基于Taguchi 方法的三相混合式步進電機電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化

方玲利，肖龍飛，畢 超

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院,上海 200093)

混合式步進電機(Hybrid Stepping Motor，HSM)誕生于20世紀70年代，其具有高分辨率和高轉(zhuǎn)矩密度，可實現(xiàn)開環(huán)控制，且無累計步距誤差，被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，例如各種辦公自動化設(shè)備及數(shù)控機床系統(tǒng)等[1]。市場上現(xiàn)有的混合式步進電機按其定子繞組數(shù)目可分為兩相、三相和五相。其中兩相混合式步進電機(2P-HSM)占據(jù)了大部分的市場份額[2-3]。究其原因，主要有兩點：(1)歷史因素。自第一臺2P-HSM問世以來，為搶占市場份額，研究人員把精力集中在2P-HSM的設(shè)計和控制上。相較于其它HSM，2P-HSM的電機本體優(yōu)化及驅(qū)動控制技術(shù)最為成熟；(2)相對2P-HSM，其他混合式步進電機的電磁結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，涉及的電磁分析及優(yōu)化設(shè)計難度更高，耗時也更長。

理論上，相對于2P-HSM，三相混合式步進電機(3P-HSM)整體性能更為優(yōu)越，主要表現(xiàn)在：(1)定位精度更高；(2)振動和噪音更??；(3)控制成本更低等[4]。因此，從長期應(yīng)用及效益來看，3P-HSM有更好的發(fā)展空間，對3P-HSM的電磁結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。

3P-HSM最重要的組成部分是齒層結(jié)構(gòu)，HSM產(chǎn)生和機電能量轉(zhuǎn)換均基于定轉(zhuǎn)子的齒槽效應(yīng)[1,5]。因此，選擇最佳的齒層幾何形狀是設(shè)計優(yōu)化過程中的首要任務(wù)。在過去的幾十年中，眾多學(xué)者對于HSM的齒部形狀提出了各種不同的觀點，例如矩形、三角、梯形和圓形等[6-8]。本文基于3P-HSM內(nèi)部電磁現(xiàn)象，對齒形進行重新分析，發(fā)現(xiàn)梯形齒對氣隙磁密的影響程度更大，且包含更多的形狀參數(shù)，更適用于電機電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

對齒形形狀優(yōu)化的困難之處在于，HSM為雙凸極磁層結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子表面多齒，初始模型的小齒數(shù)達50個，且需考慮到轉(zhuǎn)子雙向(軸向和徑向)勵磁原理，因此電磁結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜。針對3P-HSM復(fù)雜的工作原理，簡化的線性模型及等效磁路法等都無法做到精確計算[4-11]，必須采用3D磁場的數(shù)值分析手段對其進行磁場分析。該方法借助麥克斯威爾方程組和變分原理，將復(fù)雜的電磁場問題轉(zhuǎn)化為能量泛函求極值問題，即多維代數(shù)方程組的求解[10]。本文采用3D有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)對3P-HSM進行實體建模及仿真。利用試驗有限元方法得到電機的磁場信息后，在計算過程的后處理部分對電機的轉(zhuǎn)矩進行計算。

3D-FEM精度高，但計算量非常大，這使得許多全局優(yōu)化方法，例如傳遺傳算法，粒子群算法等，獲取目標樣本的時間變長，無法估計所需投入的時間成本[12-14]。Taguchi算法通過局部優(yōu)化，能在最少的試驗次數(shù)內(nèi)(即構(gòu)建最少的有限元模型)利用離散數(shù)據(jù)找到最佳組合，大幅度削減了時間成本。

本文將Taguchi優(yōu)化算法與3D有限元模型相結(jié)合，對市場上某款3P-HSM進行優(yōu)化設(shè)計。通過優(yōu)化該款3P-HSM齒形結(jié)構(gòu)提高電機產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩的能力，從而改善電機的性能。最后，對比樣機測試結(jié)果證明了該優(yōu)化方法的高效和正確性。原始樣機(Initial 3P-HSM)的初始結(jié)構(gòu)如圖1所示，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 3P-HSM的部分參數(shù)Table 1. Parameters of 3P-HSM

1 3P-HSM的有限元模型

3P-HSM作為典型的三維高度飽和非線性系統(tǒng)，必須采用3D磁場的分析手段，即有限元法(Finite Element Method,FEM)。FEM是目前場量計算方法中精確最高，適用性最強的一種數(shù)值方法，被廣泛應(yīng)用于電機電磁場的計算分析[1]。為了獲取更為精準的矩角特性，本文借助FEM，建立3P-HSM的3D有限元模型，如圖2所示。通過合理配置仿真環(huán)境，仿真計算3P-HSM的轉(zhuǎn)矩。核心計算式為

(1)

(a)

(a)

式中，W(θ,i)是磁共能；i為電樞繞組電流。

對于混合式步進電機，設(shè)計中最為關(guān)鍵的步驟為設(shè)計齒層區(qū)域 ，即定子和轉(zhuǎn)子的齒形及電機的氣隙，其影響著電機性能。在過去的幾十年中，研究人員對步進電機的齒形提出了不同的設(shè)計[7]。其中，圖3所示的矩形齒獲得了最高的市場認可度。然而，實際經(jīng)驗及研究結(jié)果表明，圖4所示的梯形齒相比于矩形齒更好，這是因為圖4所示的形狀系數(shù)更大，對氣隙滲透性的影響大，更適于后期優(yōu)化。本文為獲取更佳的優(yōu)化成果，以梯形齒的形狀系數(shù)作為核心優(yōu)化對象。此外，為了規(guī)避3D-FEM計算量大且時間成本高的缺點，本文引進了Taguchi優(yōu)化算法，通過高效利用離散數(shù)據(jù)來提高優(yōu)化效率。

圖3 HSM的矩形齒形結(jié)構(gòu)Figure 3.Rectangular tooth structure of HSM

圖4 HSM的梯形齒形結(jié)構(gòu)Figure 4.Trapezoidal tooth structure of HSM

2 3P-HSM的齒形優(yōu)化

為了提高3P-HSM的轉(zhuǎn)矩性能，本文在現(xiàn)有3D-FEM的基礎(chǔ)上，結(jié)合Taguchi優(yōu)化算法，優(yōu)化電機齒形結(jié)構(gòu)，以改善步進電機的矩角特性。

2.1 Taguchi優(yōu)化方法

Taguchi優(yōu)化方法由日本質(zhì)量管理專家田口玄提出，是目前日本工業(yè)界提升品質(zhì)的最佳方法之一。作為一種局部優(yōu)化設(shè)計方法，Taguchi優(yōu)化算法擅長使用離散結(jié)果來探索最佳點，即通過最少的試驗次數(shù)得到最佳優(yōu)化組合，已被廣泛用于國防、化工和電機分析等場合[11]。

該方法的主要流程如圖5所示，其中Taguchi正交表與信噪比是Taguchi優(yōu)化算法的兩大核心工具。前者通過設(shè)計具有代表性的試驗有效降低實驗或仿真所需次數(shù)，大幅度削減時間成本，提高了效率；后者則篩選最佳參數(shù)水平組合，指引進一步優(yōu)化方向的重要指標[15-18]。

圖5 Taguchi優(yōu)化流程圖Figure 5.The flowchart of Taguchi optimization method

本文將3P-HSM的優(yōu)化目標函數(shù)設(shè)定為轉(zhuǎn)矩峰值最大化(Torque-max)，即

Torque-max=max(Tpeak)

(2)

式中，Tpeak為矩角特性的峰值轉(zhuǎn)矩。

在Taguchi優(yōu)化方法中，信噪比的計算涉及以下計算式

(3)

(4)

(5)

式中，n是每個實驗重復(fù)試驗次數(shù)；yi是第i次實驗的結(jié)果；y和s分別代表目標函數(shù)的平均值和標準偏差。

針對Torque-max這一優(yōu)化目標，本文采用式(4)進行信噪比的計算。此外，本文利用式(5)對優(yōu)化目標THD-min進行計算。以上兩個目標的信噪比值均越大越好。

2.2 Torque-max的實現(xiàn)

矩角特性的幅值，即最大靜轉(zhuǎn)矩，是評價混合式步進電機性能的重要指標之一[1]。為了實現(xiàn)峰值轉(zhuǎn)矩最大化目標，基于Taguchi優(yōu)化過程及梯形齒形結(jié)構(gòu)參數(shù)，本次優(yōu)化方案構(gòu)建了4因子3水平正交實驗表。具體的齒形優(yōu)化參量如表2所示，正交實驗表如表3所示。

表2 轉(zhuǎn)矩峰值最大化齒形優(yōu)化參量Table 2.Torque peak maximization tooth profile optimization parameters

表3 正交實驗表Table 3. The orthogonal experiment table

圖6為齒形結(jié)構(gòu)因子的主效應(yīng)圖。由圖可知，A因子對于轉(zhuǎn)矩峰值的影響最大，B和D因子居中，C因子于轉(zhuǎn)矩的作用十分微弱。根據(jù)信噪比均值可判斷最佳因子水平組合為A1B1C1D1。鑒于目前電機制造工藝的限制，本文不進行下一階段優(yōu)化，即確定該水平組合為樣機的最終優(yōu)化結(jié)果，其具體齒形見章節(jié)3中圖9(c)和圖9(d)。

圖6 齒層結(jié)構(gòu)因子的主效應(yīng)圖Figure 6.The main effect diagram of tooth structure factor

圖7所示為初始3P-HSM(Initial 3P-HSM )和Torque-max 3P-HSM的矩角特性對比圖(仿真結(jié)果)?？梢?，相比于初始3P-HSM，Torque-max 3P-HSM的轉(zhuǎn)矩幅值有明顯提高。

圖7 原型機和轉(zhuǎn)矩峰值最大化樣機的矩角特性曲線Figure 7.Torque angle characteristic curve of prototype and torque peak maximization prototype

3 實驗測試

試驗樣機如圖8所示。原型機的實際齒形結(jié)構(gòu)見圖9(a)和圖9(b)。優(yōu)化后的Torque-max 3P-HSM樣機齒層結(jié)構(gòu)見圖9(c)和圖9(d)。

圖8 實驗樣機Figure 8.The experimental prototypes for HSMs

(a)

搭建實驗所用轉(zhuǎn)矩測試平臺，如圖10所示。合理配置控制參數(shù)，通過細分控制結(jié)合齒輪箱變速，使得被測電機以極低速旋轉(zhuǎn)1個齒距，并配合11位的光電編碼器和高采樣頻率的轉(zhuǎn)矩傳感器，同步輸出轉(zhuǎn)矩及角度信號，據(jù)此來獲取三相混合式步進電機的矩角特性曲線。

圖10 轉(zhuǎn)矩測試平臺Figure 10.The testing platform of the torque-angle characteristic

對圖8所示的兩個測試樣機進行靜轉(zhuǎn)矩測試，實驗測試結(jié)果如圖11所示。由于受諧波影響，電機矩角特性曲線并非正弦，且受二次諧波影響較大。表4表明兩臺樣機轉(zhuǎn)矩峰值的仿真與試驗結(jié)果十分接近。需要注意的是，有限元仿真更為復(fù)雜的梯形齒層結(jié)構(gòu)時，因網(wǎng)格剖分精度的問題，有限元的實際計算結(jié)果會有所偏差，導(dǎo)致有限元計算結(jié)果小于測試結(jié)果(這點與實現(xiàn) “THD-min”后樣機數(shù)據(jù)現(xiàn)象一致)，但趨勢和優(yōu)化方向是正確的，證明了本文建立的有限元仿真模型的準確性。對比數(shù)據(jù)結(jié)果，樣機Torque-max 3P-HSM的峰值轉(zhuǎn)矩比原型機初始3P-HSM提高了近25%，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)矩峰值最大化的優(yōu)化目標。

圖11 樣機矩角特性的實驗測試結(jié)果Figure 11.The testing results of torque-angle characteristic of the prototype

表4 實驗結(jié)果與仿真結(jié)果的對比Table 4. The comparison between simulation results and testing results

4 結(jié)束語

基于對三相混合式步進電機的優(yōu)化研究，本文提出以梯形齒形狀參數(shù)作為優(yōu)化對象，通過結(jié)合3D有限元模型與Taguchi優(yōu)化算法進行電機電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化，以實現(xiàn)更高的轉(zhuǎn)矩輸出。兩臺樣機的仿真和試驗結(jié)果表明，通過電機齒形結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，混合式步進電機的性能得到了明顯提高。與原型機Initial 3P-HSM相比，轉(zhuǎn)矩最大化樣機Torque-max 3P-HSM的轉(zhuǎn)矩峰值提高了近25%。本文結(jié)果證實，基于3D有限元模型，借助Taguchi方法獲取最佳梯形齒形是優(yōu)化混合式步進電機的有效手段。該優(yōu)化方案也適用于其它電磁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。