“生長數(shù)學(xué)”理念下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課初探
——以“數(shù)與式”的復(fù)習(xí)為例

■江美紅

在日常教學(xué)中，不少教師在復(fù)習(xí)課上只是把所要復(fù)習(xí)的知識進(jìn)行簡單的羅列，變成新授課的機械重復(fù)，學(xué)生無論從知識、能力上都得不到更多收獲。如何提高復(fù)習(xí)課的效能，這是畢業(yè)班教師非常關(guān)心的問題。“生長數(shù)學(xué)”理念下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，能根據(jù)所要復(fù)習(xí)的知識內(nèi)容和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，堅持系統(tǒng)化理論，踐行“生長數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張，運用結(jié)構(gòu)化的思維方法，架設(shè)生長型路徑，開展探究性活動。學(xué)生可從中積累新經(jīng)驗、經(jīng)歷新感受、收獲新成長。

數(shù)與式這兩章的內(nèi)容，知識點多而散，數(shù)中包含有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、開方、方根等概念及運算，式中包含整式、分式、二次根式等概念、性質(zhì)及運算。復(fù)習(xí)課除了要對這些知識進(jìn)行查漏補缺外，還要打開章節(jié)通道，貫通前后內(nèi)容，聚集所要復(fù)習(xí)的核心知識，智慧地整合教學(xué)資源。

教學(xué)環(huán)節(jié)1.數(shù)的復(fù)習(xí)

問題1.我們到現(xiàn)在為止，學(xué)過哪些數(shù)？

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)實數(shù)的分類。

問題2.認(rèn)識了實數(shù)后，我們還學(xué)過哪些實數(shù)的運算？

設(shè)計意圖：引發(fā)學(xué)生對實數(shù)相關(guān)運算知識的回憶。

設(shè)計意圖：把學(xué)生在回答問題1、問題2中的數(shù)字和符號連起來，生成算式，讓學(xué)生回顧開方、負(fù)指數(shù)冪、絕對值、零指數(shù)冪等中考常考的知識點。

問題4.請同學(xué)們對①式進(jìn)行計算，并說出計算結(jié)果。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)用問題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考，通過理性計算，驗證了意想不到的結(jié)論，既提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，也為下一個問題做好鋪墊。

問題6.若要保持計算結(jié)果不變，①式中的數(shù)字3還能不能改了？若能，還能改成哪些數(shù)？

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)讓學(xué)生歸納結(jié)論，提出猜想，讓他們在求知心切的狀態(tài)下，全身心地投入到學(xué)習(xí)中去。

教學(xué)環(huán)節(jié)2.由數(shù)到式

問題7.如何證明上述猜想？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“歸納——猜想——證明”推理過程，提升學(xué)生的邏輯推理能力，同時體悟由數(shù)到式的必要性和優(yōu)越性。

問題8.將①式中的3 用字母a代替，得到代數(shù)式，記為③，在這個代數(shù)式里，有哪些特殊的代數(shù)式呢？

設(shè)計意圖：用問題來引出代數(shù)式的分類，對比數(shù)的分類，讓學(xué)生感受兩者之間的異同點。讓學(xué)生親歷整合碎片化知識的過程，更好地理清知識之間的聯(lián)系。

問題9.使③式成立的條件是什么？

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生的回答可能有缺漏，需引導(dǎo)學(xué)生考慮問題要全面，進(jìn)而得出字母a的取值范圍是a＞0。

設(shè)計意圖：通過這個問題，復(fù)習(xí)了二次根式、分式等代數(shù)式成立的條件，學(xué)生養(yǎng)成了看到含字母的代數(shù)式就有挖掘隱含條件的習(xí)慣和意識，感受數(shù)與式之間的區(qū)別。

問題10.化簡③式，除了用到數(shù)的相關(guān)知識外，還需要掌握什么知識或方法呢？

問題11.通過化簡③式，我們能發(fā)現(xiàn)①式中的數(shù)字3換成哪些數(shù)可使答案不變呢？

預(yù)設(shè)生成：在問題10 的鋪墊下，學(xué)生不難得出：當(dāng)0＜a＜1 時，原式=；當(dāng)a≥1 時，原式=1。所以，可以將①中的數(shù)字3換成任何不小于1的數(shù)，答案都為1。學(xué)生能夠感受到用字母表示數(shù)的優(yōu)越性以及代數(shù)問題中變中不變的規(guī)律。

設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固代數(shù)式的化簡。

教學(xué)環(huán)節(jié)3.拓展提升

預(yù)設(shè)生成：此題有多種解答方法，第一種是直接代入；第二種是將x、y分母有理化后再直接代入；第三種是求出x+y=4，xy=1 后，再整體代入變形后的代數(shù)式，或求出x2+y2的值再整體代入；第四種是把所求代數(shù)式化為后再計算。學(xué)生會答出多種思路，教師只需引導(dǎo)學(xué)生思考更簡捷的思路即可。

設(shè)計意圖：學(xué)生通過化簡計算，提高分式、二次根式的運算能力，體會解題方法的多樣性和感受整體思想的優(yōu)越性。

問題13.上題中，由x+y=4，xy=1，我們可以求出x2+y2的值，那么你還能求出哪些代數(shù)式的值？

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生可能回答(x?y)2，，x2y+xy2……不管說出幾個，教師都可引導(dǎo)學(xué)生觀察這些代數(shù)式具有的共同特點，給出對稱式的概念，再舉出更多代數(shù)式的例子，任選幾個典型代數(shù)式并求出它們的值。

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向運用，引出對稱式的概念，并感受知二求多的過程。

問題14.由x+y=4，xy=1，你能不能將x，y放在其他不同的背景中，如幾何圖形或者函數(shù)背景下，嘗試設(shè)計出其他問題？

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生可能想到矩形，已知周長和面積，求對角線長；也可能想到直角三角形，已知兩條直角邊的和與面積，求斜邊長；可能放在函數(shù)背景下，已知一次函數(shù)y=?x+4 和反比例函數(shù)y=，求兩個函數(shù)圖像的交點到原點的距離。此問題難度高，可給予學(xué)生足夠的時間，小組合作探討，再分享成果。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧所學(xué)知識，并將知識進(jìn)行橫縱向聯(lián)系，提升學(xué)生的思維深度和廣度。

該部分設(shè)計利用由數(shù)到式、數(shù)式應(yīng)用這條主線，勾勒出異于新授課的思維場景，營造出復(fù)習(xí)這一內(nèi)容的新思維氛圍。經(jīng)過教師創(chuàng)造性演變過的學(xué)習(xí)活動，是有價值且高效的，是學(xué)生驟然頓悟的質(zhì)變過程。這個過程可助力學(xué)生思維活動的展開，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

【教學(xué)思考】

1.選準(zhǔn)問題的起點與終點。

創(chuàng)造性地使用教材，要有打破教材結(jié)構(gòu)的勇氣，總結(jié)教學(xué)中相近或相鄰的知識，從知識體系和知識結(jié)構(gòu)上去把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，選準(zhǔn)問題的起點與終點。本課例以“我們到現(xiàn)在為止，學(xué)過哪些數(shù)？”這一個典型問題為學(xué)習(xí)起點，引出數(shù)與式的概念、運算的復(fù)習(xí)。設(shè)置問題“ 已知，求的值”是為了將教材中的基本問題逐步演變成中考中的焦點問題，幫助學(xué)生尋找和總結(jié)解題的方案。

2.設(shè)計好問題生長的路徑。

在選好問題的起點與終點之后，要認(rèn)真謀劃所要復(fù)習(xí)內(nèi)容的生長過程，精心設(shè)計好問題生長的路徑，創(chuàng)造性地提煉知識的生長鏈，充分展示模型變化、結(jié)構(gòu)變化、背景變化、深度變化的關(guān)系。如：改變算式中的數(shù)字3，若使得算式的結(jié)果不變，猜想可以改成哪些數(shù)？由數(shù)到式加以論證，揭示變化中的不變性的規(guī)律。再如：由x+y=4，xy=1，能否將x，y放在其他不同的背景中，如幾何圖形或者函數(shù)背景下，嘗試設(shè)計出其他問題？學(xué)生在創(chuàng)造過程中感受成功的喜悅，不斷地開拓與超越，凸顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)變式的魅力。

3.精選生長鏈中的例題和習(xí)題。

用“生長數(shù)學(xué)”理念進(jìn)行架構(gòu)，要根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容，精選生長鏈中的例題和習(xí)題，如問題12 選擇分式的化簡求值問題，是中考的重要考點，該題解法多樣，且滲透了重要的數(shù)學(xué)思想方法。還可以對此進(jìn)行變式，讓學(xué)生進(jìn)行針對性的練習(xí)。最后提升難度，學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)等式，設(shè)計不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題。所選的變式問題注意到不同的梯度，重構(gòu)舊知識的新視野，學(xué)生從中積累新經(jīng)驗，收獲新成長。