核心素養(yǎng)背景下函數(shù)周期性的教學(xué)與思考

◎丁春年

(甘肅省武威第十八中學(xué)，甘肅 武威 733000)

2020年4月，甘肅省武威市教育科學(xué)研究所在我校舉辦了以“立足教材資源，提升核心素養(yǎng)”為主題的教研活動(dòng)，筆者做了“函數(shù)周期性的教學(xué)與反思”的報(bào)告，得到了與會(huì)專家的點(diǎn)評(píng).結(jié)合專家的點(diǎn)評(píng)，筆者對(duì)函數(shù)周期性的教學(xué)進(jìn)行了深入思考，進(jìn)而對(duì)核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了一些感悟.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)函數(shù)的周期性給出了具體的要求：以三角函數(shù)為依托，了解函數(shù)的周期性，并理解其幾何意義.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)函數(shù)周期性的定位雖然是“了解”，但對(duì)函數(shù)周期性概念的建構(gòu)過(guò)程卻不是一個(gè)簡(jiǎn)單的“了解”就能達(dá)到的，這是因?yàn)楹瘮?shù)周期性的建構(gòu)不僅蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，在函數(shù)周期性概念的教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生深刻理解函數(shù)周期性的概念，而且要幫助學(xué)生打通函數(shù)的周期性、奇偶性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性的關(guān)節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

1 回歸教材，溯源函數(shù)周期性的概念

函數(shù)的周期性概念和函數(shù)的奇偶性概念有著相同的建構(gòu)過(guò)程，它們都是先通過(guò)對(duì)一些現(xiàn)實(shí)世界中的自然現(xiàn)象進(jìn)行抽象，再結(jié)合一些具體的函數(shù)進(jìn)行概括而形成的數(shù)學(xué)概念，但它們?cè)诮滩闹械某霈F(xiàn)卻不是同步的.函數(shù)的奇偶性概念的給出較早，它在函數(shù)的概念之后就粉墨登場(chǎng)了，而函數(shù)周期性概念的給出比較滯后，可以說(shuō)有點(diǎn)“姍姍來(lái)遲”，給人以“猶抱琵琶半遮面”的感覺(jué)，教材這樣安排有其深意，這是由于函數(shù)周期性概念的理解相對(duì)于函數(shù)單調(diào)性、奇偶性概念的理解有一定的難度.函數(shù)周期性的概念是抽象的，學(xué)生在學(xué)完函數(shù)的概念及其性質(zhì)之后，雖然在頭腦中已然扎了一些具有周期現(xiàn)象的生活實(shí)際的“根”，但又苦于沒(méi)有與此對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)佐證，這樣的“根”就不會(huì)發(fā)芽.在初次接觸函數(shù)的概念及性質(zhì)時(shí)，學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的認(rèn)知較少，這些具體的函數(shù)不具有周期性.而在學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)時(shí)，學(xué)生才通過(guò)正弦曲線、余弦曲線的變化規(guī)律體驗(yàn)了函數(shù)的周期性.通過(guò)具體函數(shù)的周期性抽象出函數(shù)周期性的概念，符號(hào)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)周期性概念的學(xué)習(xí)要求.

2 回歸教材，解讀函數(shù)周期性的概念

教材中函數(shù)周期性概念的給出凸顯了學(xué)生對(duì)概念理解的認(rèn)知規(guī)律；展示了以教材內(nèi)容為素材，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的理念.首先，在“三角函數(shù)”這一章的開(kāi)篇就給出了一些具有周期性變化的自然現(xiàn)象，通過(guò)這些自然現(xiàn)象的引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)不自覺(jué)地聯(lián)想到自己身邊的許多具有周期性的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，這樣安排的目的是給予學(xué)生觀察周?chē)澜绲臄?shù)學(xué)眼光.其次，從任意角的三角函數(shù)的定義來(lái)看，在一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，會(huì)定義不同的三角函數(shù)值.以正弦函數(shù)為例，在一條射線從起始位置旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，產(chǎn)生了無(wú)數(shù)個(gè)正弦函數(shù)值.當(dāng)這條射線繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，正弦函數(shù)值會(huì)循環(huán)出現(xiàn)，這種奇妙的數(shù)學(xué)現(xiàn)象反映了正弦函數(shù)的周期性.正弦函數(shù)的此種變化規(guī)律用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)就是誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z,此處凸顯了以數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題的核心素養(yǎng).最后，認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)f(x)=sinx的圖象，通過(guò)正弦函數(shù)的圖象，其周期性一目了然.為使學(xué)生能通過(guò)具體的正弦函數(shù)值的變化規(guī)律抽象出一般函數(shù)周期性的概念，教師在教學(xué)中可進(jìn)行如下問(wèn)題設(shè)計(jì)：

問(wèn)題1 根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx，對(duì)于正弦函數(shù)f(x)=sinx，自變量x每增加一個(gè)常數(shù)2π時(shí)，其函數(shù)值有怎樣的變化？

問(wèn)題2 觀察正弦曲線在區(qū)間[0,2π]內(nèi)及區(qū)間[2π,4π]內(nèi)的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題1：從學(xué)生熟悉的誘導(dǎo)公式入手，通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)表達(dá)式中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，回想正弦函數(shù)的定義過(guò)程，學(xué)生能真正體驗(yàn)簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言所表達(dá)的無(wú)窮魅力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言素養(yǎng).同時(shí)，學(xué)生的頭腦中也能根植函數(shù)周期性概念的抽象形式：f(x+T)=f(x).

問(wèn)題2：從學(xué)生熟悉的正弦曲線入手，讓學(xué)生從“形”的角度體驗(yàn)正弦曲線在每間隔長(zhǎng)度為2π的區(qū)間上重復(fù)出現(xiàn)，讓學(xué)生直觀感受正弦函數(shù)的周期性.

對(duì)于函數(shù)周期性定義式f(x+T)=f(x)的抽象，我們認(rèn)為可結(jié)合誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)、奇函數(shù)及偶函數(shù)的定義式進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象.類(lèi)比奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計(jì):

如果函數(shù)f(x)對(duì)于其定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有：

f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函數(shù)；

f(-x)=f(x)，那么f(x)叫做偶函數(shù)；

f(x+T)=f(x)，其中T是非零常數(shù)，那么f(x)叫做周期函數(shù).

3 超越教材，探究函數(shù)周期性的概念

教材只給出了周期函數(shù)的定義式，但函數(shù)的周期性與函數(shù)的其他性質(zhì)又有怎樣的聯(lián)系呢？基于對(duì)周期函數(shù)的圖象特征的考量，函數(shù)的周期性概念教學(xué)在正、余弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí)首次亮相，而對(duì)稱性是正、余弦函數(shù)的圖象所固有的，它們之間有何關(guān)系呢？由于教材的篇幅所限，這些問(wèn)題在教材中沒(méi)有具體回答，因而給我們留下了可以進(jìn)行深入探究的空間.經(jīng)過(guò)探究，筆者發(fā)現(xiàn)了以下結(jié)論：

推論1若曲線f(x)關(guān)于直線x=a及x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

證明依題意，有f(a+x)=f(a-x).

以a-x代替x得f(x)=f(2a-x).

同理，f(x)=f(2b-x)

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

評(píng)析曲線f(x)關(guān)于直線x=a及x=b對(duì)稱，即滿足f(a+x)=f(a-x)及f(b+x)=f(b-x).也就是說(shuō)，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于兩條直線對(duì)稱，則此函數(shù)是周期函數(shù)，并且這兩條對(duì)稱軸間的距離為函數(shù)周期的二分之一.

推論2若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且滿足f(a+x)=f(a-x)(a為非零常數(shù))，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2a為f(x)的一個(gè)周期.(證明略)

評(píng)析推論2實(shí)際上是推論1的一個(gè)特殊情況.由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此其圖像自身就有一條對(duì)稱軸.但是，推論2卻揭示了函數(shù)的周期性與奇偶性之間的關(guān)系，給函數(shù)的性質(zhì)間搭建了聯(lián)系的橋梁，也給命題者在命制函數(shù)試題時(shí)提供了命題點(diǎn)，因此，推論2是解決與函數(shù)周期性有關(guān)的題目的有力工具.

推論3若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)，(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)，(b,0)對(duì)稱，所以f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=-f(x).

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

評(píng)析函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，類(lèi)比正弦曲線的特性，這兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為函數(shù)周期的二分之一.

推論4若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(a為非零常數(shù))，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2a為f(x)的一個(gè)周期.(證明略)

評(píng)析推論4是推論3的特例.由于函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象自身關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.推論4和推論2結(jié)合起來(lái)，是對(duì)函數(shù)的奇偶性與周期性關(guān)系的完美詮釋，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互滲透、相互交融，充分展示了數(shù)學(xué)之美.

推論5若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)及直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=4|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

證明：由已知得f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=f(x).

所以f(2a-x)=-f(2b-x).

以2b-x代替x得f(2a-2b+x)=-f(x)，

以2a-2b+x代替x得f(4a-4b+x)=f(x).

因此，函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=4|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

評(píng)析函數(shù)f(x)的圖象有一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，類(lèi)比正弦曲線的特性，對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的距離為函數(shù)周期的四分之一.

4 結(jié)論應(yīng)用

例1設(shè)f(x)為定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，已知當(dāng)x∈[-2,2]時(shí)，f(x)=-x2+1，求x∈[-6,-2]時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式.

解析由推論2可知函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.

因?yàn)楫?dāng)x∈[-6,-2]時(shí)，x+4∈[-2,2]，

所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1，

即f(x)=-(x+4)2+1.

評(píng)析本題是利用周期性求函數(shù)解析式的問(wèn)題.利用函數(shù)的周期性，根據(jù)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的解析式，可以求出函數(shù)在另一個(gè)周期內(nèi)的解析式，甚至求出整個(gè)定義域上的解析式.此外，本題也給出了除三角函數(shù)以外的周期函數(shù)，有利于學(xué)生認(rèn)清周期函數(shù)的面目.

例2已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析因?yàn)閒(0)=0,f(1)=2，所以由推論5可知函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.所以f(0)=f(2)=f(4)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.

因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=2，故選C.

評(píng)析本題是一道高考題目.解答此題的要點(diǎn)就在于破題，粗看，函數(shù)是抽象函數(shù)，沒(méi)有具體的解析式，因而增加了解題的難度；細(xì)看，由于此題所求的是50個(gè)函數(shù)值的和，因此，函數(shù)應(yīng)該是周期函數(shù)，所以要從周期性出發(fā)破題，根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，再由對(duì)稱性，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推理，很容易求出周期，從而使問(wèn)題獲解.

5 教學(xué)反思

5.1 回歸教材，深入挖掘教學(xué)資源

教材中蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)資源.首先，教材在每一章內(nèi)容的開(kāi)篇都給出了一些資料，其作用是提出與本章相關(guān)的一些問(wèn)題，點(diǎn)明為什么要學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，學(xué)習(xí)本章內(nèi)容可以解決一些什么問(wèn)題.例如，在“三角函數(shù)”一章中，開(kāi)篇給出了具有周期性的一些自然現(xiàn)象，有時(shí)間方面的，也有空間方面的.雖然這些現(xiàn)象是學(xué)生熟知的，但作為教師，要切實(shí)了解學(xué)情，對(duì)于每一個(gè)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、認(rèn)識(shí)問(wèn)題、理解問(wèn)題的情況有一個(gè)大致的掌握.因此，對(duì)于“三角函數(shù)”這一章開(kāi)篇提出的問(wèn)題，教師可以讓學(xué)生事先預(yù)習(xí)，并對(duì)照自己的生活經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)周?chē)挛锏挠^察，以數(shù)學(xué)的眼光審視周?chē)哂兄芷谛缘母鞣N現(xiàn)象.這樣一來(lái)，每一個(gè)學(xué)生都會(huì)有不同的觀察所得，也都會(huì)有不同的體驗(yàn)，如此便可以將周期現(xiàn)象根植于每一個(gè)學(xué)生的腦海里，進(jìn)而真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).其次，要深入挖掘教材的習(xí)題資源.教材習(xí)題中的一部分是基礎(chǔ)題，這些題目的設(shè)置，鞏固了學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，還有一部分題目看似安排隨意，實(shí)則暗藏玄機(jī)，它起到了擴(kuò)展教材內(nèi)容的作用.因此，對(duì)于如此現(xiàn)成的資源，我們不能隨意浪費(fèi)，要合理利用，這樣可以極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生探求知識(shí)的積極性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

5.2 數(shù)學(xué)抽象，凸顯數(shù)學(xué)概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念都是通過(guò)具體的實(shí)例抽象出來(lái)的.例如，函數(shù)的單調(diào)性概念，就是通過(guò)研究一些具體的函數(shù)，對(duì)這些函數(shù)共有的表現(xiàn)形式進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象而得出的.函數(shù)的周期性概念的抽象更是如此，是借助三角函數(shù)的圖象進(jìn)行抽象的.這種圖象特征與學(xué)生頭腦中事先存儲(chǔ)的那些具有周期性的現(xiàn)象相互交匯，為學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象奠定了基礎(chǔ)，也就是說(shuō)，學(xué)生先前“植于”腦海中的周期現(xiàn)象的“根”，經(jīng)過(guò)直觀的函數(shù)圖象滋潤(rùn)，將會(huì)發(fā)出周期函數(shù)概念的“芽”.教材中對(duì)周期函數(shù)的定義式f(x+T)=f(x)的給出顯得突兀，沒(méi)有推導(dǎo)這個(gè)定義式，這就需要教師的引導(dǎo).此時(shí)，學(xué)生頭腦中已有的一系列三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式就成了教師引導(dǎo)學(xué)生的“誘導(dǎo)劑”，也是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的“助推器”，有了這些“誘導(dǎo)劑”或“助推器”，學(xué)生才能順利完成周期函數(shù)定義式的數(shù)學(xué)抽象.學(xué)生在周期函數(shù)定義式的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中，要尋找一個(gè)與定義式相似的具體形式，這個(gè)定義式的具體形式之一就是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z.至此，函數(shù)的周期性概念完成了從特殊到一般，從具體到抽象的過(guò)程，這樣的抽象過(guò)程，一方面可以揭示數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)，另一方面可以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

5.3 高于教材，升華數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵

教材中的每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的得出都不是突如其來(lái)的，對(duì)于任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念，教材都給出了與此概念有關(guān)的各種素材，借助這些素材，學(xué)生能對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)初步的認(rèn)知，并在此基礎(chǔ)上，能利用概念解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.但對(duì)概念的理解并不能僅僅停留在對(duì)概念的表層理解上，而要對(duì)概念進(jìn)行更深層次的理解，只有這樣，才能深刻把握概念的內(nèi)涵.例如，在函數(shù)的周期性概念的教學(xué)中，如果僅僅理解了周期函數(shù)的定義式，就認(rèn)為理解了函數(shù)的周期性，那么這樣的教學(xué)不是深入的教學(xué)，它會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)周期函數(shù)概念的理解僅僅停留在周期函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式上，即便如此，周期函數(shù)的定義式有若干個(gè)不同的等價(jià)形式，如：f(x+a)=f(x-a)，f(x+a)=-f(x) 等，學(xué)生是否能通過(guò)適當(dāng)?shù)倪壿嬐评韥?lái)證明其周期性呢？另外，以三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式為具體形式抽象出周期函數(shù)的定義式，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為只有三角函數(shù)是周期函數(shù)，其他函數(shù)都不是周期函數(shù).為消除這種誤解，教師可以舉一些三角函數(shù)以外的周期函數(shù)，這樣便可使學(xué)生消除誤解，進(jìn)而達(dá)到深刻理解周期函數(shù)概念內(nèi)涵的目的.

6 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的終極目標(biāo)是幫助學(xué)生透徹理解概念，并能利用概念解決相關(guān)問(wèn)題.如何將抽象的數(shù)學(xué)概念納入學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)是一個(gè)值得認(rèn)真反思的問(wèn)題.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的落腳點(diǎn)是課堂教學(xué)，在課堂教學(xué)中，教師要將概念的教學(xué)動(dòng)態(tài)化，而不是靜態(tài)地呈現(xiàn)教材中的概念表述，這既有利于學(xué)生理解概念，也有利于學(xué)生的全面發(fā)展.這樣的教學(xué)，才是有效的教學(xué).