 只羊；②購買3 頭牛，5 只羊；③購買5 頭牛，2 只羊。

【點評】本題考查了二元一次方程（組）的應用，找出問題中的相等關系，正確列出二元一次方程（組）是解題的關鍵。本題源自數學名著《九章算術》，而在我國其他數學著作中也有很多關于二元一次方程（組）的應用問題，同學們可以查閱相關材料，了解我國古人對數學文化的貢獻。

三、一次方程組的綜合運用

例4（2020·江蘇揚州）閱讀感悟：

有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：

已知實數x、y 滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值。

本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x、y 的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大。其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19。這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”。

解決問題：

（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3 塊橡皮、2 本日記本共需32 元，買39 支鉛筆、5 塊橡皮、3 本日記本共需58 元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

（3）對于實數x、y，定義新運算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算。已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=_____。

【分析】（1）由利用①-②可得出x-y的值，利用（①+②）÷3 可得出x+y的值；

（2）設鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，根據“買20 支鉛筆、3 塊橡皮、2 本日記本共需32 元，買39 支鉛筆、5 塊橡皮、3 本日記本共需58 元”，即可得出關于m，n，p的三元一次方程組，可得m+n+p的值，再乘5即可求出結論；

（3）根據新運算的定義可得出關于a，b，c的三元一次方程組，可得出a+b+c的值，即1*1的值。

解：（1）

由①-②，得x-y=-1，

由（①+②）÷3，得x+y=5。

故答案為-1，5。

（2）設鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，

由2×①-②，可得m+n+p=6，

∴5m+5n+5p=5×6=30。

答：購買5 支鉛筆、5 塊橡皮、5 本日記本共需30元。

由3×①-2×②，得a+b+c=-11，

即1*1=-11。

故答案為-11。

【點評】本題考查了一次方程組的綜合應用，解題的關鍵是運用“整體思想”求解。本題的第（3）問要利用新定義列出方程組，為解決問題增加了難度，但萬變不離其宗，同學們只要緊緊抓住問題的本質，選對解法，便能以不變應萬變。