非均勻介質特征參數地震隨機反演方法

王保麗 藺 營 張廣智② 印興耀②

(①中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島 266580；②海洋國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，山東青島266071)

0 引言

地震反演是獲得地下介質彈性參數、物性參數及含流體性質參數的重要方法，是定量描述含油氣儲層的核心地震技術。根據不適定地球物理反問題求解方式的差異，地震反演分為確定性反演和隨機反演兩大類。基于最小化原理求解反問題最優解或近似解的方法，通常稱為確定性反演，其估計結果是一個相對平滑的唯一解。依據統計學理論的隨機反演方法充分考慮了觀測數據及反演過程的不確定性，消除了確定性反演中的平滑性，能夠得到地下介質隨機模型的多個實現，從而獲得多個反演結果[1-6]，在獲取反演最優解的同時有效評價反演結果的不確定性。

地下介質普遍存在非均質特征，含油氣儲層的非均質特征主要表現為儲層空間分布范圍變化大，因此儲層的彈性、物性及含流體性質在空間上是變化而不均勻的[7-8]。通常使用統計學的隨機介質模型描述地下復雜非均勻介質，利用均值、方差、自相關函數等參數表征地下介質空間變化的統計特性[9-12]。為精細研究地下介質特性及其參數變化，需要借助隨機介質模型描述地下介質的小尺度非均勻特性，進而有效刻畫地下油氣藏的細節信息。相比確定性反演，地震隨機反演方法融合了地層格架、測井、地震等多尺度信息，可以獲得更豐富的地下地層信息，使反演結果的分辨率更高[13-15]，可以描述非均質復雜儲層。

近幾年，隨機反演方法在儲層預測、流體檢測及頁巖甜點預測等方面獲得了較好的效果。前人[16-19]利用隨機反演方法求取儲層彈性參數、物性參數以及流體因子。郭同翠等[20]利用疊前地質統計學反演方法預測頁巖甜點的空間展布。Azevedo等[21]利用疊前地震隨機反演獲得縱橫波速度、密度及巖相數據。De Figueiredo等[22-23]基于巖石物理先驗模型的聯合貝葉斯反演獲得了彈性參數、物性參數等儲層特征參數。Mohamed等[24]結合地震屬性與疊后地震隨機反演獲得了砂巖相預測模型。

以貝葉斯推斷為基礎的地震隨機反演方法整合了未知模型參數的先驗概率密度分布信息，通過似然函數建立模型參數與觀測地震數據間的關系，獲得待反演參數的后驗概率密度函數[22,24-29]。在反演過程中，先驗信息模型用于描述地下地質體的空間變化特征，對于獲得準確的反演結果非常重要，有利于縮小模型參數的求解空間。但常規的地震隨機反演方法以測井數據為硬數據，利用變差函數表征地下地質體的空間展布特征[13-16,24-26,30-31]。然而，基于測井數據的隨機模擬不能描述復雜地下地質體的空間變化特征，從而降低了非均質儲層地震定量表征的穩定性和可靠性。

為了充分利用已知地震、測井數據中蘊含的地下地層空間結構信息，本文基于隨機介質理論，依據地震和測井數據得到精確表征地層空間變化特征的非均勻介質特征參數，構建非均勻介質特征參數模型作為后續隨機反演的先驗信息模型，通過優化算法求解后驗概率密度函數，形成了基于非均勻介質特征參數的地震隨機反演方法。

1 方法原理

本文引入隨機介質構建貝葉斯隨機反演的先驗模型，利用混合型自相關函數表征非均勻介質的空間分布特征，從已知地震、測井數據中估算縱向、橫向自相關長度及自相關角度等非均勻介質特征參數，獲得反映地下復雜儲層小尺度空間變化特征的信息，為后續反演提供先驗模型。

1.1 隨機介質基本原理

隨機介質是利用統計方法描述地下介質不同尺度非均勻性的介質模型，一般可以用均值、標準差和自相關函數等一階、二階統計量表征地下介質的空間隨機變化特征。隨機介質模型可以表征地下復雜介質的非均勻特性，有效反映含油氣儲層的小尺度變化特征。在二階平穩假設條件下，隨機介質模型定義為[9-11]

m(t,x)=m0(t,x)+σm(t,x)

(1)

其中

σm(t,x)=δm(t,x)f(t,x)

(2)

式中：m0(t,x)為模型的均值，可描述介質的平均特性，表征介質的大尺度非均勻性，x為橫坐標，t為時間；σm(t,x)描述平均特性上的隨機擾動，表征介質的小尺度非均勻性；δm(t,x)一般為測井數據的標準差；f(t,x)為空間分布特征，是滿足二維自相關函數R(t,x)的均值為0、標準差為1的二維隨機序列。因此，可以使用均值為零的平穩空間隨機過程表示地下介質的小尺度非均勻性。

1.2 非均勻介質特征參數

混合型自相關函數表征地下介質的小尺度空間分布特征，通過引入粗糙度因子，混合型自相關函數綜合了高斯型和指數型的特點。高斯型自相關函數較好地描述了單尺度平滑的非均勻介質。指數型自相關函數描述了隨機介質的多尺度、自相似的特性，能更好地表征實際介質的多尺度特性。混合型自相關函數則更靈活地描述地下介質，適用性更強[9-10]。因此，本文采用混合型自相關函數R(t,x)描述非均勻介質的空間變化特征，即

(3)

式中：a、b分別為橫向(x方向)、縱向(t方向)自相關長度；θ為自相關角度；η為粗糙度因子，η=0為高斯型自相關函數，η=1為指數型自相關函數。

綜合式(1)～式(3)可知，描述地下非均勻介質的特征參數包括均值、標準差、縱向和橫向自相關長度及自相關角度等，通過這些參數可以模擬產生滿足相應的自相關函數且具有指定均值和標準差的隨機介質模型。

1.3 非均勻介質特征參數的估計及建模

為從實際地震數據中獲得地下地層空間結構特征參數，首先建立地震記錄、地震子波與統計特征參數模型之間的函數關系[11]。根據隨機介質理論可知，在連續介質中，波阻抗Z(t,x)與反射系數r(t,x)的關系為

(4)

式中：Z0(t,x)為表征低頻分量的背景波阻抗；δz(t,x)為表征高頻分量的擾動量。

由式(4)、線性褶積模型以及卷積的微分性質可知，地震數據功率譜Ss(ω,kx)滿足

(5)

對SδZ(ω,kx)進行傅里葉反變換得到隨機介質的自相關函數R(t,x)，進而估算出縱向、橫向自相關長度和自相關角度等參數。

利用估算的特征參數求取二維自相關函數及其功率譜，得到非均勻介質的振幅譜，在區間[0，2π)產生均勻分布的隨機相位信息。綜合振幅譜和相位譜得到非均勻隨機介質的頻譜函數，由傅里葉反變換得到二維隨機序列，對其進行標準化，使其均值為零、標準差為1，再結合由測井數據得到的標準差和均值，從而構建非均勻隨機介質模型[12]。

2 非均勻介質特征參數分析

由于均值表征介質的大尺度平均特性，標準差反映偏離平均值的程度，為更好地突顯小尺度非均勻特性，本文給定具體的均值和方差，討論不同縱向、橫向自相關長度以及不同自相關角度對非均勻波阻抗介質模型的影響。

圖1為不同縱向、橫向自相關長度及不同自相關角度的非均勻介質模型。由圖可見：①自相關函數反映介質在空間的相關程度，a展示了介質在水平方向的相關范圍，反映介質的橫向尺度；b展示了介質在垂向的相關范圍，反映介質的縱向尺度(圖1a、圖1b)。②θ反映隨機介質模型的擾動方向(圖1c、圖1d)，通過θ模擬地下介質層位的方向變化。

圖1 不同縱向、橫向自相關長度及不同自相關角度的非均勻介質模型(a)a=10,b=30,θ=0°；(b)a=30,b=10,θ=0°；(c)a=b=15，θ=0°；(d)a=b=15，θ=20°構建的隨機介質模型的網格數為400×400，網格間距為dx=dt=1，波阻抗均值為6×106kg·m-2·s-1，標準差為6×105kg·m-2·s-1

總之，通過分析不同尺度的非均勻介質參數可知，縱向、橫向自相關長度和自相關角度等統計量描述了介質彈性參數的空間擾動，可以刻畫介質的空間變化特性。因此，借助非均質介質特征參數構建的模型反映了地下介質的非均質特性，為后續反演提供了更可靠的先驗信息。

3 基于非均勻介質參數的隨機反演

基于上述方法原理構建表征地下介質非均質特性的先驗信息模型，在貝葉斯理論框架下，聯合似然函數得到反演目標函數，進而利用優化算法求解目標函數，最終形成基于非均勻介質特征參數的隨機反演方法。

3.1 貝葉斯理論

貝葉斯理論融合了待反演參數模型和已知數據的先驗信息，通過似然函數轉化為后驗信息，得到模型參數的概率估計，其后驗概率密度函數為[32]

(6)

式中：p(m|d)為模型參數m的后驗概率密度函數，表示觀測數據d已知時m的分布規律；p(m)為m的先驗概率密度函數，表示d未知時m的分布規律；p(d|m)為似然函數，表示m與d的擬合程度；p(d)為d的分布情況。

3.2 目標函數

本文以構建的非均勻介質模型為地質統計先驗模型，并結合待反演參數與地震數據之間的正演關系構建似然函數，進而以貝葉斯理論為基礎[32]，得到表征最終反演結果的后驗概率密度函數。為減少反演結果的不確定性，增加了非均勻介質特征參數的約束項。因此，最終建立的目標函數為

(7)

3.3 非常快速量子退火優化算法

非常快速量子退火(Very Fast Quantum Annealing，VFQA)算法是量子退火算法(Quantum Annealing，QA)的改進算法，采用依賴于溫度的似Cauchy分布產生新的擾動模型，可以加快算法的收斂速度。

為提高隨機反演的計算效率，本文采用VFQA算法擾動更新模型數據，擾動方式為

(8)

式中：mj∈[Ai,Bi]為修改后模型參數，[Ai,Bi]∈[Nx,Nt]為模型的搜索空間，j∈[Nx,Nt]，Nx×Nt為模型的大小；mi為修改前模型參數，i∈[Nx,Nt]；yi為由u產生的隨機變量，u∈[0,1]為均勻分布的隨機數；T為當前溫度。

(9)

式中k、L均為可調參數。

3.4 基于非均勻介質特征參數的隨機反演

由地震數據和測井數據估計非均勻介質參數，基于估計的參數構建隨機介質模型作為反演的先驗信息；結合地震數據與待反演參數之間的關系構建似然函數；然后在貝葉斯理論框架下得到待反演參數的后驗概率分布函數，進而得到反演目標函數；最后利用VFQA優化算法優化目標函數得到最終的反演結果(圖2)。

圖2 基于非均勻介質特征參數的隨機反演流程

4 模型試算與實例分析

4.1 模型測試

為驗證上述方法的有效性，選用二維波阻抗模型(圖3)測試、分析，該模型具有很明顯的非均勻特征。在具體反演過程中，分別在第10、20、30和40道處抽取四口偽井，并給定主頻為30Hz的雷克子波，將計算得到的模型的合成地震記錄作為實際地震數據進行反演。圖4為估計的b、a及θ。由圖可見，估計的三個參數與模型數據吻合較好，如在第250個采樣點處，θ(圖4c)與模型數據的角度變化趨勢一致，b(圖4a)和a(圖4b)也能反映兩個薄層的空間變化特征。

圖3 波阻抗模型數據在第250個采樣點附近有兩個薄層

圖4 估計的b(a)、a(b)及θ(c)

另外，考慮到模型的非均質性，在參數估計時采用加窗處理，由地震數據目標層段的非均質特性確定滑動窗口的尺度，得到的特征參數相當于在窗口范圍內對模型進行了平滑處理。因此，估計的參數不能與模型數據完全一致，但已足夠反映模型數據的空間趨勢變化特征。

基于上述非均勻介質模型的構建方法構建非均勻介質先驗信息模型(圖5)，其反映了模型數據(圖3)的空間展布特征。圖6為模型數據的隨機反演結果與常規稀疏約束脈沖確定性反演結果。由圖可見，隨機反演結果的分辨率更高(圖6a)。圖7、圖8分別為第20道和第40道的隨機反演結果、常規確定性反演結果與原始模型數據對比。可見，相對于確定性反演結果(圖8)，隨機反演結果在幅值和形狀上均與模型數據匹配較好(圖7)。圖9為QA算法、VFQA算法接受概率隨迭代次數的變化曲線。

圖5 非均勻介質先驗信息模型

圖6 模型數據的隨機反演結果(a)與常規稀疏約束脈沖確定性反演結果(b)

圖7 第20道(左)和第40道(右)隨機反演結果和原始模型數據對比

圖8 第20道(左)和第40道(右)確定性反演結果和原始模型數據對比

由圖可見，VFQA算法在迭代約100次時即可收斂(圖9b)，而QA算法則需要迭代近400次才可收斂(圖9a)。

圖9 QA算法(a)、VFQA算法(b)接受概率隨迭代次數的變化曲線

4.2 實例分析

本文選取中國M油田疊后地震數據(圖10)測試、分析，其中間部分反射同相軸變細，局部分辨率較高。圖11為對圖10估計的b、a及θ。由圖可見：在圖10的局部分辨率較高位置處，b的中間部分數值偏小(圖11a)，這是由于非均質體的縱向尺度減小所致；a反映了同相軸的橫向變化(圖11b)；θ反映了同相軸的傾斜變化，顯示地震同相軸先趨于平緩，然后隨著道數增加傾角逐漸增大(圖11c)。

圖10 疊后地震數據縱向采樣間隔為4ms，時間范圍為1.8～2.5s，共有200道，井位于第100道處

圖11 對圖10估計的b(a)、a(b)及θ(c)

首先計算測井數據的標準差等參數，然后由克里金插值建立測井數據插值模型作為均值，進而利用上述建模方法估計特征參數構建地質統計隨機介質模型(圖12)。該模型充分融合了已知測井和地震數據蘊含的地下地質信息，可以作為后續反演的先驗信息模型。圖13為實際數據隨機反演與常規確定性反演結果。由圖可見，相對于常規確定性反演結果(圖13b)，基于非均勻介質統計特征參數的隨機反演結果的分辨率較高，且橫向連續性也較好，更準確地指示了含氣儲層的位置(圖13a黑色橢圓處)。

圖12 構建的非均勻介質先驗信息模型

圖13 實際數據隨機反演(a)與常規確定性反演(b)結果

5 結論

地震隨機反演是描述地下復雜儲層的一種非常有效的方法，可以獲得高分辨率的儲層彈性參數數據體。本文提出了一種基于非均勻介質特征參數的隨機反演方法，借助隨機介質理論從已知地震和測井數據中提取描述儲層非均質特性的縱向、橫向自相關長度和自相關角度等統計特征參數，為后續隨機反演提供可靠的先驗信息模型，實現了波阻抗高分辨率反演。模型試算和實例分析表明，由于充分融合了已知地震和測井數據中蘊含的地下信息，估計的非均勻介質特征參數描述了非均質儲層彈性參數的空間擾動特性，反映了儲層的空間結構特征，為隨機反演提供了可靠的地質統計先驗信息，高分辨率隨機反演的精度較高。但是，由于需要從地震數據中估計特征參數，地震數據的品質影響反演效果。另外，由于加窗處理使估計的特征參數與地震數據不完全一致，也會影響后續反演精度。因此，需要進一步研究利用地震數據估計特征參數的有效方法。